一、選擇題


1．如圖，下列四組角中是同位角的是（ ）





A．∠1與∠7B．∠3與∠5C．∠4 與∠5D．∠2與∠6





2．如圖，下列條件不能判定AB∥CD的是（ ）





A．∠1=∠2B．∠2=∠5C．∠1=∠3D．∠4=∠6





3．已知：如圖AB∥EF，BC⊥CD，則∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系是（ ）





A．∠β=∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β﹣∠γ=90°D．∠β+∠γ﹣∠α=90°





4．中國2010年上海世博會吉祥物的名字叫“海寶”，意即“四海之寶”．下面哪一個可由圖通過平移得（ ）





A．B．C．D．





5．下圖中共有（ ）個三角形．





A．4B．7C．8D．9





6．以下列各組線段的長為邊，能組成三角形的是（ ）


A．1cm、2cm、3cmB．4cm、3cm、8cmC．3cm、3cm、6cmD．5cm、4cm、3cm





7．如圖，△ABC中，CD⊥BC于C，D點在AB的延長線上，則CD是△ABC（ ）





A．BC邊上的高B．AB邊上的高C．AC邊上的高D．以上都不對





8．對于一個三角形的三條中線的位置，下列說法正確的是（ ）


A．都在三角形內(nèi)B．都在三角形外C．有的可能在三角形內(nèi)，有的也可能在三角形外D．有的可能與三角形的某一邊重合





9．如圖，△ABC的角平分線AD，中線BE交于點O，則結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線．其中（ ）





A．①、②都正確B．①、②都不正確C．①正確②不正確D．①不正確，②正確





10．如圖，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是BC邊上的高，且∠B=25°，∠C=55°，則∠DAE的度數(shù)是（ ）





A．15°B．35°C．65°D．75°





11．正六邊形的每一個外角都是（ ）


A．720°B．360°C．120°D．60°





12．計算a2?a3+2a5的結(jié)果為（ ）


A．a(chǎn)5B．3a5C．a(chǎn)10D．3a10





13．計算（﹣2a2b）3的結(jié)果是（ ）


A．﹣6a6b3B．﹣8a6b3C．8a6b3D．﹣8a5b3





14．下列4個算式中，計算錯誤的有（ ）


(1)（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2


(2)（﹣y）6÷（﹣y）3=﹣y3


(3)z3÷z0=z3


(4)a4m÷am=a4．


A．4個B．3個C．2個D．1個





15．某種冠狀病毒的直徑是1.2×10﹣7米，1米=109納米，則這種冠狀病毒的直徑為（ ）


A．1.2納米B．12納米C．120納米D．1200納米





二、填空題


16．如圖，已知直線l與a，b相交，請?zhí)砑右粋€條件 ，使a∥b（填一個你認為正確的條件即可）








17．如圖，直線l1∥l2，被直線l所截，已知∠2比∠1大80°，且∠1的三倍比∠2大20°，那么∠1的度數(shù)為 ．








18．在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，則∠B= ．





19．計算（3.4×10﹣10）×（2×107）= （結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）





20．我國在2012年開始試點使用“PM2.5”標準來檢測空氣質(zhì)量，是指大氣中直徑大于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對人的呼吸系統(tǒng)會造成極大的危害．你知道嗎？2.5微米=0.0000025米，用科學(xué)記數(shù)法表示


為 米．





三、解答題


21．如圖所示，直線a∥b，AC丄AB，AC交直線b于點C，∠1=60°，求∠2的度數(shù)．








22．如圖，若AE是△ABC邊上的高，∠EAC的角平分線AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠DAE．








23．如圖，將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到對應(yīng)的三角形A1B1C1．


(1)畫出三角形A1B1C1，并寫出點A1、B1、C1的坐標．


(2)請直接寫出三角形ABC的面積．








24．四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的內(nèi)（或外）角平分線分別為AE和CF．


