專題10 整式的乘法壓軸題十種模型全攻略 【考點導(dǎo)航】 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12896" 【典型例題】  PAGEREF _Toc12896 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3769" 【考點一 計算單項式乘單項式】  PAGEREF _Toc3769 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc8129" 【考點二 計算單項式乘多項式及求值】  PAGEREF _Toc8129 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc10979" 【考點三 單項式乘多項式的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc10979 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc32121" 【考點四 計算多項式乘多項式】  PAGEREF _Toc32121 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc23986" 【考點五 (x+p)(x+q)型多項式乘法】  PAGEREF _Toc23986 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc22855" 【考點六 已知多項式乘積不含某項求字母的值】  PAGEREF _Toc22855 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc25918" 【考點七 多項式乘多項式——化簡求值】  PAGEREF _Toc25918 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc2792" 【考點八 多項式乘多項式與圖形面積】  PAGEREF _Toc2792 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc11307" 【考點九 多項式乘法中的規(guī)律性問題】  PAGEREF _Toc11307 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc1226" 【考點十 整式乘法混合運(yùn)算】  PAGEREF _Toc1226 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc11306" 【過關(guān)檢測】  PAGEREF _Toc11306 \h 14  【典型例題】 【考點一 計算單項式乘單項式】 例題： (2023·四川·華鎣市第二中學(xué)八年級期末）計算：等于___________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·河南師大附中八年級期中）計算_________ 2． (2023·湖南·芷江侗族自治縣第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）計算___________ 【考點二 計算單項式乘多項式及求值】 例題： (2023·上海市寶山區(qū)上海大學(xué)附屬中學(xué)實驗學(xué)校七年級期中）計算：____________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·福建省永春第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算：__________． 2． (2023·上海市寶山實驗學(xué)校七年級期中）計算：___________； 【考點三 單項式乘多項式的應(yīng)用】 例題： (2023·山東·郯城縣育才中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b． (1)用代數(shù)式表示陰影部分的面積； (2)當(dāng)，時，求陰影部分的面積． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·山東·濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心七年級期中）為了提高居民的宜居環(huán)境，某小區(qū)規(guī)劃修建一個廣場（平面圖如圖中陰影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示廣場（陰影部分）的周長C和面積S； (2)若米，米，修建每平方米需費(fèi)用200元，求修建廣場的總費(fèi)用W的值． 2． (2023·河南·鶴壁市致遠(yuǎn)中小學(xué)七年級期中）某校要用36米長的圍欄搭建一個長方形花圃，花圃一邊靠足夠長的墻，中間用一道圍欄隔開，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用圍欄制作），設(shè)長方形花圃的寬為x米． (1)用含x的代數(shù)式表示長方形花圃的長__________米． (2)用含x的代數(shù)式表示長方形花圃的面積． (3)當(dāng)時，求長方形花圃的面積． 【考點四 計算多項式乘多項式】 例題： (2023·上海市市西中學(xué)七年級期中）計算：． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海楊浦·七年級期中）計算：． 2． (2023·上海市第三女子初級中學(xué)七年級期中）計算： 【考點五 (x+p)(x+q)型多項式乘法】 例題： (2023·吉林長春·八年級期中）若，則______． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·湖南·芷江侗族自治縣第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）若，則的結(jié)果為___________． 2． (2023·上海市西延安中學(xué)七年級期中）若p、q、r均為整數(shù)，且，則r的值為___________． 