初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級(jí)下冊(cè)9.5 多項(xiàng)式的因式分解同步練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11240" 【典型例題】 PAGEREF _Tc11240 \h 1
\l "_Tc26378" 【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】 PAGEREF _Tc26378 \h 1
\l "_Tc20641" 【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】 PAGEREF _Tc20641 \h 2
\l "_Tc4370" 【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 PAGEREF _Tc4370 \h 3
\l "_Tc11660" 【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】 PAGEREF _Tc11660 \h 4
\l "_Tc32362" 【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】 PAGEREF _Tc32362 \h 5
\l "_Tc6621" 【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】 PAGEREF _Tc6621 \h 7
\l "_Tc23180" 【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】 PAGEREF _Tc23180 \h 9
\l "_Tc26587" 【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26587 \h 11
\l "_Tc30864" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc30864 \h 14
【典型例題】
【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】
例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列變形從左到右是因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】
例題： (2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·河南鶴壁·八年級(jí)?？计谥校┒囗?xiàng)式的公因式是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑篲_________．
【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】
例題： (2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）分解因式：__________．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·山東泰安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若能分解成，則的值為______．
2． (2023·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式分解因式為，則bc的值為______．
3． (2023秋·福建泉州·八年級(jí)福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為______
【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】
例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）因式分解：
（2）因式分解：
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解
(1) (2)
2． (2023春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)校考期中）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】
例題： (2023·四川成都·八年級(jí)期末）已知：a+b=3，ab=2，則_____．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·四川·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的值為_______．
【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】
例題： (2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：
2． (2023·福建三明·八年級(jí)期中）閱讀下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
這樣，我們得到．
利用上式可以將某些二鎰項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，這是一個(gè)型式子．
解：
請(qǐng)仿照上面的方法將下列多項(xiàng)式分解因式．
(1)
(2)
【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】
例題：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列兩段材料，再解答下列問(wèn)題：
（一）例題：分解因式：．
解：將“”看成整體，設(shè)，則原式，再將“”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式只用上述一種方法無(wú)法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式，就可以完整的分解了．過(guò)程為：
這種方法叫分組分解法，對(duì)于超過(guò)三項(xiàng)的多項(xiàng)式往往考慮這種方法．
利用上述數(shù)學(xué)思想方法解決下列問(wèn)題：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】
例題： (2023·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：
(1)，則a＝，b＝．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級(jí)期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，
例題：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
問(wèn)題：
(1)不論x，y為何有理數(shù)，的值均為( )
A．正數(shù) B．零 C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，滿足，且c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，求c的取值范圍．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1． (2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┌讯囗?xiàng)式分解因式，應(yīng)提取的公因式是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）
A．B．
C．D．
3． (2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┫旅娣纸庖蚴秸_的是（）
A．B．
C．D．
4． (2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值是（）
A．2021B．2022C．2023D．2024
5．（2023秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：，，，，，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：縣，愛，我，贛，游，美，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）
A．我愛美B．贛縣游C．我愛贛縣D．美我贛縣
二、填空題
6．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）和的公因式是 _______．
7．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：______．
8． (2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎稳?xiàng)式有一個(gè)因式是，則m值為_________．
9．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，則代數(shù)式的值為__________．
10．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：
材料：因式分解：．
解：將“”看成整體，令，則原式．
再將“”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)利用上述方法將分解因式的結(jié)果是___________．
三、解答題
11．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解：
(1) (2)
12． (2023秋·四川遂寧·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑?br>(1)； (2)．
13．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）因式分解
(1)； (2)．
14．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┓纸庖蚴剑?br>(1) (2)．
15． (2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┌严铝懈魇揭蚴椒纸猓?br>(1)．
(2)．
(3)．
16． (2023秋·甘肅酒泉·七年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要．