(1)當AE，CF都為內(nèi)角平分線時，不難證明AE∥CF．過程如下：（如圖1）


∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，


∴2（∠2+∠4）=360°﹣180°=180°


則∠2+∠4=90°


又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，則∠4=∠5．∴AE∥CF．


(2)當AE，CF時都為角平分線時（如圖2），AE與CF位置關(guān)系怎樣？給出證明．


(3)當AE是內(nèi)角平分線，CF是外角平分線時（如圖3），請你探索AE與CF的位置關(guān)系，并給出證明．








25．已知：如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2．BE與CF平行嗎？請說明理由．








26．如圖，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分線與BA的延長線相交于點E．


(1)請你判斷BF與CD的位置關(guān)系，并說明理由．


(2)求∠3的度數(shù)．








27．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．







































































答案


1．如圖，下列四組角中是同位角的是（ ）





A．∠1與∠7B．∠3與∠5C．∠4 與∠5D．∠2與∠6


【考點】J6：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】同位角就是：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角．


【解答】解：根據(jù)同位角、鄰補角、對頂角的定義進行判斷，


A、∠1與∠7不是同位角，故A錯誤；


B、∠3與∠5是內(nèi)錯角，故B錯誤；


C、∠4與∠5是同旁內(nèi)角，故C錯誤；


D、∠2與∠6是同位角，故D正確．


故選：D．


【點評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．





2．如圖，下列條件不能判定AB∥CD的是（ ）





A．∠1=∠2B．∠2=∠5C．∠1=∠3D．∠4=∠6


【考點】J9：平行線的判定．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)平行線的判定方法對各選項分析判斷后利用排除法求解．


【解答】解：A、∠1=∠2不能判定AB∥CD，故本選項正確；


B、∠2=∠5能判定AB∥CD，故本選項錯誤；


C、∠1=∠3能判定AB∥CD，故本選項錯誤；


D、∠4=∠6能判定AB∥CD，故本選項錯誤．


故選A．


【點評】本題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．





3．已知：如圖AB∥EF，BC⊥CD，則∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系是（ ）





A．∠β=∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β﹣∠γ=90°D．∠β+∠γ﹣∠α=90°


【考點】JA：平行線的性質(zhì)．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】分別過C、D作AB的平行線CM和DN，由平行線的性質(zhì)可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．


【解答】解：


如圖，分別過C、D作AB的平行線CM和DN，


∵AB∥EF，


∴AB∥CM∥DN∥EF，


∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，


∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，


又BC⊥CD，


∴∠BCD=90°，


∴∠α+∠β=90°+∠γ，


即∠α+∠β﹣∠γ=90°，


故選C．





【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補，④a∥b，b∥c?a∥c．





4．中國2010年上海世博會吉祥物的名字叫“海寶”，意即“四海之寶”．下面哪一個可由圖通過平移得（ ）





A．B．C．D．


【考點】Q2：平移的性質(zhì)．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化．


【解答】解：A、B、C吉祥物“海寶”的形狀都發(fā)生了變化，因此不是平移，只有D符合要求，是平移．


故選D．


【點評】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，判斷圖形是否由平移得到，要把握兩個“不變”，圖形的形狀和大小不變；一個“變”，位置改變．





5．下圖中共有（ ）個三角形．





A．4B．7C．8D．9


【考點】K1：三角形．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)三角形的定義，三角形有：△ACD，△ABF，△DBE，△FCE，△EBC，△DBC，△FBC，△ABC共8個．


【解答】解：∵圖中三角形有：△ACD，△ABF，△DBE，△FCE，△EBC，△DBC，△FBC，△ABC，


∴共8個．


故選C．


【點評】此題考查了學(xué)生對三角形的認識．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般從一邊開始，依次進行．





6．以下列各組線段的長為邊，能組成三角形的是（ ）


A．1cm、2cm、3cmB．4cm、3cm、8cmC．3cm、3cm、6cmD．5cm、4cm、3cm


【考點】K6：三角形三邊關(guān)系．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行分析．


【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，


A、1+2=3，不能組成三角形；


B、4+3＜8，不能夠組成三角形；


C、3+3=6，不能組成三角形；


D、4+3＞5，能組成三角形．


故選D．


【點評】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．





7．如圖，△ABC中，CD⊥BC于C，D點在AB的延長線上，則CD是△ABC（ ）





A．BC邊上的高B．AB邊上的高C．AC邊上的高D．以上都不對


【考點】K2：三角形的角平分線、中線和高．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】三角形的高線是過它的一個頂點的垂直于對邊的直線，或這條直線上從頂點到與對邊交點之間的線段．


