類型一、判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系
例．如圖所示，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．
(1)如圖①，若，求的度數(shù)；
(2)在圖①，若，直接寫出的度數(shù)_________(用含a的代數(shù)式表示)；
(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．
①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
②在的內(nèi)部有一條射線，滿足，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；(直接寫出答案)
(2)將(1)中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若∠AOC是鈍角，請(qǐng)先畫出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．(不用寫探索過(guò)程，將結(jié)論直接寫在你畫的圖的下面)
【變式訓(xùn)練2】如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(注：)
(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則________；
(2)如圖②，將直角三角板DOE轉(zhuǎn)到如圖位置，當(dāng)OC恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；
(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在的內(nèi)部，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系_________．
【變式訓(xùn)練3】已知，，，分別平分，．
(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)， 度；
(2)若將的從圖1的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，滿足且．
①如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．
【變式訓(xùn)練4】如圖，已知，將一個(gè)直角三角形紙片()的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，現(xiàn)將三角形紙片繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，平分斜邊與的夾角，平分.
(1)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若，則_______；
(2)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若射線恰好平分，若，求的度數(shù);
(3)將三角形紙片繞點(diǎn)從與重合位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與重合的位置，猜想在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中和的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
類型二、定值問(wèn)題
例．已知將一副三角尺(直角三角尺和)的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，
(1)如圖1，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練1】如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(本題出現(xiàn)的角均小于平角)
(1)當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為 ，∠BON的度數(shù)為 ；∠MOC的度數(shù)為
(2)當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；
(3)當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究的值，問(wèn)：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
【變式訓(xùn)練2】已知將一副三角板()如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，_______度；如圖2，若要恰好平分，則_______度；
(2)如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
(3)當(dāng)三角板從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，保持射線平分、射線平分()，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，(2)中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況和結(jié)果(即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)的度數(shù)是多少)．
類型三、求值問(wèn)題
例.如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．
(2)在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？
(3)若(2)問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？(直接寫結(jié)果)
【變式訓(xùn)練1】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．
(1)若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝ ；
(2)猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若保持三角尺BCE不動(dòng)，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠BCD．設(shè)∠BCD＝α(0°＜α＜90°)
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說(shuō)明理由．
②三角尺ACD轉(zhuǎn)動(dòng)中，∠BCD每秒轉(zhuǎn)動(dòng)3°，當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少秒？
【變式訓(xùn)練2】如圖(1)，∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．(本題所涉及的角都是小于180°的角)
(1)如圖(2)，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；
②______(用含有或的代數(shù)式表示)．
(2)如圖(3)，P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：
①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；
②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；
(∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示)
(3)如圖(4)，當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？
【變式訓(xùn)練3】如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為．
(1)用含t的代數(shù)式表示：_______，_______．
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角(大于而小于)？
課后訓(xùn)練
1．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問(wèn)：此時(shí)直線ON是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第n秒時(shí)，直線ON恰好平分，則n的值為______(點(diǎn)接寫結(jié)果)
(3)若圖1中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是多少？
2．如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合．射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1度/秒，射線OQ從OC處開始繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，(射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止，射線OP旋轉(zhuǎn)至與射線OE重合時(shí)停止)，兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)速度＝旋轉(zhuǎn)角度÷旋轉(zhuǎn)時(shí)間)．
(1)直接寫出射線OP停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間．
(2)當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，直接寫山它的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．
(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3度/秒，當(dāng)∠POQ＝70°時(shí)，直接寫出射線OP的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．
