第一章 豐富的圖形世界B卷壓軸題考點訓練 1．如圖，5個棱長為1cm的正方體擺在桌子上，則露在外面的部分(不包括底面)的面積為______cm2． 2．如果一個物體的頂點數(shù)與面數(shù)相同，并且有八條棱，那么這個物體是_____________． 3．有一個幾何體，有9個面，16條棱，那么它有 ______ 個頂點． 4．將一個長方體的一個角切去，所得的立體圖形的棱的數(shù)量為______． 5．如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是__________． 6．由一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體．如果有一個幾何體，圍成它的各個面都是多邊形，那么這個幾何體叫做________．在你所熟悉的立體圖形中，旋轉(zhuǎn)體有________，多面體有________．（要求各舉兩個例子） 7．一個由許多規(guī)格相同的小正方體堆積而成的幾何體，其主視圖、左視圖如圖所示一模一樣，若要擺成這樣的圖形，至少需用 m 塊小正方體，至多需用n 塊小正方體，則 mn= ________________． 8．十八世紀偉大的數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（v），面數(shù)（f），棱數(shù)（e）之間存在一個有趣的數(shù)量關(guān)系：v+f﹣e＝2，這就是著名的歐拉定理．而正多面體，是指多面體的各個面都是形狀大小完全相同的的正多邊形，雖然多面體的家族很龐大，可是正多面體的成員卻僅有五種，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，那今天就讓我們來了解下這幾個立體圖形中的“天之驕子”： （1）如圖1，正四面體共有______個頂點，_______條棱． （2）如圖2，正六面體共有______個頂點，_______條棱． （3）如圖3是某個方向看到的正八面體的部分形狀（虛線被隱藏），正八面體每個面都是正三角形，每個頂點處有四條棱，那么它共有_______個頂點，_______條棱． （4）當我們沒有正12面體的圖形時，我們可以根據(jù)計算了解它的形狀：我們設(shè)正12面體每個面都是正n（n≥3）邊形，每個頂點處有m（m≥3）條棱，則共有12n÷2＝6n條梭，有12n÷m＝個頂點．歐拉定理得到方程：+12﹣6n＝2，且m，n均為正整數(shù)， 去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m， 將n看作常數(shù)移項：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n， 合并同類項：（10﹣6n）m＝﹣12n， 化系數(shù)為1：m＝， 變形：＝＝＝＝． 分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數(shù)，所以是正整數(shù)，所以n＝5，m＝3，即6n＝30，． 因此正12面體每個面都是正五邊形，共有30條棱，20個頂點． 請依據(jù)上面的方法或者根據(jù)自己的思考得出：正20面體共有_____條棱；_______個頂點． 9．（1）如圖，一個正方體紙盒的棱長為厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的周長. （2）如圖，一個長方體紙盒的長、寬、高分別是厘米、厘米、厘米（）將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形. 10．仔細觀察下面的正四面體、正六面體、正八面體，解決下列問題： ⑴填空： ①正四面體的頂點數(shù)V＝ ，面數(shù)F＝ ，棱數(shù)E＝ . ②正六面體的頂點數(shù)V＝ ，面數(shù)F＝ ，棱數(shù)E＝ . ③正八面體的頂點數(shù)V＝ ，面數(shù)F＝ ，棱數(shù)E＝ . ⑵若將多面體的頂點數(shù)用V表示，面數(shù)用F表示，棱數(shù)用E表示，則V、F、E之間的數(shù)量關(guān)系可用一個公式來表示，這就是著名的歐拉公式，請寫出歐拉公式： ⑶如果一個多面體的棱數(shù)為30，頂點數(shù)為20，那么它有多少個面？ 11．如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖． (1)當組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為8個時，幾何體有多種形狀．請畫出其中兩種幾何體的左視圖； (2)若組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為n，請寫出n的最小值和最大值； (3)主視圖和俯視圖為下面兩圖的幾何體有若干個，請你畫出其中一個幾何體． 