【解答】解：CD是△BCD中BC邊上的高，而不是△ABC的高．


故選D．


【點評】本題主要考查三角形的高線的定義．





8．對于一個三角形的三條中線的位置，下列說法正確的是（ ）


A．都在三角形內(nèi)B．都在三角形外C．有的可能在三角形內(nèi)，有的也可能在三角形外D．有的可能與三角形的某一邊重合


【考點】K2：三角形的角平分線、中線和高．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)三角形的中線的定義解答．


【解答】解：三角形的中線是三角形的頂點與對邊中點的連線，所以，一定都在三角形內(nèi)．


縱觀各選項，只有A選項正確．


故選A．


【點評】本題考查了三角形的中線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．





9．如圖，△ABC的角平分線AD，中線BE交于點O，則結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線．其中（ ）





A．①、②都正確B．①、②都不正確C．①正確②不正確D．①不正確，②正確


【考點】K2：三角形的角平分線、中線和高．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)三角形的角平分線的定義，三角形的中線的定義可知．


【解答】解：AD是三角形ABC的角平分線，


則是∠BAC的角平分線，


所以AO是△ABE的角平分線，故①正確；


BE是三角形ABC的中線，


則E是AC是中點，而O不一定是AD的中點，故②錯誤．


故選C．


【點評】考查了三角形的角平分線和中線的概念．





10．如圖，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是BC邊上的高，且∠B=25°，∠C=55°，則∠DAE的度數(shù)是（ ）





A．15°B．35°C．65°D．75°


【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理；K2：三角形的角平分線、中線和高．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數(shù)；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數(shù)，所以∠DAE=∠DAC﹣∠EAC，即可得出．


【解答】解：∵△ABC中，∠B=25°，∠C=55°，


∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣55°=100°，


∵AD是∠BAC的平分線，


∴∠DAC=∠BAC=50°，


∵AE是BC邊上的高，


在直角△AEC中，


∵∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣55°=35°，


∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=50°﹣35°=15°．


故選：A．


【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高、角平分線的性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握三角形的高、中線和角平分線這些基本知識，能靈活運用解決問題．





11．正六邊形的每一個外角都是（ ）


A．720°B．360°C．120°D．60°


【考點】L3：多邊形內(nèi)角與外角．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】用正六邊形的外角和等于360度，求出外角的度數(shù)即可．


【解答】解：∵六邊形的外角和為360度，


∴每個外角的度數(shù)為360°÷6=60°，


故選：D．


【點評】本題看錯了多邊形的外角和，熟記多邊形的外角和為360°是解決本題的關(guān)鍵．





12．計算a2?a3+2a5的結(jié)果為（ ）


A．a(chǎn)5B．3a5C．a(chǎn)10D．3a10


【考點】46：同底數(shù)冪的乘法；35：合并同類項．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可得a2?a3，根據(jù)整式加法，可得a2?a3+2a5的結(jié)果．


【解答】解：a2?a3+2a5=a5+2a5=3a5，


故選：B．


【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，先計算同底數(shù)冪的乘法，再合并同類項．





13．計算（﹣2a2b）3的結(jié)果是（ ）


A．﹣6a6b3B．﹣8a6b3C．8a6b3D．﹣8a5b3


【考點】47：冪的乘方與積的乘方．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運算法則求解．


【解答】解：（﹣2a2b）3=﹣8a6b3．


故選B．


【點評】本題考查了冪的乘方和積的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方和積的乘方的運算法則．





14．下列4個算式中，計算錯誤的有（ ）


(1)（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2


(2)（﹣y）6÷（﹣y）3=﹣y3


(3)z3÷z0=z3


(4)a4m÷am=a4．


A．4個B．3個C．2個D．1個


【考點】48：同底數(shù)冪的除法；46：同底數(shù)冪的乘法；47：冪的乘方與積的乘方．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法及除法法則進行逐一計算即可．


【解答】解：(1)錯誤，應(yīng)為（﹣c）4÷（﹣c）2=（﹣c）4﹣2=c2；


(2)正確，（﹣y）6÷（﹣y）3=（﹣y）3=﹣y3；


(3)正確，z3÷z0=z3﹣0=z3；


(4)錯誤，應(yīng)為a4m÷am=a4m﹣m=a3m．


所以(1)(4)兩項錯誤．


故選C．


【點評】本題考查：(1)同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；(2)同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．





15．某種冠狀病毒的直徑是1.2×10﹣7米，1米=109納米，則這種冠狀病毒的直徑為（ ）


A．1.2納米B．12納米C．120納米D．1200納米


【考點】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)；1I：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．


