相似三角形考查范圍廣，綜合性強(qiáng)，其模型種類多，其中有關(guān)一線三垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).
模型一、A字型相似模型
A字型（平行） 反A字型（不平行）
模型二、8字型與反8字型相似模型
模型三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）
模型四、共邊角相似模型（子母型）
模型五、手拉手相似模型
例題精講
考點(diǎn)一、A字相似模型
【例1】．如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；
C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確．
D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；
故選：C．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于點(diǎn)H，與DE交于點(diǎn)G．若，則＝ ．
解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故答案為．
【變式1-2】.如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝__________.

解：如圖，過C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，
∵PC∥AE， ∴△AEM∽△CPM， ∴＝，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)， ∴AM＝CM， ∴PC＝AE，
∵AE＝AB， ∴CP＝AB， ∴CP＝BE，
∵CP∥BE， ∴△DCP∽△DBE，
∴＝＝， ∴BD＝3CD，
∴BC＝2CD，即＝2．
【變式1-3】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分線AE交CD于點(diǎn)F．
（1）求證：△ACD∽△ABC；
（2）若AF＝8，求AE的長度．
解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，
∴AB＝AD+BD＝16，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△ABC；
（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，
∴∠ABE＝∠ACF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴＝，即＝，
∴AE＝＝．
考點(diǎn)二、8字與反8字相似模型
【例2】．如圖，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值
解：∵AG∥BD，
∴△AFG∽△BFD， ∴＝，
∵，∴CD＝BD， ∴，
∵AG∥BD，
∴△AEG∽△CED， ∴．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分別交BC于點(diǎn)G、H，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、∵AB∥CD，
∴＝，故本選項不符合題目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∞△CDH，
∴＝，∴＝，
∵AB∥CD，
∴＝，∴＝，
∴＝，∴＝，故本選項不符合題目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
∴，∴＝，故本選項不符合題目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∞△BAG，∴，故本選項符合題目要求；故選：D．
【變式2-2】．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為（ ）
A．8B．10C．12D．14
解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵EA∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，
∴＝＝＝＝，
∴AF＝AC，EF＝BF，
∴S△ABF＝S△ABC，
∴S△AEF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，
∵S△AEF＝2，
∴S△ABC＝6S△AEF＝6×2＝12，故選：C．
【變式2-3】.如圖，銳角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，則DE：BC＝ 1：2 ．
解：如圖，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠ACD＝30°，
∴＝．
又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，
∴∠ABE＝30°，
∴＝，
∴＝．
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．
考點(diǎn)三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）
【例3】.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，連接DE，DC與BE交于點(diǎn)O，若△DOE的面積為1，則△ABC的面積為（ ）
A．6B．9C．12D．13.5
解：∵點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，
∴O點(diǎn)為△ABC的重心，
∴OB＝2OE，
∴S△BOD＝2S△DOE＝2×1＝2，
∴S△BDE＝3，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△BDE＝6，
∵AE＝CE，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．故選C．
?變式訓(xùn)練
【變式3-1】.如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長交BC于點(diǎn)G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝ 24 ．
解：方法一：∵DE是△ABC的中位線，
∴D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，
如圖過D作DM∥BC交AG于點(diǎn)M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（AAS），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM為△ABG的中位線，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位線，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
方法二：連接AE，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵F是DE的中點(diǎn)，
∴＝，
∴＝＝，
∵S△EFG＝1，
∴S△ACG＝16，
∵EF∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEG＝S△ACG＝4，
∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，
∴S△ABC＝2S△ACE＝24，故答案為：24．
【變式3-2】．如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點(diǎn)F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的長； （2）求FG的長．
解：（1）∵EG∥AD，
∴△BAD∽△BEF，
∴＝，即＝，
∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EG＝，
∴FG＝EG﹣EF＝．
【變式3-3】.如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，，．
（1）求證：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．
（1）證明：∵AB∥CD，
∴＝＝，
∵，
∴＝，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF．
（2）解：設(shè)△ABE的面積為m．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝（）2＝，
∴S△CDE＝4m，
∵＝＝，
∴S△BEC＝2m，
∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．
模型四、子母型相似模型
【例4】.如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：
（1）△ACP∽△PDB，
（2）CD2＝AC?BD．
證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°
∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB；
（2）由（1）得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等邊三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC?BD．
?變式訓(xùn)練
【變式4-1】.如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．D．
解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，
∴當(dāng)∠ABP＝∠C時，滿足兩組角對應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故A正確；
當(dāng)∠APB＝∠ABC時，滿足兩組角對應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故B正確；
當(dāng)時，滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可判斷△ABP∽△ACB，故C正確；
當(dāng)時，其夾角不相等，則不能判斷△ABP∽△ACB，故D不正確；
故選：D．
【變式4-2】.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，連接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，則AB的長為（ ）
A．3B．4C．D．2
解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∵AD＝2，CD＝4，
∴，
∴AB2＝12，
∴AB＝2或﹣2（不合題意，舍去），故選：D．
【變式4-3】．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 2 ．

