專題03 平行線中的拐點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略 【考點(diǎn)導(dǎo)航】 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16709" 【典型例題】  PAGEREF _Toc16709 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5711" 【考點(diǎn)一 平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc5711 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc21104" 【考點(diǎn)二 平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc21104 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc961" 【考點(diǎn)三 平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc961 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc14438" 【過關(guān)檢測(cè)】  PAGEREF _Toc14438 \h 9  【典型例題】 【考點(diǎn)一 平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】 例題： (2023·四川南充·九年級(jí)期中）如圖，，若，，則∠E=______． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______． 2． (2023·甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，若ABCD，則，，則______． 【考點(diǎn)二 平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】 例題： (2023·云南·彌勒市朋普中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·浙江·蘭溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，則∠4=____． 2． (2023·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____． 【考點(diǎn)三 平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】 例題： (2023·四川瀘州·七年級(jí)期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______． 2． (2023·山東·濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野中心中學(xué)期中）幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向一致，則∠DCB的度數(shù)為_____° 【過關(guān)檢測(cè)】 一、選擇題 1． (2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，則∠EPF的度數(shù)是（??????） A．110° B．90° C．80° D．70° 2． (2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)宏揚(yáng)學(xué)校七年級(jí)期中）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是 （??） A． B． C． D． 3． (2023·貴州安順·七年級(jí)期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（????） A．130° B．140° C．145° D．150° 二、填空題 4． (2023·上?！?七年級(jí)期中）如圖，ABCD，為平行線間一點(diǎn)，若，，則______度． 5． (2023·遼寧·阜新市第一中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，某縣積極推進(jìn)“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”，要對(duì)一段水渠進(jìn)行擴(kuò)建．如圖，已知現(xiàn)有水渠從A地沿北偏東50°的方向到B地，又從B地沿北偏西20°的方向到C地．現(xiàn)要從C地出發(fā)修建一段新渠CD，使，則∠BCD的度數(shù)為_____度． 6． (2023·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為_________． 三、解答題 7． (2023·江西贛州·七年級(jí)期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)． (1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)． 解：過點(diǎn)F作 所以∠B+∠BFE=180°（??????????????????????????????????????????） 因?yàn)?、（已知?所以 （ ??????????????????????????????????????????） 所以∠D+∠DFE=180°（?????????????????????????????????????????????） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根據(jù)以上解答進(jìn)行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)選其中一個(gè)簡要證明） 備用圖： (3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由） 8． (2023·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合． (1)如圖，有一動(dòng)點(diǎn)在線段之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：； (2)如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)之上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 9． (2023·廣東·龍嶺初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，圖①是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成平面示意圖如圖②和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，各活動(dòng)小組探索與，之間數(shù)量關(guān)系時(shí)，有如下發(fā)現(xiàn)， (1)在圖②所示的圖形中，若，，則___________ (2)在圖⑧中，若，，則_________ (3)有同學(xué)在圖②和圖③的基礎(chǔ)上，面出了圖④所示的圖形，其中，請(qǐng)判斷，，之間的關(guān)系，并說明理由． 10． (2023·山東省濟(jì)南第十二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）探究： (1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關(guān)系？ (2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關(guān)系？ (3)如圖③，已知ABCD，請(qǐng)直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系； 11． (2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點(diǎn)C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系． (1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表： (2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)圖形進(jìn)行說明理由． 