(4)若∠POA＝2∠POB時(shí)，射線OQ旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將∠AOB分成度數(shù)比為1：2的兩個(gè)角，直接寫出射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度．
3．已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如圖1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度數(shù)；
(2)如圖1，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為 (用含有α的式子表示)；
(3)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究∠DOE和∠AOC度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
(4)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為 (用含有α的式子表示)，不必說(shuō)明理由．
4．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．
(2)在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？
(3)若(2)問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？(直接寫結(jié)果)
5．已知:和是直角．
(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)射線射線都在外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作射線，射線，滿足，，求的度數(shù)．
(3)如圖3，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出的度數(shù)．
6.已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，射線OF平分∠AOE．
(1)在圖1中，當(dāng)∠COF＝36°時(shí)，則∠BOE＝ ，當(dāng)∠COF＝m°時(shí)，則∠BOE＝ ；以此判斷∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試問(wèn)(1)中∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)你加以證明；若發(fā)生變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；
(3)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，繼續(xù)探究∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

專題09 幾何中動(dòng)角問(wèn)題的兩種考法
類型一、判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系
例．如圖所示，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．
(1)如圖①，若，求的度數(shù)；
(2)在圖①，若，直接寫出的度數(shù)_________(用含a的代數(shù)式表示)；
(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．
①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
②在的內(nèi)部有一條射線，滿足，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，說(shuō)明理由．
【答案】(1)14°；(2)；(3)①∠AOC＝2∠DOE；(2)2∠DOE?∠AOF＝90°
【詳解】解：(1)∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOC＝180°?∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．
∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD?∠COE＝90°?76°＝14°．即∠DOE＝14°；
(2)∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，
∴∠DOE＝90°?＝．故答案是：；
(3)①∠AOC＝2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．
∴∠AOC＋2(90°?∠DOE)＝180°．
化簡(jiǎn)，得∠AOC＝2∠DOE；
②2∠DOE?∠AOF＝90°．
理由：∵，
∴2∠AOF＋∠BOE＝(∠AOC?∠AOF)，
∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC?∠AOF．
又∵∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝∠DOE?∠BOE，
∴∠AOF＝∠DOB．
∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．
∴∠AOF＋180°?∠AOC＝90°．
∴∠AOF＋180°?2∠DOE＝90°．
化簡(jiǎn)，得2∠DOE?∠AOF＝90°．
【變式訓(xùn)練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；(直接寫出答案)
(2)將(1)中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若∠AOC是鈍角，請(qǐng)先畫出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．(不用寫探索過(guò)程，將結(jié)論直接寫在你畫的圖的下面)
【答案】(1)60°；(2)，理由見解析
(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°
【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，
∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案為：60°
(2)解： ，理由如下：
∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC
∵OE平分∠BOC，∴
∵∠COD=90°，∴
(3)：如圖3-1所示，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，
∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；
如圖3-2所示，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，
同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，
∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°；
如圖3-3所示，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，
同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；
如圖3-4所示，當(dāng)OD在△AOB外部時(shí)，
同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；
綜上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．
【變式訓(xùn)練2】如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(注：)
(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則________；
(2)如圖②，將直角三角板DOE轉(zhuǎn)到如圖位置，當(dāng)OC恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；
(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在的內(nèi)部，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系_________．
【答案】(1)20；(2)25°；(3)∠COE-∠BOD=20°
【詳解】解：(1)如圖①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案為：20；
(2)如圖②，∵OC平分∠EOD，∠DOE=90°，∴∠COD=∠DOE=45°，
∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°；
(3)∠COE-∠BOD=20°，
理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【變式訓(xùn)練3】已知，，，分別平分，．
(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)， 度；
(2)若將的從圖1的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，滿足且．
①如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．
【答案】(1)；(2)①；②時(shí)，；時(shí)，
【解析】(1)，重合，
，，
平分，平分，
，，
；
(2)①；理由如下：
平分，平分，
，，
，
；
②由①得：，，
當(dāng)時(shí)，如圖2所示：
，
，
，∴
當(dāng)時(shí)，如圖3所示：
，
，
；
∴
綜上所述，時(shí)，；時(shí)，
【變式訓(xùn)練4】如圖，已知，將一個(gè)直角三角形紙片()的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，現(xiàn)將三角形紙片繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，平分斜邊與的夾角，平分.