【專題】選擇題


【難度】易


【分析】利用1.2×10﹣7乘以109，然后利用同底數(shù)冪先相乘，進而可得答案．


【解答】解：1.2×10﹣7×109=120，


故選：C．


【點評】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．





16．如圖，已知直線l與a，b相交，請?zhí)砑右粋€條件 ，使a∥b（填一個你認為正確的條件即可）





【考點】J9：平行線的判定．


【專題】填空題


【難度】中


【分析】由已知根據(jù)平行線的判定，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，∠2和∠3是內(nèi)錯角，若相等，則a∥b．


【解答】解：∵∠2=∠3（內(nèi)錯角）


∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．


故答案為：∠2=∠3．


【點評】此題考查了學(xué)生對平行線的判定的理解與掌握．關(guān)鍵是找出內(nèi)錯角或同位角，使它們相等．





17．如圖，直線l1∥l2，被直線l所截，已知∠2比∠1大80°，且∠1的三倍比∠2大20°，那么∠1的度數(shù)為 ．





【考點】JA：平行線的性質(zhì)．


【專題】填空題


【難度】中


【分析】設(shè)∠1的度數(shù)為x°，則∠2的度數(shù)為（x+80）°，由直線l1∥l2，可知∠1+∠2=180°，由此得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．


【解答】解：設(shè)∠1的度數(shù)為x°，則∠2的度數(shù)為（x+80）°，


∵直線l1∥l2，


∴∠1+∠2=180°，即x+x+80=180，


解得x=50，


故答案為：50°．


【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出關(guān)于x的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．





18．在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，則∠B= ．


【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理．


【專題】填空題


【難度】中


【分析】利用三角形內(nèi)角和定理列式計算即可得解．


【解答】解：∵∠C=70°，∠A=50°，


∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．


故答案為：60°．


【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟記定理并準確列式計算是解題的關(guān)鍵．





19．計算（3.4×10﹣10）×（2×107）= （結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）


【考點】46：同底數(shù)冪的乘法．


【專題】填空題


【難度】中


【分析】首先利用乘法的交換律與結(jié)合律，求得：（3.4×10﹣10）×（2×107）=（3.4×2）×（10﹣10×107），然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)求解即可求得答案．


【解答】解：（3.4×10﹣10）×（2×107）=（3.4×2）×（10﹣10×107）=6.8×10﹣3．


故答案為：6.8×10﹣3．


【點評】此題考查了同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)．注意同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．





20．我國在2012年開始試點使用“PM2.5”標準來檢測空氣質(zhì)量，是指大氣中直徑大于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對人的呼吸系統(tǒng)會造成極大的危害．你知道嗎？2.5微米=0.0000025米，用科學(xué)記數(shù)法表示


為 米．


【考點】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．


【專題】填空題


【難度】中


【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．


【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6，


故答案為：2.5×10﹣6．


【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．





21．如圖所示，直線a∥b，AC丄AB，AC交直線b于點C，∠1=60°，求∠2的度數(shù)．





【考點】JA：平行線的性質(zhì)．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】由AC丄AB，∠1=60°，易求得∠B的度數(shù)，又由直線a∥b，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠2的度數(shù)．


【解答】解：∵AC丄AB，


∴∠BAC=90°，


∵∠1=60°，


∴∠B=180°﹣∠1﹣∠BAC=30°，


∵a∥b，


∴∠2=∠B=30°．


【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)與垂直的定義．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．





22．如圖，若AE是△ABC邊上的高，∠EAC的角平分線AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠DAE．





【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CAE，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DAE=∠CAE．


【解答】解：∵AE是△ABC邊上的高，∠ACB=40°，


∴∠CAE=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°，


∴∠DAE=∠CAE=×50°=25°．


【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記定理與概念并準確識圖是解題的關(guān)鍵．





23．如圖，將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到對應(yīng)的三角形A1B1C1．


(1)畫出三角形A1B1C1，并寫出點A1、B1、C1的坐標．


(2)請直接寫出三角形ABC的面積．





【考點】Q4：作圖﹣平移變換．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；


(2)利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，列式進行計算即可得解．


【解答】解：(1)如圖所示，A1B1C1即為所求作的三角形，


點A1（﹣1，2），B1（﹣3，﹣5），C1（5，0）；


(2)S△ABC=8×7﹣×2×7﹣×8×5﹣×2×6


=56﹣7﹣20﹣6


=56﹣33


=23．





【點評】本題考查了利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵，(2)中利用三角形所在的矩形的面積減去四周三角形的面積的求解方法是常用的方法，一定要熟練掌握．