【考點六 已知多項式乘積不含某項求字母的值】 例題：（遼寧省大連市金普新區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）已知的結(jié)果中不含項，則m=__________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海市寶山區(qū)上海大學(xué)附屬中學(xué)實驗學(xué)校七年級期中）如果的結(jié)果中不含有一次項，那么常數(shù)m的值為____________． 2． (2023·遼寧鞍山·八年級期中）已知與所得乘積的結(jié)果中不含和的項，則_____． 【考點七 多項式乘多項式——化簡求值】 例題： (2023·上海青浦蘭生學(xué)校七年級期中）化簡并求值；其中， 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·湖南長沙·八年級期中）先化簡，再求值：，其中． 2． (2023·安徽·宣城十二中七年級期中）已知展開式中不含和項． (1)求，的值； (2)在（1）的條件下，求代數(shù)式的值． 【考點八 多項式乘多項式與圖形面積】 例題： (2023·河南·測試·編輯教研五七年級期中）如圖，學(xué)校操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米） (1)用含a，b的整式表示花壇的面積； (2)若，，工程費(fèi)為440元/平方米，求建花壇的總工程費(fèi)為多少元？ 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·陜西渭南·八年級期末）某學(xué)校準(zhǔn)備在一塊長為米，寬為米的長方形空地上修建一塊長為米，寬為米的長方形草坪，四周鋪設(shè)地磚（陰影部分）． (1)求鋪設(shè)地磚的面積；（用含a、b的式子表示，結(jié)果化為最簡） (2)若，求鋪設(shè)地磚的面積． 2． (2023·新疆·烏魯木齊市第70中八年級期中）如圖，現(xiàn)有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規(guī)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間預(yù)留部分是邊長為米的正方形． (1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡）； (2)若，，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？ 【考點九 多項式乘法中的規(guī)律性問題】 例題： (2023·遼寧·鞍山市第三十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）觀察以下等式： ； ； ． (1)按以上等式的規(guī)律，填空： ＝； (2)利用（1）中的公式化簡：． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·廣東·江門市新會尚雅學(xué)校八年級期中）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考從簡單的情形入手．先分別計算下列各式的值． ①； ②； ③； … (1)由此我們可以得到： ①______． ②______． (2)請你利用上面的結(jié)論，完成下面的計算；． 【考點十 整式乘法混合運(yùn)算】 例題： (2023·重慶·八年級期中）計算： (1) (2) 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·山東濟(jì)寧·八年級期中）計算： (1)； (2)． 2． (2023·福建·廈門市第十一中學(xué)八年級期中）計算： (1)； (2)． 3． (2023·北京·中國農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)八年級期中）計算： (1) (2)； 【過關(guān)檢測】 一、選擇題 1． (2023秋·天津和平·八年級校考期末）計算的結(jié)果（????） A． B． C． D． 2． (2023秋·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）下列計算錯誤的是（　?。?A． B． C． D． 3． (2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）已知，則的值為（????） A． B．8 C． D． 4． (2023·山東德州·德州市同濟(jì)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如果的展開式中不含x的一次項，則m、n滿足（　　） A． B． C． D． 5． (2023秋·山西大同·八年級大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）小羽制作了如圖所示的卡片類，類，類各張，其中，兩類卡片都是正方形，類卡片是長方形，現(xiàn)要拼一個長為，寬為的大長方形，那么所準(zhǔn)備的類卡片的張數(shù)（????） A．夠用，剩余4張 B．夠用，剩余5張 C．不夠用，還缺4張 D．不夠用，還缺5張 二、填空題 6． (2023秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）計算：__________． 7． (2023秋·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）計算：______． 8． (2023春·浙江紹興·七年級?？计谥校┮阎?，則的值為___________． 9． (2023秋·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次三項式與的乘積展開式中不含項，也不含項，則_______． 10． (2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期中）小明在計算一道整式乘法的題：，因為把“”抄成了“”，得到的結(jié)果是，則m的值為______． 三、解答題 11． (2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）計算 (1) (2) 12． (2023春·黑龍江大慶·六年級?？计谥校┯嬎悖?(1) (2) 13． (2023秋·寧夏吳忠·八年級?？计谥校┫然啠偾笾担浩渲校? 