12． (2023·四川樂山·七年級(jí)期末）問題情境：如圖 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖 2，過 P 作，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110° 問題遷移： (1)如圖 3，，點(diǎn) P 在射線 OM 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由 (2)在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)， 點(diǎn) P 與 點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合，請(qǐng)你直接寫出∠CPD、 間的數(shù)量關(guān)系． 圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系 圖（1）  圖（2） 圖（3） 圖（4） 圖（5）圖（6） 專題03 平行線中的拐點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略 【考點(diǎn)導(dǎo)航】 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16709" 【典型例題】  PAGEREF _Toc16709 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5711" 【考點(diǎn)一 平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc5711 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc21104" 【考點(diǎn)二 平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc21104 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc961" 【考點(diǎn)三 平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc961 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc14438" 【過關(guān)檢測(cè)】  PAGEREF _Toc14438 \h 9  【典型例題】 【考點(diǎn)一 平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】 例題： (2023·四川南充·九年級(jí)期中）如圖，，若，，則∠E=______． 【答案】##66度 【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作，則，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等分別求出，則． 【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______． 【答案】 【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可直接得到答案． 【詳解】如下圖所示，過點(diǎn)C作， ∵， ∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， ∵，， ∴， ∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， ∴， ∴， ∴在原圖中， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 2． (2023·甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，若ABCD，則，，則______． 【答案】##20度 【分析】過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，再結(jié)合可得，進(jìn)而可得的度數(shù)． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，則， ， ， ， ． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，構(gòu)造合適的輔助線是解題關(guān)鍵． 【考點(diǎn)二 平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】 例題： (2023·云南·彌勒市朋普中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【答案】 【分析】連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到結(jié)論． 【詳解】解：連接BD，如圖， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°， ∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=540°． 故答案為：540°． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·浙江·蘭溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，則∠4=____． 【答案】30°##30度 【分析】過A點(diǎn)作AB直線l1，過C點(diǎn)作CD直線l2，由平行線的性質(zhì)可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，結(jié)合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，進(jìn)而可求解． 【詳解】解：過A點(diǎn)作AB直線l1，過C點(diǎn)作CD直線l2， ∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8， ∵直線l1l2， ∴ABCD， ∴∠6=∠7， ∵∠2比∠3大10°， ∴∠2-∠3=10°， ∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3， ∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°， ∴40°-∠4=10°， 解得∠4=30°． 故答案為：30°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角的計(jì)算，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①過點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論； ②過點(diǎn)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論； ③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④過點(diǎn)P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤； ②如圖2，過點(diǎn)E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確； ③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正確； ④如圖4，過點(diǎn)P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確； 故答案為：②③④． 【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)三 平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】 例題： (2023·四川瀘州·七年級(jí)期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________． 【答案】 【分析】根據(jù)方位角的概念，過點(diǎn)作輔助線，構(gòu)造兩組平行線，利用平行線的性質(zhì)即可求解． 【詳解】如圖，作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行線．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等． 【變式訓(xùn)練】 1． (2023·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______． 【答案】##60度 【分析】如圖所示，過點(diǎn)O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可． 【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作， ∵光線，都是水平線， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵． 2． (2023·山東·濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野中心中學(xué)期中）幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向一致，則∠DCB的度數(shù)為_____° 【答案】90度##90° 【分析】根據(jù)CD與AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根據(jù)，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，則有∠DCB=90°，問題得解． 【詳解】如圖，設(shè)置點(diǎn)M、N， 根據(jù)題意有：， ∵CD與AB的方向一致， ∴， ∴∠DCB=∠CBA， ∵， ∴∠A+∠ABN=180°， ∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°， ∴∠ABC=90°， ∴∠DCB=90°， 故答案為：90°． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、方位角的應(yīng)用，明確題意，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 【過關(guān)檢測(cè)】 一、選擇題 1． (2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，則∠EPF的度數(shù)是（??????） A．110° B．90° C．80° D．70° 【答案】D 【分析】如圖，過點(diǎn)P作PMAB，利用平行線的性質(zhì)得到∠EPF=∠1+∠2即可． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PMAB， ∴∠3=∠1=30°， 又∵， ∴， ∴∠4=∠2=40°， ∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°， 即∠EPF=70°， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理以及平行線的性質(zhì)．注意如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行的運(yùn)用． 2． (2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)宏揚(yáng)學(xué)校七年級(jí)期中）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是 （??） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到． 【詳解】解：如圖，延長交于， ∵，， ， 又，， ． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等． 3． (2023·貴州安順·七年級(jí)期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（????） A．130° B．140° C．145° D．150° 【答案】D 【分析】過點(diǎn)B作BEAD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE＝110°，從而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行線的性質(zhì)，即可解答． 【詳解】解：過點(diǎn)B作BEAD， ∴∠A＝∠ABE＝110°， ∵∠ABC＝140°， ∴∠EBC＝∠ABC?∠ABE＝30°， ∵ADCF， ∴BECF， ∴∠C＝180°?∠EBC＝150°， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． 二、填空題 4． (2023·上海· 七年級(jí)期中）如圖，ABCD，為平行線間一點(diǎn)，若，，則______度． 【答案】100 【分析】過點(diǎn)作的平行線，由平行線的判定與性質(zhì)即可求解． 【詳解】解：過點(diǎn)作，則， ，， ， ，， ． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)準(zhǔn)確作出的平行線． 5． (2023·遼寧·阜新市第一中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，某縣積極推進(jìn)“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”，要對(duì)一段水渠進(jìn)行擴(kuò)建．如圖，已知現(xiàn)有水渠從A地沿北偏東50°的方向到B地，又從B地沿北偏西20°的方向到C地．現(xiàn)要從C地出發(fā)修建一段新渠CD，使，則∠BCD的度數(shù)為_____度． 【答案】110 【分析】根據(jù)方向角和平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等即可求出． 【詳解】解：B點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東50°，C點(diǎn)在B點(diǎn)北偏西20°， ∴， ∵ ∴， 故答案為：110． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，利用方位角進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 6． (2023·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為_________． 【答案】82 【分析】過點(diǎn)作，得，得，；根據(jù)，是，的角平分線，；；根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，，即可求出的角度． 【詳解】如圖：過點(diǎn)作， ∵， ∴， ∴；， ∵，是，的角平分線， ∴；， ∴；， ∴在四邊形中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等量代換，四邊形內(nèi)角和，角平分線；設(shè)角等于，；角的等量代換是解題的關(guān)鍵． 三、解答題 7． (2023·江西贛州·七年級(jí)期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)． (1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)． 解：過點(diǎn)F作 所以∠B+∠BFE=180°（??????????????????????????????????????????） 因?yàn)椤ⅲㄒ阎?所以 （ ??????????????????????????????????????????） 所以∠D+∠DFE=180°（?????????????????????????????????????????????） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根據(jù)以上解答進(jìn)行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)選其中一個(gè)簡要證明） 備用圖： (3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由） 【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) (2)見解析 (3) 【分析】（1）過點(diǎn)F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根據(jù)、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案； （2）類比問題（1）的解題方法即可得解； （3）類比問題（1）的解題方法即可得解． （1） 解：過點(diǎn)F作，如圖， ∴∠B+∠BFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等）， ∵、（已知） ∴（平行于同一直線的兩直線平行）， ∴∠D+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， ∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°； 故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，平行于同一直線的兩直線平行； 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； （2） 解：選圖（2），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系為：∠BDF+∠B=∠F； 理由如下： 過點(diǎn)D作DC//AB， ∴∠B=∠BDC， ∵，， ∴， ∴∠CDF=∠F， ∴∠BDF+∠BDC =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F； 選圖（3），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系：∠BDF+∠B=∠F 過點(diǎn)D作， ∴∠B=∠BDC， ∵，， ∴， ∴∠CDF=∠F， ∴∠BDF+∠BDC =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F ∠BDF+∠B=∠F ； （3） 解： 如圖（4）所示，過點(diǎn)C作，過D作， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系和平行線公理推論的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和平行線公理推論的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 8． (2023·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合． (1)如圖，有一動(dòng)點(diǎn)在線段之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：； (2)如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)之上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1)證明見解析； (2)，理由見解析． 【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結(jié)論； 過作，依據(jù)，可得，進(jìn)而得到，，再根據(jù)，即可得出． （1） 證明：如圖，過點(diǎn)作， ， ， ，． 又， ； （2） 解：． 理由如下：如圖，過作， ， ， ，， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵． 