24．四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的內(nèi)（或外）角平分線分別為AE和CF．


(1)當AE，CF都為內(nèi)角平分線時，不難證明AE∥CF．過程如下：（如圖1）


∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，


∴2（∠2+∠4）=360°﹣180°=180°


則∠2+∠4=90°


又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，則∠4=∠5．∴AE∥CF．


(2)當AE，CF時都為角平分線時（如圖2），AE與CF位置關(guān)系怎樣？給出證明．


(3)當AE是內(nèi)角平分線，CF是外角平分線時（如圖3），請你探索AE與CF的位置關(guān)系，并給出證明．





【考點】J9：平行線的判定；J3：垂線．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】(2)作DP∥AE，如圖2，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°得∠BAD+∠BCD=180°，則根據(jù)鄰補角的定義得到∠GAD+∠BCH=180°，再根據(jù)角平分線先定義得∠1=∠GAD，∠4=∠BCH，所以∠1+∠4=90°，由PD∥AE得到∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，則∠1+∠3=90°，理由等量代換得∠3=∠4，所以PD∥CF，于是得到AE∥CF；


(3)如圖3，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°得∠BAD+∠BCD=180°，則∠BAD=∠BCE，再由AE，CF時都為角平分線得∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，則∠1=∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠5=∠B=90°，則AE⊥CF．


【解答】解：(2)AE∥CF．理由如下：


作DP∥AE，如圖2，


∵四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，


∴∠BAD+∠BCD=180°，


∴∠GAD+∠BCH=180°，


∵AE，CF時都為角平分線，


∴∠1=∠GAD，∠4=∠BCH，


∴∠1+∠4=90°，


∵PD∥AE，


∴∠1=∠2，


而∠2+∠3=90°，


∴∠1+∠3=90°，


∴∠3=∠4，


∴PD∥CF，


∴AE∥CF；


(3)AE⊥CF．理由如下：


如圖3，


∵四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，


∴∠BAD+∠BCD=180°，


∴∠BAD=∠BCE，


∵AE，CF時都為角平分線，


∴∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，


∴∠1=∠2，


而∠3=∠4，


∴∠5=∠B=90°，


∴AE⊥CF．





【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．也考查了四邊形的內(nèi)角和和垂線．





25．已知：如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2．BE與CF平行嗎？請說明理由．





【考點】J9：平行線的判定．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ABC=∠BCD=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠EBC=∠FCB，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得EB∥CF．


【解答】解：BE∥CF，


∵AB⊥BC，CD⊥BC，


∴∠ABC=∠BCD=90°，


∵∠1=∠2，


∴∠EBC=∠FCB，


∴EB∥CF．


【點評】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角相等兩直線平行．





26．如圖，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分線與BA的延長線相交于點E．


(1)請你判斷BF與CD的位置關(guān)系，并說明理由．


(2)求∠3的度數(shù)．





【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理；JB：平行線的判定與性質(zhì)．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求出∠2=64°，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；


(2)根據(jù)角平分線的定義可得∠DCE=∠ACD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解答．


【解答】解：(1)BF∥CD．


理由如下：∵∠B=42°，∠1=∠2+10°，


∴∠1+∠2+∠B=∠2+10°+∠2+42°=180°，


解得∠2=64°，


又∵∠ACD=64°，


∴∠ACD=∠2，


∴BF∥CD；


(2)∵CE平分∠ACD，


∴∠DCE=∠ACD=32°，


∵BF∥CD，


∴∠3=180°﹣32°=148°．


【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記定理并列出方程求出∠2的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．





27．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．


【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理．


【專題】解答題


【難度】難


【分析】設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=5x，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°列出關(guān)于x的方程，求出x的值，即可得出各角的度數(shù)．


【解答】解：∵在△ABC中∠A：∠B：∠C=2：3：5，


∴設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=5x，


∵∠A+∠B+∠C=180°，即2x+3x+5x=180°，解得x=18°，


∴∠A=2×18°=36°，∠B=3×18°=54°，∠C=5×18°=90°．


答：∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為：36°，54°，90°．


【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程是解答此題的關(guān)鍵．

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