14． (2023春·廣西桂林·七年級?？计谥校┫然?，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 15． (2023秋·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）若的積中不含項與項． (1)求、的值； (2)求代數(shù)式的值． 16． (2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）聰聰和同學(xué)們用2張型卡片、2張型卡片和1張型卡片拼成了如圖所示的長方形．其中型卡片是邊長為的正方形；型卡片是長方形；型卡片是邊長為的正方形． (1)請用含a、b的代數(shù)式分別表示出型卡片的長和寬； (2)如果，，請求出他們用5張卡片拼出的這個長方形的面積． 17． (2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）探究應(yīng)用： (1)計算：＝ ；＝ ； (2)上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式： ；（請用含a、b的字母表示）． (3)直接用公式計算：＝ ；＝ ． 18． (2023秋·上?！て吣昙壭？计谥校τ谌魏螌崝?shù)，我們規(guī)定符號，例如：． (1)按照這個規(guī)定請你計算的值； (2)按規(guī)定請寫出的結(jié)果； (3)當(dāng)a取的相反數(shù)時，請計算的值． 專題10 整式的乘法壓軸題十種模型全攻略 【考點導(dǎo)航】 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12896" 【典型例題】  PAGEREF _Toc12896 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3769" 【考點一 計算單項式乘單項式】  PAGEREF _Toc3769 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc8129" 【考點二 計算單項式乘多項式及求值】  PAGEREF _Toc8129 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc10979" 【考點三 單項式乘多項式的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc10979 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc32121" 【考點四 計算多項式乘多項式】  PAGEREF _Toc32121 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc23986" 【考點五 (x+p)(x+q)型多項式乘法】  PAGEREF _Toc23986 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc22855" 【考點六 已知多項式乘積不含某項求字母的值】  PAGEREF _Toc22855 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc25918" 【考點七 多項式乘多項式——化簡求值】  PAGEREF _Toc25918 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc2792" 【考點八 多項式乘多項式與圖形面積】  PAGEREF _Toc2792 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc11307" 【考點九 多項式乘法中的規(guī)律性問題】  PAGEREF _Toc11307 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc1226" 【考點十 整式乘法混合運(yùn)算】  PAGEREF _Toc1226 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc11306" 【過關(guān)檢測】  PAGEREF _Toc11306 \h 14  【典型例題】 【考點一 計算單項式乘單項式】 例題： (2023·四川·華鎣市第二中學(xué)八年級期末）計算：等于___________． 【答案】## 【分析】根據(jù)單項式乘單項式的法則進(jìn)行計算即可得出答案． 【詳解】解：． 故答案為：． 【點睛】此題考查了單項式乘單項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·河南師大附中八年級期中）計算_________ 【答案】 【分析】先根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計算，然后再用單項式乘多項式進(jìn)行計算即可． 【詳解】解：． 故答案為：． 【點睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運(yùn)算法則和單項式乘多項式運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可． 2． (2023·湖南·芷江侗族自治縣第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）計算___________ 【答案】 【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算、單項式乘以單項式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可． 【詳解】解：． 故答案為： 【點睛】本題考查了整式的乘法、冪的乘方，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握運(yùn)算法則．單項式的乘法法則：單項式乘以單項式，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式．冪的乘方運(yùn)算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘． 【考點二 計算單項式乘多項式及求值】 例題： (2023·上海市寶山區(qū)上海大學(xué)附屬中學(xué)實驗學(xué)校七年級期中）計算：____________． 