9． (2023·廣東·龍嶺初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，圖①是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成平面示意圖如圖②和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，各活動(dòng)小組探索與，之間數(shù)量關(guān)系時(shí)，有如下發(fā)現(xiàn)， (1)在圖②所示的圖形中，若，，則___________ (2)在圖⑧中，若，，則_________ (3)有同學(xué)在圖②和圖③的基礎(chǔ)上，面出了圖④所示的圖形，其中，請(qǐng)判斷，，之間的關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)P作，利用平行線的性質(zhì)得到由此即可得到答案； （2）如圖所示，過點(diǎn)P作，利用平行線的性質(zhì)得到，在求出的度數(shù)即可得到答案； （3）如圖所示，過點(diǎn)P作，由平行線的性質(zhì)得到，再由即可得到結(jié)論． （1） 解：如圖所示，過點(diǎn)P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案為：； （2） 解：如圖所示，過點(diǎn)P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案為：； （3） 解：，理由如下： 如圖所示，過點(diǎn)P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 10． (2023·山東省濟(jì)南第十二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）探究： (1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關(guān)系？ (2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關(guān)系？ (3)如圖③，已知ABCD，請(qǐng)直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系； 【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2； (2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4； (3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4． 【分析】（1）過點(diǎn)E作EMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可； （2）過點(diǎn)F作NFAB，結(jié)合（1）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可； （3）過點(diǎn)G作GMAB，結(jié)合（2）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可． （1） 解：如圖①，過點(diǎn)E作EMAB， ∵ABCD， ∴ABCDEM， ∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF， ∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF， 即∠1＋∠3＝∠2； （2） 如圖②，過點(diǎn)F作NFAB， ∵ABCD， ∴ABCDFN， ∴∠4＝∠NFH， 由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2， ∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4， 即∠1＋∠3＝∠2＋∠4； （3） 如圖③，過點(diǎn)G作GMAB， ∵ABCD， ∴ABCDGM， ∴∠5＝∠MGN， 由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM， ∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN， 即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4． 【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵． 11． (2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點(diǎn)C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系． (1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表： (2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)圖形進(jìn)行說明理由． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)即可求解． （2）過點(diǎn)C作CGAB，利用平行線的判定和性質(zhì)即可求解． （1） 解：∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系如下表： （2） 解：圖（1） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F=∠C． 理由：過點(diǎn)C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F， ∴∠B+∠F=∠BCF； 圖（2） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C． 理由：過點(diǎn)C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B， ∴∠F-∠B=∠BCF； 圖（3） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C． 理由：過點(diǎn)C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F， ∴∠B-∠F=∠BCF； 圖（4） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F+∠C=360°． 理由：過點(diǎn)C作CGAB， ∴∠BCG+∠B=180°， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF+∠F=180°， ∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°， ∴∠B+∠F+∠BCF=360°； 圖（5） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C． 理由：過點(diǎn)C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F， ∴∠B-∠F=∠BCF； 圖（6） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C． 理由：過點(diǎn)C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B， ∴∠F-∠B=∠BCF； 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題． 12． (2023·四川樂山·七年級(jí)期末）問題情境：如圖 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖 2，過 P 作，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110° 問題遷移： (1)如圖 3，，點(diǎn) P 在射線 OM 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由 (2)在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)， 點(diǎn) P 與 點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合，請(qǐng)你直接寫出∠CPD、 間的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）過點(diǎn)作 ，則可得出，然后平行線的性質(zhì)分別求出把和表示出來，則利用角的和差關(guān)系，即可求出結(jié)果； （2）分兩種情況討論：過點(diǎn)P作，則可得出，然后平行線的性質(zhì)分別求出把 和 表示出來，則利用角的和差關(guān)系，即可求出結(jié)果． 【詳解】（1）解： 證明：如圖，過點(diǎn)P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：當(dāng)P在線段的延長線上時(shí)， 證明：如圖，過點(diǎn)P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如圖，當(dāng)P在線段的延長線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 綜上所述：或． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角相等． 圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系 圖（1）  圖（2） 圖（3） 圖（4） 圖（5）圖（6）圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系 圖（1） ∠B+∠F=∠C 圖（2）∠F-∠B=∠C 圖（3）∠B-∠F=∠C 圖（4） ∠B+∠F+∠C=360°圖（5）∠B-∠F=∠C圖（6）∠F-∠B=∠C

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