(1)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若，則_______；
(2)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若射線恰好平分，若，求的度數(shù);
(3)將三角形紙片繞點(diǎn)從與重合位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與重合的位置，猜想在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中和的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)，證明見解析
【詳解】解：(1)∵平分斜邊與的夾角，平分．
∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴設(shè)
∴，
∵
∴，∴，故答案為:
(2)∵，∴設(shè)
∵射線恰好平方，∴
∴
∵平分斜邊與的夾角，平分．∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴ ，∴
∵，∴，∴
(3) ,證明如下：
當(dāng)OC與OA重合時(shí)，設(shè)∠COD=x,則
∵ON平分∠BOD
∴
∴ ，∴
當(dāng)OC在OA的左側(cè)時(shí)
設(shè)∠AOD=a，∠AOC=b，則∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b
∵ON平分∠BOD，∴
∵OM平分∠AOC，∴
∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON
當(dāng)OD與OA重合時(shí)，∵ON平分∠AOB，∴
∵OM平分∠AOC，∴ ，∴
綜上所述
類型二、定值問(wèn)題
例．已知將一副三角尺(直角三角尺和)的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，
(1)如圖1，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)不變．
【詳解】解：(1)平分，，
；

圖1 圖2
(2)不變．平分，平分
，
【變式訓(xùn)練1】如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(本題出現(xiàn)的角均小于平角)
(1)當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為 ，∠BON的度數(shù)為 ；∠MOC的度數(shù)為
(2)當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；
(3)當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究的值，問(wèn)：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
【答案】(1)144°，114°，60°；(2)t的值為秒或10秒；(3)當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值不是定值；當(dāng)＜t＜6時(shí)，的值是3．
【詳解】(1)由題意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，
故答案為：144°，114°，60°；
(2)當(dāng)ON與OA重合時(shí)，t=90÷12=7.5(s)，當(dāng)OM與OA重合時(shí)，t=180°÷15=12(s)
①如圖所示，當(dāng)0＜t≤7.5時(shí)，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3(90-12t)-60，
解得t=，
②如圖所示，當(dāng)7.5＜t＜12時(shí)，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3(12t-90)-60，解得t=10，綜上，t的值為秒或10秒；
(3)當(dāng)∠MON=180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=，
①如圖所示，當(dāng)0＜t＜時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴(不是定值)，
②如圖所示，當(dāng)＜t＜6時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-(∠BOM+∠BOD+∠DON)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t°，
∴=3(定值)，
綜上所述，當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值不是定值；當(dāng)＜t＜6時(shí)，的值是3．
【變式訓(xùn)練2】已知將一副三角板()如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，_______度；如圖2，若要恰好平分，則_______度；
(2)如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．
(3)當(dāng)三角板從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，保持射線平分、射線平分()，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，(2)中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況和結(jié)果(即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)的度數(shù)是多少)．
【答案】(1)60，75；(2)，理由見詳解；(3)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，或120°，③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，或60°；⑤當(dāng)時(shí)，
【詳解】解：(1)由題意得：，∴，
∵恰好平分，∴，∴；故答案為60，75；
(2)的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：
∵射線平分，射線平分，∴，
∵，∴，
∴，∴；
(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為，根據(jù)題意可得：，
∵射線平分，射線平分，∴，
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∴，
②當(dāng)時(shí)，即為平角，可分為：
當(dāng)點(diǎn)M在OB上，如圖所示：
∴，
∴；
當(dāng)點(diǎn)M在BO的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖所示：
∴；
③當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∴，
∴，解得：，
∴；
④當(dāng)時(shí)，則，如圖所示：
∴當(dāng)ON平分在∠BOD的左邊時(shí)，則，當(dāng)ON平分在∠BOD的右邊時(shí)，則；
⑤當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∴，
∴．
類型三、求值問(wèn)題
例.如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．
(2)在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？
(3)若(2)問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？(直接寫結(jié)果)
【答案】(1)，5；(2)，；(3)經(jīng)過(guò)秒平分
【解析】(1)，∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
(2)度，∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
(3)如圖：
∵，
由題可設(shè)為，為，
∴
∵，，
解得：秒
答：經(jīng)過(guò)秒平分．
【變式訓(xùn)練1】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．
(1)若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝ ；
(2)猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若保持三角尺BCE不動(dòng)，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠BCD．設(shè)∠BCD＝α(0°＜α＜90°)
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說(shuō)明理由．