【答案】 【分析】根據(jù)整式的乘法法則計算即可． 【詳解】解：． 故答案為： 【點睛】本題考查單項式乘多項式，解題關(guān)鍵是熟練掌握計算法則． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·福建省永春第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算：__________． 【答案】 【分析】把單項式乘多項式的每一項，即可求解． 【詳解】解： ， 故答案為：． 【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，掌握單項式乘多項式法則是關(guān)鍵． 2． (2023·上海市寶山實驗學(xué)校七年級期中）計算：___________； 【答案】## 【分析】根據(jù)多項式乘以單項式的運(yùn)算法則計算即可． 【詳解】， 故答案為：． 【點睛】本題主要考查了多項式乘以單項式的知識，掌握多項式乘以單項式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵． 【考點三 單項式乘多項式的應(yīng)用】 例題： (2023·山東·郯城縣育才中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b． (1)用代數(shù)式表示陰影部分的面積； (2)當(dāng)，時，求陰影部分的面積． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）延長，交于點H，用大長方形的面積減去三個三角形的面積即可得出答案； （2）把，代入（1）中得出的代數(shù)式，即可求出結(jié)果． 【詳解】（1）解：延長，交于點H，如圖所示： ； （2）解：把，代入得： ． 【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握割補(bǔ)法． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·山東·濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心七年級期中）為了提高居民的宜居環(huán)境，某小區(qū)規(guī)劃修建一個廣場（平面圖如圖中陰影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示廣場（陰影部分）的周長C和面積S； (2)若米，米，修建每平方米需費(fèi)用200元，求修建廣場的總費(fèi)用W的值． 【答案】(1)周長，面積 (2)840000元 【分析】（1）所有的邊數(shù)之和即是廣場的周長；求出大長方形的面積，再減去空白部分的面積即可求出廣場的面積； （2）代入求值得出陰影部分面積，總面積乘以每平米費(fèi)用即可得出總費(fèi)用． 【詳解】（1）根據(jù)題意有， 解：廣場的周長：， 廣場的面積：； ∴； （2）解：當(dāng)米，米時， （平方米）， （元）， ∴修建廣場的總費(fèi)用W的值為840000元． 【點睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減，單項式與多項式的乘法，以及代數(shù)式求值知識點，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵． 2． (2023·河南·鶴壁市致遠(yuǎn)中小學(xué)七年級期中）某校要用36米長的圍欄搭建一個長方形花圃，花圃一邊靠足夠長的墻，中間用一道圍欄隔開，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用圍欄制作），設(shè)長方形花圃的寬為x米． (1)用含x的代數(shù)式表示長方形花圃的長__________米． (2)用含x的代數(shù)式表示長方形花圃的面積． (3)當(dāng)時，求長方形花圃的面積． 【答案】(1) (2)平方米 (3)112平方米 【分析】（1）長方形花圃的寬為x米，根據(jù)在如圖所示的兩處各留1米寬的門，可得長方形花圃的長為米，即可求解； （2）根據(jù)長方形的面積公式計算，即可； （3）把代入（2）中的結(jié)果，即可． 【詳解】（1）解：設(shè)長方形花圃的寬為x米， 則長方形花圃的長為米； 故答案為： （2）解：根據(jù)題意得：長方形花圃的面積為 平方米； （3）解：當(dāng)時，平方米． 【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，整式乘法的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，明確題意，準(zhǔn)確得到長方形花圃的長是解題的關(guān)鍵． 【考點四 計算多項式乘多項式】 例題： (2023·上海市市西中學(xué)七年級期中）計算：． 【答案】 【分析】按多項式乘多項式的法則進(jìn)行計算即可． 【詳解】． 【點睛】本題考查了多項式乘多項式，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵，注意不要漏乘項． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海楊浦·七年級期中）計算：． 【答案】 【分析】根據(jù)多項式乘以多項式可進(jìn)行求解． 【詳解】解：==． 【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘以多項式是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·上海市第三女子初級中學(xué)七年級期中）計算： 【答案】 【分析】根據(jù)多項式乘多項式運(yùn)算法則去括號，再合并同類項即可． 【詳解】解： = = = 【點睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算的法則． 【考點五 (x+p)(x+q)型多項式乘法】 例題： (2023·吉林長春·八年級期中）若，則______． 【答案】5 【分析】根據(jù)整式的乘法展開，得到關(guān)于的方程，即可求解． 【詳解】解：， ， ，， ， 故答案為：． 