12．用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號碼. A（???????????????）；B（?????????????）；C（????????????）；D（????????????）；E（??????????）. 13．如圖所示，圖1為一個棱長為8的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（數(shù)字和字母寫在外表面上，字母也可以表示數(shù)），請根據(jù)要求回答問題： （1）如果正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則______，______． （2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，則上面是______（填“x”或“y”或“2”） （3）圖1中，點M為所在棱的中點，在圖2中找點M的位置，直接寫出圖2中△ABM的面積． 14．下面圖形是由小正方體木塊搭成的幾何體的三視圖示意圖,則該幾何體的實物圖形是什么模樣的?它由多少個小正方體木塊搭成.請用小木塊實地操作一下吧! 正視圖?????????????左視圖??????????俯視圖 15．某班數(shù)學活動小組的同學用紙板制作長方體包裝盒,其平面展開圖和相關(guān)尺寸如下,其中陰影部分為內(nèi)部粘貼角料(單位:毫米). (1)此長方體包裝盒的體積為______立方毫米(用含x,y的式子表示).? (2)若內(nèi)部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的,則當x=40,y=70時,制作這樣一個長方體共需要紙板多少平方毫米? 16．某種產(chǎn)品形狀是長方形，長為8cm，它的展開圖如圖： （1）求長方體的體積； （2）請為廠家設(shè)計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產(chǎn)品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能小） 第一章 豐富的圖形世界B卷壓軸題考點訓練 1．如圖，5個棱長為1cm的正方體擺在桌子上，則露在外面的部分(不包括底面)的面積為______cm2． 【答案】16 【詳解】解：從左右和前后看，這四個方向各有三個小正方體的面裸露，從上面看有四個面裸露，所以共有3×4+4=16個面裸露，則裸露的面積為1×1×16=16cm2． 故答案為16cm2． 2．如果一個物體的頂點數(shù)與面數(shù)相同，并且有八條棱，那么這個物體是_____________． 【答案】四棱錐 【詳解】試題分析：點數(shù)和面數(shù)相同則肯定是棱錐，且棱數(shù)是底面邊數(shù)的2倍，因為總棱數(shù)=側(cè)棱數(shù)+底棱數(shù)，側(cè)棱數(shù)=底棱數(shù)，底棱數(shù)也就是底面邊數(shù)．所以此物體是四棱錐． 3．有一個幾何體，有9個面，16條棱，那么它有 ______ 個頂點． 【答案】9 【詳解】由幾何體有9個面，16條棱得該幾何體是八棱錐，因此有9個頂點. 故答案為9. 4．將一個長方體的一個角切去，所得的立體圖形的棱的數(shù)量為______． 【答案】15條或14條或12條或13條 【詳解】① （條）； ② （條）； ③ （條）； ④ （條）； 答：所得立體圖形的棱的條數(shù)為15條或14條或12條或13條 故答案為：15條或14條或12條或13條 5．如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是__________． 【答案】路 【詳解】解：由圖1可知：“國”和“興”是對面，“夢”和“中”是對面，“復(fù)”和“路”是對面， 再由圖2可知，1、2、3、4、5分別對應(yīng)的面是“興”、“夢”、“中”、“興”、“復(fù)”， 所以第5格朝上的字是“路”． 所以答案是路． 6．由一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體．如果有一個幾何體，圍成它的各個面都是多邊形，那么這個幾何體叫做________．在你所熟悉的立體圖形中，旋轉(zhuǎn)體有________，多面體有________．（要求各舉兩個例子） 【答案】???? 多面體??????? 圓柱、圓錐??????? 六棱柱、三棱錐 【詳解】由一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體．