解：設(shè)⊙O半徑為r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中點(diǎn)I，連接PI，
∴OI＝IB＝，
∵，
，
∴，
∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP+PB＝AP+PI，
∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時，AP+PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝3，
∴AI＝＝，
∴AP+PB最小值＝AI＝，
∵PA+PB＝（PA+PB），
∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．
故答案是2．
模型五、手拉手相似模型
【例5】.如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為 ．
解：連接OA、OD，
∵△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，
∴OD：OE＝OA：OB＝：1，
∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA 即∠DOA＝∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，
∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案為：．
?變式訓(xùn)練
【變式5-1】.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
求證：（1）△BAC∽△DAE； （2）△BAD∽△CAE．
證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
∴△BAC∽△DAE；
（2）∵△BAC∽△DAE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
【變式5-2】.如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝ ．
解：如圖，過點(diǎn)A作AB的垂線，過點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴＝，
∵AC＝，
∴BM＝3，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．
【變式5-3】．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k為常數(shù)），則BD的長為 ．（用含k的式子表示）
解：如圖中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，
將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝4k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝，
故答案為：．

實(shí)戰(zhàn)演練
1．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式中錯誤的是（ ）

A．＝B．C．D．
解：A、∵EF∥AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，故A正確，
B、易知△ADE∽△EFC，
∴＝，
∴＝，故B正確．
C、∵△CEF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，故C正確．
D、∵DE∥BC，
∴＝，
顯然DE≠CF，故D錯誤．故選：D．
2．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．：
解：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△CBA∽△ACD
＝＝＝，
∵＝（）2＝
∴△ABC與△DCA的面積比為4：9．故選：C．
3．如圖，菱形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，G點(diǎn)、H點(diǎn)在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，則下列選項中的線段，何者長度最長？（ ）
A．CFB．FDC．BED．EC
解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，
∴AD＝8+5+4＝17，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC＝CD＝AD＝17，
∵AE∥HC，AD∥BC，
∴四邊形AECH為平行四邊形，
∴CE＝AH＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，
∵HC∥GF，
∴＝，即＝，
解得：DF＝，
∴FC＝17﹣＝，
∵＞9＞8＞，
∴CF長度最長，故選：A．
4．如圖，在△ABC中，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時，EP+BP的值為（ ）
A．6B．9C．12D．18
解：如圖，延長BQ交射線EF于M，
∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分線，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝2，
∴EM＝2BC＝2×6＝12，
即EP+BP＝12．故選：C．
5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△A′B′C，當(dāng)A′B′恰好經(jīng)過點(diǎn)D時，△B′CD為等腰三角形，若BB′＝2，則AA′等于（ ）
A．B．2C．D．
解：過D作DE⊥BC于E，
則BE＝AD＝2，DE＝2，
設(shè)B′C＝BC＝x，
則DC＝x，
∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，
解得：x＝4（負(fù)值舍去），
∴BC＝4，AC＝，
∵將△ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△A′B′C，
∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，
∴
∴△A′CA∽△B′CB，
∴，即
∴AA′＝，故選：A．
6．如圖，已知，△ABC中邊AB上一點(diǎn)P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，則BP＝ 6 ．
解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
∴AC2＝AP?AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，
∴BP＝AB﹣AP＝6．
7．如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是 36 ．
解：∵在?ABCD中，AO＝AC，
∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵S△AEF＝4，＝（ ）2＝，
∴S△BCE＝36，故答案為36．
8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過點(diǎn)G作DE∥AC分別交邊AB、BC于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，如果DF＝4，那么BE的長為 8 ．
解：連接BG并延長交AC于H，
∵G為ABC的重心，
∴＝2，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴CE＝DF＝4，
∵GE∥CH，
∴△BEG∽△CBH，
∴＝2，
∴BE＝8，故答案為：8．
9．如圖，已知Rt△ABC中，兩條直角邊AB＝3，BC＝4，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到Rt△DBE，并且點(diǎn)A落在DE邊上，則sin∠ABE＝ ．
解：∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到Rt△DBE，
∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，
∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），
∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠DEB+∠BEC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵∠AGB＝∠EGC，
∴∠ACE＝∠ABE，
∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝DE＝5，
過B作BH⊥DE于H，
則DH＝AH，BD2＝DH?DE，
∴DH＝＝，
∴AD＝，
∴AE＝DE﹣AD＝，
∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝， 故答案為：．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．
（1）求線段DE的長；
（2）取線段AD的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．
解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）如圖，
∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，
∴，
∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，
∴．
11．如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．
（1）求證：CE＝AF；
（2）連接ME，若＝，AF＝2，求ME的長．
解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，
又∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，
∴∠ADF＝∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE，
∴CE＝AF．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
由（1）得：CE＝AF＝2，
∴BE＝BF，
設(shè)BE＝BF＝x，
∵＝，AF＝2，
∴，解得x＝，
∴BE＝BF＝，
∵＝，且CE＝AF，
∴＝＝，
∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，
∴△AMF∽△CMD，
∴，
∴＝，且∠ACB＝∠ACB
∴△ABC∽△MEC
∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB
∴ME＝CE＝2
12．[問題背景]（1）如圖①，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE．
[嘗試應(yīng)用]（2）如圖②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°
∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，
①填空：＝ 1 ；
②求的值．
（1）證明：如圖①，∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
（2）解：①如圖②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，
∴DE＝2AE，
∴AD＝＝＝AE，
∵＝，
∴AD＝BD，
∴AE＝BD，
∴＝1，
故答案為：1．
②如圖②，連接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△BAC∽△CAE，
∴＝，
∴＝，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴＝，
由①得AD＝AE，AD＝BD，
∴＝＝，
∴BD＝CE，
∴AD＝×CE＝3CE，
∴＝3，
∴＝3，
∴的值是3．
13．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，連接EN、EF．
（1）求證：△ABN∽△MBE；
（2）求證：BM2+ND2＝MN2；
（3）①求△CEF的周長；
②若點(diǎn)G、F分別是EF、CD的中點(diǎn)，連接NG，則NG的長為 ．
（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠BAN＝∠BME，
∴△ABN∽△MBE．
（2）證明：如圖1，將△ADN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，連接MH，
∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，
∵∠MAN＝∠EAF＝45°，
∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAH＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△MAH≌△MAN（SAS），
∴MH＝MN，
∵∠ABH＝∠ADN＝45°，
∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，
∴BM2+HB2＝MH2，
∴BM2+ND2＝MN2．
（3）解：①如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK，
∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，
∴∠ABK+∠ABE＝180°，
∴點(diǎn)K、點(diǎn)B、點(diǎn)E在同一條直線上，
∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAK＝∠EAFM，
∵AE＝AE，
∴△EAK≌△EAF（SAS），
∴EK＝EF，
∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，
∵CB＝CD＝AB＝4，
∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，
∴△CEF的周長是8．
②如圖2，∵F是CD的中點(diǎn)，
∴CF＝DF＝CD＝2，
∵∠C＝90°，
∴CF2+EF2＝CE2，
∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，
∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，
解得BE＝，
∴EF＝+2＝，
∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，
∴△BME∽△AMN，
∴＝，
∴＝，
∴∠AMB＝∠NME，
∴△AMB∽△NME，
∴∠NEM＝∠ABM＝45°，
∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，
∵G是EF的中點(diǎn)，
∴NG＝EF＝×＝，
故答案為：．
14．問題背景 如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用 如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，求的值；
拓展創(chuàng)新 如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接寫出AD的長．
問題背景
證明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用
解：如圖1，連接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝3．
拓展創(chuàng)新
解：如圖2，過點(diǎn)A作AB的垂線，過點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝2＝6，
∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，
∴AD＝．
15．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系 BG＝DE 及所在直線的位置關(guān)系 BG⊥DE ；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），則線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系 ＝ 及所在直線的位置關(guān)系 BG⊥DE ；
（3）在第（2）題圖5中，連接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接寫出BE2+DG2的值為 ．
解：（1）①猜想：BG⊥DE，BG＝DE；
故答案為：BG＝DE，BG⊥DE；
②結(jié)論成立．
理由：如圖2中，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，
又∵∠CBG+∠BHC＝90°，
∴∠CDE+∠DHG＝90°，
∴BG⊥DE．
（2）∵AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb，
∴＝＝，
又∵∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG＝∠CDE，＝＝，
又∵∠CBG+∠BHC＝90°，
∴∠CDE+∠DHG＝90°，
∴BG⊥DE．
故答案為：＝，BG⊥DE．
（3）連接BE、DG．
根據(jù)題意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，
∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°
∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．

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