【點睛】此題考查了整式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握整式乘法的運(yùn)算法則． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·湖南·芷江侗族自治縣第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）若，則的結(jié)果為___________． 【答案】21 【分析】根據(jù)多項式的乘法法則以及等式的性質(zhì)求得m的值，再代入計算即可求解． 【詳解】解：由題意得， ∴， ∴． 故答案為：21． 【點睛】本題考查了多項式的乘法，代數(shù)式的求值，掌握多項式的乘法法則是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·上海市西延安中學(xué)七年級期中）若p、q、r均為整數(shù)，且，則r的值為___________． 【答案】2或或14或-14 【分析】將展開，根據(jù)結(jié)果得到，，再結(jié)合p，q的范圍求出具體值，代入計算可得r值． 【詳解】解：， 則，， p、q、r均為整數(shù)， ，或，，,或，， 或， 故答案為：2或或14或-14． 【點睛】本題考查了多項式乘法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)要求求出具體的p，q值． 【考點六 已知多項式乘積不含某項求字母的值】 例題：（遼寧省大連市金普新區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）已知的結(jié)果中不含項，則m=__________． 【答案】6 【分析】利用多項式乘多項式的法則進(jìn)行運(yùn)算，再結(jié)合不含項，即其系數(shù)為0，即可求出的值． 【詳解】 ∵的結(jié)果中不含項， ∴ 解得： 故答案為：6 【點睛】本題考查多項式乘多項式，明確不含項，則其系數(shù)為0是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·上海市寶山區(qū)上海大學(xué)附屬中學(xué)實驗學(xué)校七年級期中）如果的結(jié)果中不含有一次項，那么常數(shù)m的值為____________． 【答案】 【分析】先計算整式的乘法，再合并同類項，令x的一次項的系數(shù)為0，可求出m的值． 【詳解】∵ 又∵結(jié)果中不含的一次項 ∴ 解得：． 故填：． 【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式的運(yùn)算，注意當(dāng)多項式中不含有哪一項時，即這一項的系數(shù)為0． 2． (2023·遼寧鞍山·八年級期中）已知與所得乘積的結(jié)果中不含和的項，則_____． 【答案】12 【分析】先化簡與的乘積，再另和的項的系數(shù)等于零即可解得． 【詳解】解：． 積中不含和的項， ． ，． ． 故答案為：12． 【點睛】本題主要考查多項式與多項式相乘的化簡，熟知多項式不含某項即為某項的系數(shù)等于零是解題的關(guān)鍵． 【考點七 多項式乘多項式——化簡求值】 例題： (2023·上海青浦蘭生學(xué)校七年級期中）化簡并求值；其中， 【答案】， 【分析】根據(jù)多項式乘多項式展開，再合并同類項，把字母的值代入計算即可． 【詳解】解： 當(dāng)，時， 原式 【點睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算和化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·湖南長沙·八年級期中）先化簡，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算多項式乘多項式，以及積的乘方，再合并同類項，進(jìn)行化簡，然后代值計算即可． 【詳解】原式 ， 當(dāng)時， 原式 ． 【點睛】本題考查整式的化簡求值．熟練掌握多項式乘多項式，積的乘方以及合并同類項的法則，正確的化簡，是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·安徽·宣城十二中七年級期中）已知展開式中不含和項． (1)求，的值； (2)在（1）的條件下，求代數(shù)式的值． 【答案】(1)?，? (2) 【分析】（1）利用多項式乘多項式的法則展開、合并同類項，再由題意所要求的對應(yīng)項系數(shù)為零，即可求得m與n的值； （2）利用多項式乘多項式的法則展開、合并同類項，再把m與n的值代入化簡后的式子中計算求值即可． 【詳解】（1）解：， 根據(jù)展開式中不含和項得：，， 解得：，， 即，； （2）解：， 當(dāng)，時， 原式． 【點睛】本題考查了多項式的乘法，正確運(yùn)算是關(guān)鍵，注意相乘的兩個多項式項數(shù)較多，不要漏乘項． 【考點八 多項式乘多項式與圖形面積】 例題： (2023·河南·測試·編輯教研五七年級期中）如圖，學(xué)校操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米） (1)用含a，b的整式表示花壇的面積； (2)若，，工程費(fèi)為440元/平方米，求建花壇的總工程費(fèi)為多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)24200元 【分析】（1）根據(jù)圖形用大長方形的面積減去小長方形的面積即可求解； （2）將，，代入代數(shù)式，乘以400，即可求解． 【詳解】（1）解： （平方米）， ∴用含a，b的整式表示花壇的面積為平方米； （2）當(dāng)，時， 建花壇的總工程費(fèi)為： （元）， 答：建花壇的總工程費(fèi)為24200元． 【點睛】本題考查了多項式的乘法與圖形面積，代數(shù)式求值，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·陜西渭南·八年級期末）某學(xué)校準(zhǔn)備在一塊長為米，寬為米的長方形空地上修建一塊長為米，寬為米的長方形草坪，四周鋪設(shè)地磚（陰影部分）． (1)求鋪設(shè)地磚的面積；（用含a、b的式子表示，結(jié)果化為最簡） (2)若，求鋪設(shè)地磚的面積． 【答案】(1)平方米 (2)鋪設(shè)地磚的面積為225平方米． 