例如，已知：，則代數(shù)式．
請(qǐng)你根據(jù)以上材料解答以下問(wèn)題：
(1)若，則______；
(2)當(dāng)，求的值．
17． (2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，可以計(jì)算，
反過(guò)來(lái)．
請(qǐng)仔細(xì)觀察，一次項(xiàng)系數(shù)是兩數(shù)之和，常數(shù)項(xiàng)是這兩數(shù)之積，二次項(xiàng)系數(shù)是1，具有這種特點(diǎn)的二次三項(xiàng)式可利用進(jìn)行因式分解．
根據(jù)上述閱讀，解決下列問(wèn)題：
(1)已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式和k的值；
(2)甲，乙兩人在對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，分解的結(jié)果為，乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，分解的結(jié)果為，求這個(gè)二次三項(xiàng)式，并將其進(jìn)行正確的因式分解．
18．（2023秋·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解決問(wèn)題】已知，求的值；
(2)【拓展應(yīng)用】已知，，是的三邊長(zhǎng)，且，滿足，是中最長(zhǎng)的邊，求的取值范圍．
專題12 多項(xiàng)式的因式分解壓軸題八種模型全攻略
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11240" 【典型例題】 PAGEREF _Tc11240 \h 1
\l "_Tc26378" 【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】 PAGEREF _Tc26378 \h 1
\l "_Tc20641" 【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】 PAGEREF _Tc20641 \h 2
\l "_Tc4370" 【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 PAGEREF _Tc4370 \h 3
\l "_Tc11660" 【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】 PAGEREF _Tc11660 \h 4
\l "_Tc32362" 【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】 PAGEREF _Tc32362 \h 5
\l "_Tc6621" 【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】 PAGEREF _Tc6621 \h 7
\l "_Tc23180" 【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】 PAGEREF _Tc23180 \h 9
\l "_Tc26587" 【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26587 \h 11
\l "_Tc30864" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc30864 \h 14
【典型例題】
【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】
例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用因式分解的定義以及整式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【詳解】解：A．，從左到右的變形，不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．，從左到右的變形，是整式的乘法運(yùn)算，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．，從左到右的變形，是整式的乘法運(yùn)算，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．，從左到右的變形，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義．正確掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依據(jù)因式分解的定義以及提公因式法和公式法分解因式，依次判斷即可得到正確結(jié)論．
【詳解】解：A. ，故原因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，不能進(jìn)行因式分解，故不符合題意；
C. ，故原因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，因式分解正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握提公因式法和公式法分解因式．
2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列變形從左到右是因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的定義，逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、結(jié)果不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是因式分解，符合題意，選項(xiàng)正確，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解得定義，解題關(guān)鍵是掌握因式分解是整式的變形，變形前后都是整式，且結(jié)果是積的形式．
【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】
例題： (2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)公因式的概念（多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式），即可求解．
【詳解】由題意得應(yīng)該提取的公因式是：
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解中公因式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握公因式的概念．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·河南鶴壁·八年級(jí)?？计谥校┒囗?xiàng)式的公因式是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的公因式的確定方法，即可求解．
【詳解】解：多項(xiàng)式的公因式是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的定義．確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．
2．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑篲_________．
【答案】
【分析】根據(jù)提公因式法分解因式即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法．
【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】
例題： (2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┓纸庖蚴剑篲_________．
【答案】
【分析】此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察分解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·山東泰安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若能分解成，則的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式分解成，所以整式乘法得出的多項(xiàng)式與相同，由此得出一次項(xiàng)系數(shù)的值．
【詳解】解：
，
∵是由分解成的，
∴一次項(xiàng)系數(shù)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握整式乘法與因式分解為互逆的運(yùn)算過(guò)程是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式分解因式為，則bc的值為______．
【答案】24
【分析】利用整式的乘法去括號(hào)合并同類項(xiàng)后，對(duì)比各項(xiàng)系數(shù)相等即可．
【詳解】∵ 分解因式為
∴
∴ ，
∴
故答案是24
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，以及多項(xiàng)式相等時(shí)對(duì)應(yīng)各項(xiàng)系數(shù)相等，正確利用公式計(jì)算是關(guān)鍵．
3． (2023秋·福建泉州·八年級(jí)福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為______
【答案】8
【分析】先將的括號(hào)展開，求出a和b的值，代入求解即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則．
【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】
例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）因式分解：
（2）因式分解：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)進(jìn)行分解；
（2）首先分組，進(jìn)而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法分解因式，提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．解題的關(guān)鍵正確分組、熟練掌握完全平方公式和平方差公式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．
