類型一、判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系
例．如圖，是的平分線，是的平分線．
(1)如圖①，當(dāng)是直角，時(shí)，則___________
(2)如圖②，當(dāng)，時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)如圖③，當(dāng)，時(shí)，猜想：與、有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；（直接寫(xiě)出答案）
(2)將（1）中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若∠AOC是鈍角，請(qǐng)先畫(huà)出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．（不用寫(xiě)探索過(guò)程，將結(jié)論直接寫(xiě)在你畫(huà)的圖的下面）
【變式訓(xùn)練2】如圖①，已知線段，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．
(1)已知，求EF的長(zhǎng)．
(2)若，求EF的長(zhǎng)．由此你能得出EF與AB、CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(3)類比應(yīng)用
①我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，OE、OF分別平分和，若∠，直接寫(xiě)出的度數(shù)．
②由此，你猜想與、會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系______．（直接寫(xiě)出猜想即可）
【變式訓(xùn)練3】已知，，，分別平分，．
(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)， 度；
(2)若將的從圖1的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，滿足且．
①如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出答案．
【變式訓(xùn)練4】如圖甲，已知線段，，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．
(1)若，則______；
(2)當(dāng)線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)①對(duì)于角，也有和線段類似的規(guī)律．如圖乙，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，OE，OF分別平分和，若，，求；
②請(qǐng)你猜想，和會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論．
類型二、定值問(wèn)題
例．已知將一副三角尺（直角三角尺和）的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，
（1）如圖1，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練1】如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（本題出現(xiàn)的角均小于平角）
（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為 ，∠BON的度數(shù)為 ；∠MOC的度數(shù)為
（2）當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；
（3）當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究的值，問(wèn)：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
【變式訓(xùn)練2】已知將一副三角板（）如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，_______度；如圖2，若要恰好平分，則_______度；
（2）如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)三角板從圖1的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，保持射線平分、射線平分（），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（2）中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況和結(jié)果（即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)的度數(shù)是多少）．
【變式訓(xùn)練3】如圖，兩條直線AB,CD相交于點(diǎn)O，且，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為.兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（本題出現(xiàn)的角均小于平角）
（1）當(dāng)時(shí)，若.試求出的值；
（2）當(dāng)時(shí)，探究的值，問(wèn)：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
類型三、求值問(wèn)題
例.如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫(xiě)結(jié)果）．
（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？
（3）若（2）問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？（直接寫(xiě)結(jié)果）
【變式訓(xùn)練1】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝ ；
（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若保持三角尺BCE不動(dòng)，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠BCD．設(shè)∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說(shuō)明理由．
②三角尺ACD轉(zhuǎn)動(dòng)中，∠BCD每秒轉(zhuǎn)動(dòng)3°，當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少秒？
【變式訓(xùn)練2】如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；
②______（用含有或的代數(shù)式表示）．
(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：
①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為_(kāi)_____；
②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為_(kāi)_____；
（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）
(3)如圖（4），當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？
【變式訓(xùn)練3】如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為．
（1）用含t的代數(shù)式表示：_______，_______．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角（大于而小于）？
專題10 幾何中的兩種動(dòng)角問(wèn)題
類型一、判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系
例．如圖，是的平分線，是的平分線．
(1)如圖①，當(dāng)是直角，時(shí)，則___________
(2)如圖②，當(dāng)，時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)如圖③，當(dāng)，時(shí)，猜想：與、有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．
【答案】(1)45°；(2)∠MON＝，理由見(jiàn)解析；(3)∠MON＝，與的大小無(wú)關(guān)，理由見(jiàn)解析
【解析】(1)∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．
故答案為：45°；
(2)∠MON＝，理由是：∵∠AOB＝，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝＋60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝＋30°，∠NOC＝∠BOC＝30°
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝（＋30°）－30°＝．
(3)∠MON＝，與的大小無(wú)關(guān)．
理由：∵∠AOB＝，∠BOC＝，∴∠AOC＝＋．
∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，
∴∠MOC＝∠AOC＝（＋），∠NOC＝∠BOC＝，
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝（＋）－＝，
即∠MON＝
【變式訓(xùn)練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；（直接寫(xiě)出答案）
(2)將（1）中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若∠AOC是鈍角，請(qǐng)先畫(huà)出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．（不用寫(xiě)探索過(guò)程，將結(jié)論直接寫(xiě)在你畫(huà)的圖的下面）
【答案】(1)60°；(2)，理由見(jiàn)解析
(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°