【分析】（1）利用多項式乘多項式法則化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果； （2）將a與b的值代入計算即可求出值． 【詳解】（1）解：由題可知，鋪設(shè)地磚的面積為： （平方米）； （2）解：∵， ∴原式（平方米）． 答：鋪設(shè)地磚的面積為225平方米． 【點睛】此題考查了多項式乘多項式-化簡求值，弄清題意列出相應(yīng)的式子是解本題的關(guān)鍵． 2． (2023·新疆·烏魯木齊市第70中八年級期中）如圖，現(xiàn)有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規(guī)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間預(yù)留部分是邊長為米的正方形． (1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡）； (2)若，，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)3900元 【分析】（1）用代數(shù)式表示出長方形和正方形的面積，求差即可； （2）將a，b的值代入（1）中結(jié)論可求出綠化的面積，乘以單價即可求出總費(fèi)用． 【詳解】（1）解：長方形地塊的面積為：， 中間預(yù)留部分的面積為：， ， 因此綠化的面積S為平方米； （2）解：由題意知，（平方米）， （元）， 因此完成綠化共需要3900元． 【點睛】本題考查列代數(shù)式、代數(shù)式求值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用代數(shù)式表示出綠化的面積． 【考點九 多項式乘法中的規(guī)律性問題】 例題： (2023·遼寧·鞍山市第三十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）觀察以下等式： ； ； ． (1)按以上等式的規(guī)律，填空： ＝； (2)利用（1）中的公式化簡：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)各個等式所呈現(xiàn)的規(guī)律得出答案； （2）利用（1）中的公式進(jìn)行計算即可． 【詳解】（1）由各個等式所呈現(xiàn)的規(guī)律得，， 故答案為：； （2）原式＝== 【點睛】本題考查多項式乘多項式，掌握多項式乘多項式的計算方法是解決問題的前提，發(fā)現(xiàn)各個等式所呈現(xiàn)的規(guī)律是得出答案的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·廣東·江門市新會尚雅學(xué)校八年級期中）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考從簡單的情形入手．先分別計算下列各式的值． ①； ②； ③； … (1)由此我們可以得到： ①______． ②______． (2)請你利用上面的結(jié)論，完成下面的計算；． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）由所給等式可歸納出，由此可解； （2）將所求代數(shù)式變形為，利用總結(jié)出來的規(guī)律即可求解． 【詳解】（1）解：①由所給等式可知， 因此； 故答案為：； ②由題意可知， 因此； 故答案為：； （2）解：， ． 【點睛】本題考查多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式總結(jié)出規(guī)律． 【考點十 整式乘法混合運(yùn)算】 例題： (2023·重慶·八年級期中）計算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式法則：分別用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加即可求解； （2）根據(jù)多項式乘多項式的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加即可求解． 【詳解】（1）解：； （2）解：． 【點睛】本題主要考查了單項式乘多項式，多項式乘多項式，掌握單項式乘多項式，多項式乘多項式的法則是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·山東濟(jì)寧·八年級期中）計算： (1)； (2)． 【答案】(1)x (2) 【分析】（1）先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可； （2）先計算多項式乘以多項式，再合并同類項即可． 【詳解】（1）解： ． （2） ． 【點睛】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算，掌握單項式乘以多項式，多項式乘以多項式的運(yùn)算法則，以及合并同類項是解本題的關(guān)鍵． 2． (2023·福建·廈門市第十一中學(xué)八年級期中）計算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式法則進(jìn)行計算； （2）根據(jù)多項式乘多項式法則展開，再合并同類項即可． 【詳解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【點睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 3． (2023·北京·中國農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)八年級期中）計算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用積的乘方運(yùn)算法則，計算，用單項式乘以單項式法則計算，再合并同類項； （2）用單項式乘以多項式法則計算，再合并同類項； （1） 解：； （2） ， ． 【點睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，涉及知識點：積的乘方、單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、合并同類項，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵． 