2． (2023春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴剑?br>(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1））直接提取公因式進(jìn)行分解即可；
（2）首先提取公因式3，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解即可；
（3）首先提取公因式a，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可；
（4）首先利用平方差公式進(jìn)行分解，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，與提公因式法分解因式，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】
例題： (2023·四川成都·八年級(jí)期末）已知：a+b=3，ab=2，則_____．
【答案】9
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，將已知等式整體代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：∵a+b=3，ab=2，
∴
=9，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·四川·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的值為_______．
【答案】
【分析】將所求代數(shù)式中的因式分解，再把代入，化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：∵，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值和因式分解以及整式計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練利用因式分解把所求代數(shù)式變形，然后整體代入求值．
【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】
例題： (2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和十字相乘法是本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：
【答案】
【分析】先把式子化成，再運(yùn)用十字相乘法分解因式即可．
【詳解】解：原式=
=
=
=
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用十字相乘法進(jìn)行因式分解．
2． (2023·福建三明·八年級(jí)期中）閱讀下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
這樣，我們得到．
利用上式可以將某些二鎰項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，這是一個(gè)型式子．
解：
請(qǐng)仿照上面的方法將下列多項(xiàng)式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照題意進(jìn)行分解因式即可；
（2）仿照題意進(jìn)行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】
例題：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先運(yùn)用平方差公式，再提取公因式即可；
（2）先移項(xiàng)，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；
（3）先移項(xiàng)，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查利用提取公因式法，公式法進(jìn)行因式分解，能夠?qū)煞N方法靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列兩段材料，再解答下列問(wèn)題：
（一）例題：分解因式：．
解：將“”看成整體，設(shè)，則原式，再將“”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式只用上述一種方法無(wú)法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式，就可以完整的分解了．過(guò)程為：
這種方法叫分組分解法，對(duì)于超過(guò)三項(xiàng)的多項(xiàng)式往往考慮這種方法．
利用上述數(shù)學(xué)思想方法解決下列問(wèn)題：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把和分別看作一個(gè)整體后運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，最后再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行分解即可；
（2）原式分別把一、四項(xiàng)和一、三項(xiàng)分組后，再運(yùn)用因式分解法和提公因式法進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】（1）
=
=
=
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問(wèn)題的方法．
【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】
例題： (2023·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：
(1)，則a＝，b＝．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長(zhǎng)．
【答案】(1)3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通過(guò)完全平方公式進(jìn)行變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；
（2）由得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；
（3）把方程通過(guò)變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a、b，根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得c，便可求得三角形的周長(zhǎng)．
（1）
解：由得，
，
∵≥0，，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案為：3；1；
（2）
由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）
由得，
∴，
∵△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級(jí)期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，
例題：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
問(wèn)題：
(1)不論x，y為何有理數(shù)，的值均為( )
A．正數(shù) B．零 C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，滿足，且c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，求c的取值范圍．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意得到，即可作出判斷；
（2）根據(jù)題意由得到，求得x＝y(tǒng)＝﹣2，即可得到答案；
（3）由得到，求得a＝5，b＝4，因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，即可求得c的取值范圍．
（1）
解：
∵，，
∴≥4
∴不論x，y為何有理數(shù)，的值均為正數(shù)，
故選：A
（2）
∵，
∴，
∴，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y(tǒng)＝﹣2，
∴；
（3）
∵，
∴，
∴，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，
∴，
即5≤c＜9，
即c的取值范圍是5≤c＜9．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式因式分解、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)，利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1． (2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┌讯囗?xiàng)式分解因式，應(yīng)提取的公因式是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得提取即可得到答案．
【詳解】解：
，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式分解因式，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)因式分解的定義是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的變形，可得答案．
【詳解】解：A．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)符合題意；
B．沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟練掌握因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的變形是解題的關(guān)鍵．
3． (2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┫旅娣纸庖蚴秸_的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的積的形式叫做因式分解，判斷即可．
【詳解】∵，
∴A不是因式分解，不合題意；
∵是因式分解，
∴B符合題意；
∵，
∴C不合題意；
∵，
