【例1】．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（0，2），且經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓的半徑r＝，OC⊥AB于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）求證：直線AB與⊙O相切．
（3）已知P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，線段PO交⊙O于點(diǎn)M．當(dāng)以M，O，A，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求PM的長(zhǎng)．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與直線AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ABCE為矩形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）以C為圓心，1為半徑作⊙O，D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求DA+DB的最小值
【例2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP+EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖甲，當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖乙，過A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D．交OM于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長(zhǎng)是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長(zhǎng)．

1．如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y＝x2﹣1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)可以是 ．
2．如圖1，拋物線與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，連接OB．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）如圖2，以點(diǎn)A為圓心，4為半徑作⊙A，點(diǎn)M在⊙A上．連接OM、BM，
①當(dāng)△OBM是以O(shè)B為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②如圖3，取OM的中點(diǎn)N，連接BN，當(dāng)點(diǎn)M在⊙A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段BN長(zhǎng)度的取值范圍．
3．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC（不與B，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM，將△PCM沿CM對(duì)折，如果點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若第四象限有一動(dòng)點(diǎn)E，滿足BE＝OB，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)F坐標(biāo)為（t，0），0＜t＜3，△BEF的內(nèi)心為I，連接CI，直接寫出CI的最小值．
4．已知拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．
（1）試說明對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)m，拋物線都經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且A、B兩點(diǎn)間的距離小于6，求m的取值范圍；
（3）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，在（2）的條件下，試判斷是否存在m的值，使經(jīng)過點(diǎn)C及拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的⊙M與y軸的正半軸相切于點(diǎn)D，且被x軸截得的劣弧與是等弧？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．
5．已知拋物線y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，A，B，C三點(diǎn)都在⊙P上．
①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過y軸上某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；
②若點(diǎn)C關(guān)于直線x＝﹣的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長(zhǎng)記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．
6．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸，y軸分別相交于M（4，0），N（0，3）兩點(diǎn)．已知拋物線開口向上，與⊙C交于N，H，P三點(diǎn)，P為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C且垂直x軸于點(diǎn)D．
（1）求線段CD的長(zhǎng)及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S四邊形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且點(diǎn)（2，1）在二次函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)F（0，1）作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）P為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心的圓過點(diǎn)F和點(diǎn)N，且與直線y＝﹣1相切．若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求⊙E的半徑；若不存在，說明理由．
8．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c+1，
①當(dāng)b＝1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程；
②若c＝﹣b2﹣2b，問：b為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？
③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，以AB為直徑的半圓恰好過點(diǎn)M，二次函數(shù)的對(duì)稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點(diǎn)D、E、F，且滿足＝，求二次函數(shù)的表達(dá)式．
9．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）．若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足；當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．
①求拋物線的解析式；
②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，4），△ABO的中線AC與y軸交于點(diǎn)C，且⊙M經(jīng)過O，A，C三點(diǎn)．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）若直線AD與⊙M相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，在過點(diǎn)B且以圓心M為頂點(diǎn)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交直線AD于點(diǎn)E．若以PE為半徑的⊙P與直線AD相交于另一點(diǎn)F．當(dāng)EF＝4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
11．如圖，拋物線y＝ax2+6ax（a為常數(shù)，a＞0）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，0）（﹣3＜t＜0），連接BD并延長(zhǎng)與過O，A，B三點(diǎn)的⊙P相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作⊙P的切線CE交x軸于點(diǎn)E．
①如圖1，求證：CE＝DE；
②如圖2，連接AC，BE，BO，當(dāng)a＝，∠CAE＝∠OBE時(shí)，求﹣的值．
12．拋物線y＝﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y＝t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．
（1）點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別為 ， ；
（2）如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界）時(shí)，求t的取值范圍；
（3）如圖②，當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)．
①直接寫出“M”形圖象AB段的函數(shù)關(guān)系式；
②是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
13．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）．
（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．
①求拋物線的解析式；
②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．
14．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（4，1），且與y軸交于點(diǎn)C，連接AB、AC、BC．
（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）判斷△ABC的形狀；若△ABC的外接圓記為⊙M，請(qǐng)直接寫出圓心M的坐標(biāo)；
（3）若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圓記為⊙M1，是否存在某個(gè)位置，使⊙M1經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出此時(shí)拋物線的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
15．已知拋物線C1：y＝ax2過點(diǎn)（2，2）
（1）直接寫出拋物線的解析式 ；
（2）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C1上，且邊AC所在的直線解析式為y＝x+b，若AC邊上的中線BD平行于y軸，求的值；
（3）如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)Q為拋物線上C1上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑作⊙M，直線y＝t與⊙M相交于H、K兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)t，使得HK的長(zhǎng)度為定值？若存在，求出HK的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．
16．定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．
（1）已知點(diǎn)P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓．請(qǐng)判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓，并說明理由；
（2）如圖1，已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，坐標(biāo)圓的圓心為P，求△POA周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖2，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，與坐標(biāo)圓的第四個(gè)交點(diǎn)為D，連結(jié)PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx﹣c交x軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸于交于點(diǎn)C（0，﹣2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上取點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及∠ADB的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)H，△ABD的外接圓圓心為M（如圖1），過點(diǎn)B作⊙M的切線交于點(diǎn)P（如圖2），設(shè)Q為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．
18．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），與x軸交于A（4，0）、O兩點(diǎn)，點(diǎn)D（2，﹣2）為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心、以1為半徑作⊙E，交x軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M為⊙E上一點(diǎn)．
①射線BM交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)tan∠MBC＝2時(shí)，求m的值；
②如圖2，連接OM，取OM的中點(diǎn)N，連接DN，則線段DN的長(zhǎng)度是否存在最大值或最小值？若存在，請(qǐng)求出DN的最值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，一條拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是直線BC在第一象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．
1°求線段MN的最大值；
2°當(dāng)MN取最大值時(shí)，在線段MN右側(cè)的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
20．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)值：
（1）求出這條拋物線的解析式；
（2）如圖1，直線y＝kx+1（k＜0）與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)T，若△QMT的面積是△PMT面積的兩倍，求k的值；
（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點(diǎn)E．試問：線段EF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．
21．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸．
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
②△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）現(xiàn)有一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓沿y軸正半軸方向向上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問幾秒后⊙O與直線AC相切？
22．我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②在凸四邊形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，則該四邊形 “十字形”．（填“是”或不是）
（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，當(dāng)6≤AC2+BD2≤7時(shí)，求OE的取值范圍；
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣ac）．記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的拋物線的解析式：
①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周長(zhǎng)為12．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…

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