【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，
∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案為：60°
(2)解： ，理由如下：
∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC
∵OE平分∠BOC，∴
∵∠COD=90°，∴
(3)：如圖3-1所示，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，
∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；
如圖3-2所示，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，
同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，
∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°；
如圖3-3所示，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，
同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；
如圖3-4所示，當(dāng)OD在△AOB外部時(shí)，
同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；
綜上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．
【變式訓(xùn)練2】如圖①，已知線段，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．
(1)已知，求EF的長(zhǎng)．
(2)若，求EF的長(zhǎng)．由此你能得出EF與AB、CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(3)類比應(yīng)用
①我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，OE、OF分別平分和，若∠，直接寫(xiě)出的度數(shù)．
②由此，你猜想與、會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系______．（直接寫(xiě)出猜想即可）
【答案】(1)10；(2)10；EF=（AB+CD）；(3)①80°；②∠EOF=∠AOB+∠COD．
【解析】(1)∵E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴EC=AC，DF=DB．
∴EC+DF=AC+DB＝ (AC+DB)．
又∵AB=18，CD=2，∴AC+DB=AB-CD=18-2=16．
∴EC+DF= (AC+DB)=8．
∴EF=EC+DF+CD=8+2=10．
故答案為：10．
(2)∵E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴EC=AC，DF=DB．
∴EF=EC+CD+DF=AC+DB+CD=（AC+DB）+CD=（AB-CD）+CD=（AB+CD）．
又∵AB=18，CD=2，
∴EF=（AB+CD）=．
(3)①∵OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．
∴∠EOC+∠DOF=∠AOC+∠DOB=（∠AOC+∠DOB）．
又∵∠AOB=140°，∠COD=20°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°．
∴∠EOC+∠DOF=60°．∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=60°+20°=80°．
②由（1）得：∠EOC+∠DOF=（∠AOC+∠DOB）．
∵∠AOC+∠DOB=∠AOB-∠COD，∴∠EOC+∠DOF=（∠AOB-∠COD）．
∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=（∠AOB-∠COD）+∠COD=∠AOB+∠COD，
故答案為：∠EOF=∠AOB+∠COD．
【變式訓(xùn)練3】已知，，，分別平分，．
(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)， 度；
(2)若將的從圖1的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，滿足且．
①如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出答案．
【答案】(1)；(2)①；②時(shí)，；時(shí)，
【解析】(1)，重合，
，，
平分，平分，
，，
；
(2)①；理由如下：
平分，平分，
，，
，
；
②由①得：，，
當(dāng)時(shí)，如圖2所示：
，
，
，
∴
當(dāng)時(shí)，如圖3所示：
，
，
；
∴
綜上所述，時(shí)，；時(shí)，
【變式訓(xùn)練4】如圖甲，已知線段，，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．
(1)若，則______；
(2)當(dāng)線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)①對(duì)于角，也有和線段類似的規(guī)律．如圖乙，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，OE，OF分別平分和，若，，求；
②請(qǐng)你猜想，和會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論．
【答案】(1)12；(2)不變；(3)①90°；②
【解析】(1)∵E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴EC=AC，DF=DB．
∴EC+DF=AC+DB＝ (AC+DB)．
又∵AB=20cm，CD=4cm，∴AC+DB=AB-CD=20-4=16（cm）．
∴EC+DF= (AC+DB)=8（cm）．∴EF=EC+DF+CD=8+4=12（cm）．故答案為：12．
(2)EF的長(zhǎng)度不變．
(3)①∵OE，OF分別平分和
∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．
∴
∵
∴
②，理由如下：
∵OE，OF分別平分和，∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．
∴
∵
∴
類型二、定值問(wèn)題
例．已知將一副三角尺（直角三角尺和）的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，
（1）如圖1，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）不變．
【詳解】解：（1）平分，，
；

圖1 圖2
（2）不變．平分，平分
，
【變式訓(xùn)練1】如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（本題出現(xiàn)的角均小于平角）
（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為 ，∠BON的度數(shù)為 ；∠MOC的度數(shù)為
（2）當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；
（3）當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究的值，問(wèn)：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值為秒或10秒；（3）當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值不是定值；當(dāng)＜t＜6時(shí)，的值是3．
【詳解】（1）由題意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，
故答案為：144°，114°，60°；
（2）當(dāng)ON與OA重合時(shí)，t=90÷12=7.5（s），當(dāng)OM與OA重合時(shí)，t=180°÷15=12（s）
①如圖所示，當(dāng)0＜t≤7.5時(shí)，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，
解得t=，
②如圖所示，當(dāng)7.5＜t＜12時(shí)，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，綜上，t的值為秒或10秒；
（3）當(dāng)∠MON=180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=，
①如圖所示，當(dāng)0＜t＜時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴（不是定值），
②如圖所示，當(dāng)＜t＜6時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∴=3（定值），
綜上所述，當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值不是定值；當(dāng)＜t＜6時(shí)，的值是3．
【變式訓(xùn)練2】已知將一副三角板（）如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，_______度；如圖2，若要恰好平分，則_______度；
（2）如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)三角板從圖1的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，保持射線平分、射線平分（），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（2）中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況和結(jié)果（即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)的度數(shù)是多少）．
【答案】（1）60，75；（2），理由見(jiàn)詳解；（3）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，或120°，③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，或60°；⑤當(dāng)時(shí)，