∴D不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義即把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的積的形式，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．
4． (2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值是（）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】A
【分析】把左邊利用因式分解變形，和右邊比較即可求出n的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：，，，，，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：縣，愛，我，贛，游，美，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）
A．我愛美B．贛縣游C．我愛贛縣D．美我贛縣
【答案】C
【分析】將所給的多項(xiàng)式因式分解，然后與已知的密碼相對(duì)應(yīng)得出文字信息．
【詳解】解：∵
又∵，，，，分別對(duì)應(yīng)下列四個(gè)個(gè)字：縣，愛，我，贛，
∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息是：我愛贛縣．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是將多項(xiàng)式因式分解，注意因式分解要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．
二、填空題
6．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）和的公因式是 _______．
【答案】
【分析】直接找出公因式進(jìn)而提取即可．
【詳解】解：．
則公因式是：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
7．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
8． (2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎稳?xiàng)式有一個(gè)因式是，則m值為_________．
【答案】3
【分析】根據(jù)二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，且，即可得到m的值．
【詳解】解：∵二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，
，
∴，
，
故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是湊因式．
9．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，則代數(shù)式的值為__________．
【答案】
【分析】原式提取公因式，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法的運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
10．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：
材料：因式分解：．
解：將“”看成整體，令，則原式．
再將“”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)利用上述方法將分解因式的結(jié)果是___________．
【答案】
【分析】令，代入后因式分解后，再將還原即可得到答案．
【詳解】解：令，
則原式，
再將還原，原式，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問(wèn)題的方法．
三、解答題
11．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．
12． (2023秋·四川遂寧·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑?br>(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法和完全平方公式法分解因式即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，熟練掌握提公因式法和公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
13．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）因式分解
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再運(yùn)用平方差公式求解；
（2）先去括號(hào)，再運(yùn)用完全平方公式求解．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
14．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┓纸庖蚴剑?br>(1) (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過(guò)添括號(hào)，將轉(zhuǎn)化為，再利用平方差公式進(jìn)行分解因式即可求解．
（2）將轉(zhuǎn)化為，先提出公因式，再利用十字相乘法進(jìn)行分解因式即可求解．
【詳解】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查分解因式的方法，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法．
15． (2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┌严铝懈魇揭蚴椒纸猓?br>(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式；
（2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用提公因式法分解因式；
（3）首先利用提公因式法分解因式，然后利用完全平方公式分解因式．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
16． (2023秋·甘肅酒泉·七年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要．
例如，已知：，則代數(shù)式．
請(qǐng)你根據(jù)以上材料解答以下問(wèn)題：
(1)若，則______；
(2)當(dāng)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)整體思想對(duì)分解因式即可得到結(jié)果；
（2）利用整體思想對(duì)加減，再提公因式即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵
∴
故答案為：2；
（2）解：∵
∴
.
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用整體思想方法求代數(shù)式的值，利用因式分解對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
17． (2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，可以計(jì)算，
反過(guò)來(lái)．
請(qǐng)仔細(xì)觀察，一次項(xiàng)系數(shù)是兩數(shù)之和，常數(shù)項(xiàng)是這兩數(shù)之積，二次項(xiàng)系數(shù)是1，具有這種特點(diǎn)的二次三項(xiàng)式可利用進(jìn)行因式分解．
根據(jù)上述閱讀，解決下列問(wèn)題：
(1)已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式和k的值；
(2)甲，乙兩人在對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，分解的結(jié)果為，乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，分解的結(jié)果為，求這個(gè)二次三項(xiàng)式，并將其進(jìn)行正確的因式分解．
【答案】(1)另一個(gè)因式為；k的值為
(2)；
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)定義對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可解得．
（2）把，，依次展開，分別取正確的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)．
【詳解】（1）設(shè)
∴，，
∴，
∴另一個(gè)因式為，k的值是．
（2），
，
由題意得：，，
∴這個(gè)二次三項(xiàng)式是．
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則、因式分解，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉運(yùn)算規(guī)則．
18．（2023秋·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解決問(wèn)題】已知，求的值；
(2)【拓展應(yīng)用】已知，，是的三邊長(zhǎng)，且，滿足，是中最長(zhǎng)的邊，求的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）將拆分成和，再根據(jù)完全平方公式配方解答；
（2）先根據(jù)閱讀材料求出，的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答．
【詳解】（1），
將拆分成和，可得
，
根據(jù)完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根據(jù)完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最長(zhǎng)的邊，
∴，
即的取值范圍．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行配方是解題的關(guān)鍵．

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