【過關(guān)檢測】 一、選擇題 1． (2023秋·天津和平·八年級校考期末）計算的結(jié)果（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)去括號法則及單項式乘多項式法則直接求解即可得到答案． 【詳解】解：由題意可得， ， 故選C． 【點睛】本題考查單項式乘多項式及去括號：括號前面是負(fù)號去掉括號要變號． 2． (2023秋·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）下列計算錯誤的是（　?。?A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)單項式乘以單項式可判斷A，B，再利用冪的乘方運(yùn)算與同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算了判斷C，D，從而可得答案． 【詳解】解：A．，故此選項不合題意； B．，故此選項符合題意； C．，故此選項不合題意； D．，故此選項不合題意； 故選：B． 【點睛】本題考查的是單項式乘以單項式，冪的乘方運(yùn)算，掌握“冪的運(yùn)算法則與單項式乘以單項式的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵． 3． (2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）已知，則的值為（????） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的法則展開，得到m，n的值，然后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則得到答案． 【詳解】解：∵， ∴，， ∴， 故選：D． 【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 4． (2023·山東德州·德州市同濟(jì)中學(xué)校考模擬預(yù)測）如果的展開式中不含x的一次項，則m、n滿足（　?。?A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式的法則展開式子，再合并，根據(jù)不含x的一次項，則含x的一次項的系數(shù)為0，即可求解． 【詳解】解： ， 展開式中不含x的一次項， ， ，即， 故選：C． 【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，不含某一項則這項的系數(shù)為0，屬于基礎(chǔ)題． 5． (2023秋·山西大同·八年級大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）小羽制作了如圖所示的卡片類，類，類各張，其中，兩類卡片都是正方形，類卡片是長方形，現(xiàn)要拼一個長為，寬為的大長方形，那么所準(zhǔn)備的類卡片的張數(shù)（????） A．夠用，剩余4張 B．夠用，剩余5張 C．不夠用，還缺4張 D．不夠用，還缺5張 【答案】C 【分析】根據(jù)大長方形的面積公式求出拼成大長方形的面積，再對比卡片的面積，即可求解． 【詳解】解：大長方形的面積為， 類卡片的面積是， ∴需要類卡片的張數(shù)是， ∴不夠用，還缺4張， 故選：． 【點睛】本題主要考查多項式與多項式的乘法與圖形的面積，掌握多項式乘以多項式的計算方法是解題的關(guān)鍵． 二、填空題 6． (2023秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）計算：__________． 【答案】 【分析】根據(jù)單項式乘以單項式運(yùn)算法則：系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計算即可得到答案． 【詳解】解：， 故答案為：． 【點睛】本題考查整式乘法運(yùn)算，涉及單項式乘以單項式、同底數(shù)冪乘法運(yùn)算等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵． 7． (2023秋·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）計算：______． 【答案】 【分析】利用單項式乘以多項式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可． 【詳解】解： ． 【點睛】本題考查了單項式乘以多項式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是要熟記運(yùn)算法則． 8． (2023春·浙江紹興·七年級校考期中）已知，，則的值為___________． 【答案】7 【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則計算，再變形，整體代入數(shù)值即可求解． 【詳解】∵，， ∴ ． 故答案為：7． 【點睛】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知多項式乘法法則的變形應(yīng)用． 9． (2023秋·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次三項式與的乘積展開式中不含項，也不含項，則_______． 【答案】 【分析】由題意列出算式，利用多項式乘以多項式法則計算，合并后令三次項與一次項系數(shù)為，即可求出a與b的值，即可求得的值 【詳解】∵ ∵展開式中不含項，也不含項， ∴， 解得：，， ∴， 故答案為： 【點睛】此題考查多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘以多項式法則是解題的關(guān)鍵． 10． (2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期中）小明在計算一道整式乘法的題：，因為把“”抄成了“”，得到的結(jié)果是，則m的值為______． 【答案】2 【分析】根據(jù)錯誤的符號進(jìn)行計算，即可得出的值． 【詳解】解： ， 所以而且， 解得：． 故答案為2． 【點睛】本題是多項式乘多項式，熟練掌握法則是關(guān)鍵，同時本題要注意理解題意，根據(jù)錯誤的符號進(jìn)行計算，得出相應(yīng)結(jié)論． 