【詳解】解：（1）由題意得：，∴，
∵恰好平分，∴，∴；故答案為60，75；
（2）的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：
∵射線平分，射線平分，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為，根據(jù)題意可得：，
∵射線平分，射線平分，∴，
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∴，
②當(dāng)時(shí)，即為平角，可分為：
當(dāng)點(diǎn)M在OB上，如圖所示：
∴，
∴；
當(dāng)點(diǎn)M在BO的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖所示：
∴；
③當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∴，
∴，解得：，
∴；
④當(dāng)時(shí)，則，如圖所示：
∴當(dāng)ON平分在∠BOD的左邊時(shí)，則，當(dāng)ON平分在∠BOD的右邊時(shí)，則；
⑤當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練3】如圖，兩條直線AB,CD相交于點(diǎn)O，且，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為.兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（本題出現(xiàn)的角均小于平角）
（1）當(dāng)時(shí)，若.試求出的值；
（2）當(dāng)時(shí)，探究的值，問(wèn)：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
【答案】（1）t的值為1秒或秒；
（2）當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值是1；當(dāng)＜t＜6時(shí)，不是定值．
【詳解】（1）當(dāng)ON與OA重合時(shí)，t=90÷12=7.5（s），當(dāng)OM與OA重合時(shí)，t=180°÷15=12（s）
①如圖所示，當(dāng)0＜t≤7.5時(shí)，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-69°，可得180-15t=3（90-12t）-69，解得t=1；
②如圖所示，當(dāng)7.5＜t＜12時(shí)，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-69°，可得180-15t=3（12t-90）-69，解得t=，
綜上，t的值為1秒或秒；
（2）當(dāng)∠MON=180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90+12t=180，解得t=，
①如圖所示，當(dāng)0＜t＜時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°=，
∴===1（是定值），
②如圖所示，當(dāng)＜t＜6時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∴==（不是定值），
綜上所述，當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值是1；當(dāng)＜t＜6時(shí)，不是定值．
類型三、求值問(wèn)題
例.如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫(xiě)結(jié)果）．
（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？
（3）若（2）問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？（直接寫(xiě)結(jié)果）
【答案】（1），5；（2），；（3）經(jīng)過(guò)秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度
∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如圖：
∵，
由題可設(shè)為，為，∴
∵，，解得：秒
答：經(jīng)過(guò)秒平分．
【變式訓(xùn)練1】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝ ；
（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若保持三角尺BCE不動(dòng)，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠BCD．設(shè)∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說(shuō)明理由．
②三角尺ACD轉(zhuǎn)動(dòng)中，∠BCD每秒轉(zhuǎn)動(dòng)3°，當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少秒？
【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互補(bǔ)，理由見(jiàn)解析；（3）①能；理由見(jiàn)解析，α＝54°；②23秒
【詳解】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案為：145°，40°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互補(bǔ)，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．
（3）①當(dāng)∠ACB是∠DCE的4倍，∴設(shè)∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；
②設(shè)當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了t秒，
∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，
t＝23°，
答：當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了23秒．
【變式訓(xùn)練2】如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；
②______（用含有或的代數(shù)式表示）．
(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：
①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為_(kāi)_____；
②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為_(kāi)_____；
（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）
(3)如圖（4），當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
當(dāng)，時(shí)，，
，
②，故答案為：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，

②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案為：，
(3)根據(jù)題意
OM平分∠POQ，
如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，
MON的度數(shù)是40°
ON平分∠POA，，，則旋轉(zhuǎn)了
分，即分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°
如圖，在的內(nèi)部時(shí)，
即
此情況不存在，綜上所述，分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°
【變式訓(xùn)練3】如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為．
（1）用含t的代數(shù)式表示：_______，_______．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角（大于而小于）？
【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，或40或80；（3）存在，當(dāng)直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角時(shí)，或36或54或72．
【解析】（1）由題意得：射線的運(yùn)動(dòng)路程為，射線的運(yùn)動(dòng)路程為，∴，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴；故答案為，；
（2）由題意可得射線與射線相遇的時(shí)間為：，解得：，
∴當(dāng)射線與射線相遇前，時(shí)，如圖所示：
∴，解得：，
當(dāng)射線與射線相遇后，且射線還沒(méi)有過(guò)直線時(shí)，，如圖所示：
，解得：，
當(dāng)射線過(guò)了直線時(shí)，，如圖所示：
，解得：，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，或40或80；
（3）存在，理由如下：
由，，，則可分：
①若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，，∴，解得：；
若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，∴，解得：；
②若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，∴，解得：；
若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，，
∴，解得：；
綜上所述：當(dāng)直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角時(shí)，或36或54或72．

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