②三角尺ACD轉(zhuǎn)動(dòng)中，∠BCD每秒轉(zhuǎn)動(dòng)3°，當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少秒？
【答案】(1)∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；(2)∠ACB+∠DCE＝180°或互補(bǔ)，理由見解析；(3)①能；理由見解析，α＝54°；②23秒
【詳解】解：(1)∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案為：145°，40°；
(2)∠ACB+∠DCE＝180°或互補(bǔ)，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．
(3)①當(dāng)∠ACB是∠DCE的4倍，∴設(shè)∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；
②設(shè)當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°，
答：當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了23秒．
【變式訓(xùn)練2】如圖(1)，∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．(本題所涉及的角都是小于180°的角)
(1)如圖(2)，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；
②______(用含有或的代數(shù)式表示)．
(2)如圖(3)，P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：
①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；
②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；
(∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示)
(3)如圖(4)，當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
當(dāng)，時(shí)，，，
②，故答案為：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案為：，
(3)根據(jù)題意
OM平分∠POQ，，如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，
MON的度數(shù)是40°
ON平分∠POA，，，則旋轉(zhuǎn)了
分，即分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°
如圖，在的內(nèi)部時(shí)，
，即，
此情況不存在，綜上所述，分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°
【變式訓(xùn)練3】如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為．
(1)用含t的代數(shù)式表示：_______，_______．
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角(大于而小于)？
【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，或40或80；(3)存在，當(dāng)直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角時(shí)，或36或54或72．
【解析】(1)由題意得：射線的運(yùn)動(dòng)路程為，射線的運(yùn)動(dòng)路程為，∴，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴；故答案為，；
(2)由題意可得射線與射線相遇的時(shí)間為：，解得：，
∴當(dāng)射線與射線相遇前，時(shí)，如圖所示：
∴，解得：，
當(dāng)射線與射線相遇后，且射線還沒(méi)有過(guò)直線時(shí)，，如圖所示：
，解得：，
當(dāng)射線過(guò)了直線時(shí)，，如圖所示：
，解得：，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，或40或80；
(3)存在，理由如下：
由，，，則可分：
①若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，，∴，解得：；
若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，∴，解得：；
②若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，∴，解得：；
若直線平分時(shí)，如圖所示：
∴，，
∴，解得：；
綜上所述：當(dāng)直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角時(shí)，或36或54或72．
課后訓(xùn)練
1．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問(wèn)：此時(shí)直線ON是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第n秒時(shí)，直線ON恰好平分，則n的值為______(點(diǎn)接寫結(jié)果)
(3)若圖1中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是多少？
【答案】(1)平分，理由見解析；(2)10或40；(3)30°
【解析】(1)解：(1)直線ON平分∠AOC．理由：
設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD，
∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON(對(duì)頂角相等)，
∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，
即直線ON平分∠AOC；
(2)解：由(1)得，∠BOM＝60°時(shí)，直線ON恰好平分，
即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，ON平分∠AOC，
再旋轉(zhuǎn)180°即旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，ON平分∠AOC，
由題意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案為：10或40；
(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)＝30°．
2．如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合．射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1度/秒，射線OQ從OC處開始繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，(射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止，射線OP旋轉(zhuǎn)至與射線OE重合時(shí)停止)，兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)速度＝旋轉(zhuǎn)角度÷旋轉(zhuǎn)時(shí)間)．
(1)直接寫出射線OP停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間．
(2)當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，直接寫山它的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．
(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3度/秒，當(dāng)∠POQ＝70°時(shí)，直接寫出射線OP的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．
(4)若∠POA＝2∠POB時(shí)，射線OQ旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將∠AOB分成度數(shù)比為1：2的兩個(gè)角，直接寫出射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度．
【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)或或或．
【解析】(1)∠EOF=180°，射線OP的速度為1°/s，則時(shí)間為180÷1=180s；
(2)∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，
當(dāng)射線OP平分時(shí)∠AOC，∠AOP=∠POC=∠AOC=35°，
此時(shí)OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為：55÷1=55s．