三、解答題 11． (2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）計算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)單項式乘以多項式，多項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解； （2）根據(jù)單項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解． 【詳解】（1）解：原式＝ ； （2）解：原式＝ ． 【點睛】本題考查了單項式乘以多項式，多項式乘以多項式，正確的計算是解題的關(guān)鍵． 12． (2023春·黑龍江大慶·六年級?？计谥校┯嬎悖?(1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用單項式乘多項式，多項式乘多項式運(yùn)算展開，再合并同類項； （2）先在中括號里面去括號展開后，再進(jìn)行合并同類項． （1） 解： ． （2） 解： ． 【點睛】本題考查了整式加減法運(yùn)算，多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則． 13． (2023秋·寧夏吳忠·八年級校考期中）先化簡，再求值：其中． 【答案】， 【分析】先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則化簡，然后合并同類項，最后代值計算即可． 【詳解】解： ， 當(dāng)，原式． 【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知整式的混合計算法則是解題的關(guān)鍵． 14． (2023春·廣西桂林·七年級?？计谥校┫然?，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根據(jù)多項式的乘法進(jìn)行化簡，然后代入字母的值進(jìn)行計算即可求解； （2）根據(jù)多項式的乘法進(jìn)行化簡，然后將字母的值代入計算即可求解． （1） 解：原式＝ ， 當(dāng)時， 原式 ； （2） 解：原式＝ ， 當(dāng)時 原式 ． 【點睛】本題考查了多項式乘以多項式化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵． 15． (2023秋·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）若的積中不含項與項． (1)求、的值； (2)求代數(shù)式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)首先去括號，合并同類項，再根據(jù)積中不含項與項，可得關(guān)于p、q的二元一次方程組，解方程組即可求得； (2)把及p、q的值分別代入代數(shù)式，計算即可求得． （1） 解： 的積中不含項與項， 解得，； （2） 解：，，， ． 【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，代數(shù)式求值問題，解題的關(guān)鍵是正確求出p，q的值． 16． (2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）聰聰和同學(xué)們用2張型卡片、2張型卡片和1張型卡片拼成了如圖所示的長方形．其中型卡片是邊長為的正方形；型卡片是長方形；型卡片是邊長為的正方形． (1)請用含a、b的代數(shù)式分別表示出型卡片的長和寬； (2)如果，，請求出他們用5張卡片拼出的這個長方形的面積． 【答案】(1)型卡片的長為：，寬為： (2)所拼成的長方形的面積為364 【分析】（1）結(jié)合圖形進(jìn)行分析得出型卡片的長和寬即可； （2）根據(jù)圖形以及第（1）問求出的型卡片的長和寬即可表示拼出的長方形的面積． 【詳解】（1）由題意得：型卡片的長：，寬為：； （2）所拼成的長方形的面積為： ， 當(dāng)，時， 原式=． 【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，解答的關(guān)鍵是得出型卡片的長和寬． 17． (2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）探究應(yīng)用： (1)計算：＝ ；＝ ； (2)上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式： ；（請用含a、b的字母表示）． (3)直接用公式計算：＝ ；＝ ． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）兩式利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結(jié)果； （2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可； （3）利用得出的公式計算即可． 【詳解】（1）解： = =； = = 故答案為：，． （2）由（1）得 故答案為：． （3） = =； = =． 故答案為：，． 【點睛】此題考查了多項式乘多項式及探索規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則． 18． (2023秋·上?！て吣昙壭？计谥校τ谌魏螌崝?shù)，我們規(guī)定符號，例如：． (1)按照這個規(guī)定請你計算的值； (2)按規(guī)定請寫出的結(jié)果； (3)當(dāng)a取的相反數(shù)時，請計算的值． 【答案】(1) (2) (3)264 【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算法則計算即可； （2）根據(jù)新定義的運(yùn)算法則及整式的混合運(yùn)算法則計算即可； （3）將代入（2）中結(jié)論即可求解． 【詳解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：的相反數(shù)是2， 當(dāng)時， ． 【點睛】本題考查新定義運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握新定義的運(yùn)算法則并正確計算是解題的關(guān)鍵．

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