(3)∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°，
設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，
由題意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，
射線OQ旋轉(zhuǎn)至射線OF重合時(shí)停止，
∴.射線OQ最多旋轉(zhuǎn)30秒，
當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)30秒與射線OF重合停止，
此時(shí)∠POQ=∠FOP=30°，
之后射線OP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，
則∠POQ=∠FOP=70°，此時(shí)t=70s，
故答案為：5s或70s．
(4)①當(dāng)射線OP在∠AOB內(nèi)部時(shí)，
∠POA=2∠POB，∠AOB=60°，
∴∠POA=40°，∠FOP=60°，
故射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為60s，
若，則∠BOQ=40°，∠COQ=50°，
∴此時(shí)射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為：50÷60=(°/s)，
若時(shí)，則∠BOQ=20°，∠COQ=30°，
此時(shí)射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為30÷60=(°/s)；
②當(dāng)射線OP在∠EOB內(nèi)部時(shí)，
∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°，
∠POA=120°，∠FOP=140°，
故射線OP旋轉(zhuǎn)時(shí)間為140秒，
若時(shí)，則∠BOQ=40°，∠COQ=50°，
∴此時(shí)射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為：50÷140=(°/s)，
若時(shí)，則∠BOQ=20°，∠COQ=30°，
此時(shí)旋轉(zhuǎn)速度為：30÷140=(°/s)，
綜上，符合條件的旋轉(zhuǎn)速度為或或或．
3．已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如圖1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度數(shù)；
(2)如圖1，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為 (用含有α的式子表示)；
(3)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究∠DOE和∠AOC度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
(4)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為 (用含有α的式子表示)，不必說(shuō)明理由．
【答案】(1)24°；(2)；(3)∠DOE=∠AOC，理由見解析；(4)180 °-
【解析】(1)∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°
∵OE平分∠BOC
∴∠COE =∠BOC= 66°
又∵∠COD是直角
∴∠COD = 90°
∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°- 66°= 24°
(2)由(1)得，
故答案為：
(3)答：∠DOE=∠AOC．理由如下:
∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC =180°-∠AOC
∵OE平分∠BOC
∴∠COE =∠BOC= (180°-∠AOC)= 90°-∠AOC
又∵∠COD是直角
∴∠COD = 90°
∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°-(90°-∠AOC)= ∠AOC
∴∠DOE=∠AOC
(4)OE平分
是直角
故答案為：；
4．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．
(2)在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？
(3)若(2)問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？(直接寫結(jié)果)
【答案】(1)，5；(2)，；(3)經(jīng)過(guò)秒平分
【詳解】(1)
∵，∴
∵平分，
∴，∴，∴
解得：秒
(2)度，∵，平分
∴，∴，∴解得：秒
(3)如圖：
∵，
由題可設(shè)為，為
∴
∵
，解得：秒
答：經(jīng)過(guò)秒平分．
5．已知:和是直角．
(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)射線射線都在外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作射線，射線，滿足，，求的度數(shù)．
(3)如圖3，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出的度數(shù)．
【答案】(1)，詳見解析；(2)；(3)的度數(shù)是或
【詳解】解：(1) ，
證明：和是直角，
，
，
，
同理：，
，
；
(2)解：設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：的度數(shù)是；
(3)①如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，
，
，
如圖，當(dāng)射線在外部時(shí)，
，
，
綜上所述，的度數(shù)是或．
6.已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，射線OF平分∠AOE．
(1)在圖1中，當(dāng)∠COF＝36°時(shí)，則∠BOE＝ ，當(dāng)∠COF＝m°時(shí)，則∠BOE＝ ；以此判斷∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試問(wèn)(1)中∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)你加以證明；若發(fā)生變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；
(3)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，繼續(xù)探究∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】(1)72°；2m°；∠BOE=2∠COF；(2)不發(fā)生變化，理由見解析；(3)∠BOE+2∠COF=360°，理由見解析
【解析】(1)∵∠COE＝90°，∠COF＝36°，
∴∠EOF=90°-36°=54°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF =108°，
∴∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°；
由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．
故答案為：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；
∠BOE=2∠COF不會(huì)變化，其證明過(guò)程是：
設(shè)∠AOC=x°，則∠AOE=(90-x)°，
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE=(45-x)°，
∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-x)°=(45+x)°，
∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF．
∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：
設(shè)∠AOC=x°，則∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=(x-45)°，
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(x-45)°=(x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，
∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(x+45)°=360°．
故答案為：(1)72°；2m°；∠BOE=2∠COF；(2)不發(fā)生變化，理由見解析；(3)∠BOE+2∠COF=360°

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