如果有一個幾何體，圍成它的各個面都是多邊形，那么這個幾何體叫做多面體；在你所熟悉的立體圖形中，旋轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐；多面體有六棱柱、三棱錐（所有的棱柱，棱錐）. 7．一個由許多規(guī)格相同的小正方體堆積而成的幾何體，其主視圖、左視圖如圖所示一模一樣，若要擺成這樣的圖形，至少需用 m 塊小正方體，至多需用n 塊小正方體，則 mn= ________________． 【答案】65 【詳解】擺出如圖所示的圖形，至少要3+2=5個小正方體，最多需要9+4=13個小正方體，所以mn=65. ????? 8．十八世紀偉大的數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（v），面數(shù)（f），棱數(shù)（e）之間存在一個有趣的數(shù)量關(guān)系：v+f﹣e＝2，這就是著名的歐拉定理．而正多面體，是指多面體的各個面都是形狀大小完全相同的的正多邊形，雖然多面體的家族很龐大，可是正多面體的成員卻僅有五種，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，那今天就讓我們來了解下這幾個立體圖形中的“天之驕子”： （1）如圖1，正四面體共有______個頂點，_______條棱． （2）如圖2，正六面體共有______個頂點，_______條棱． （3）如圖3是某個方向看到的正八面體的部分形狀（虛線被隱藏），正八面體每個面都是正三角形，每個頂點處有四條棱，那么它共有_______個頂點，_______條棱． （4）當我們沒有正12面體的圖形時，我們可以根據(jù)計算了解它的形狀：我們設(shè)正12面體每個面都是正n（n≥3）邊形，每個頂點處有m（m≥3）條棱，則共有12n÷2＝6n條梭，有12n÷m＝個頂點．歐拉定理得到方程：+12﹣6n＝2，且m，n均為正整數(shù)， 去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m， 將n看作常數(shù)移項：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n， 合并同類項：（10﹣6n）m＝﹣12n， 化系數(shù)為1：m＝， 變形：＝＝＝＝． 分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數(shù)，所以是正整數(shù)，所以n＝5，m＝3，即6n＝30，． 因此正12面體每個面都是正五邊形，共有30條棱，20個頂點． 請依據(jù)上面的方法或者根據(jù)自己的思考得出：正20面體共有_____條棱；_______個頂點． 【答案】（1）4；6；（2）8；12；（3）6；12；（4）30；12． 【詳解】解：（1）如圖1，正四面體又四個面，每個面有三條邊，每個頂點處有三條棱， 共有4×3÷3=4個頂點， 共有4個頂點，每個頂點處有3條棱，每兩點重復(fù)一條， 正四面體共有4×3÷2=6條棱． 故答案為4；6； （2）如圖2，正六面體有六個面，每個面四條棱，每個頂點處有三條棱， 共有6×4÷3=8個頂點， 正六面體共8個頂點，每個頂點處有3條棱，每兩點重復(fù)一條， 正六面體共有8×3÷2=12條棱． 故答案為：8；12； （3）如圖3正八面體每個面都是正三角形，每個頂點處有四條棱，有八個面，每個面有三棱，每個頂點處有四條棱， 共有8×3÷4=6個頂點， 它共有6個頂點，每個頂點處有四條棱，6×4÷2=12條棱． 故答案為：6；12； （4）正20面體每個面都是正n（n≥3）邊形，每個頂點處有m（m≥3）條棱，則共有20n÷2＝10n條棱，有20n÷m＝個頂點．歐拉定理得到方程：+20﹣10n＝2，且m，n均為正整數(shù)， 去掉分母后：20n+20m﹣10nm＝2m， 將n看作常數(shù)移項：20m﹣10nm﹣2m＝﹣20n， 合并同類項：（18﹣10n）m＝﹣20n， 化系數(shù)為1：m＝， 變形：＝＝＝＝． 分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數(shù)，所以是正整數(shù)，所以n＝3，m＝5，即10n＝30，． 正20面體共有30條棱；12個頂點． 故答案為：30；12． 9．（1）如圖，一個正方體紙盒的棱長為厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的周長. （2）如圖，一個長方體紙盒的長、寬、高分別是厘米、厘米、厘米（）將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形. 【答案】(1)56cm；（2） 【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正方體展開圖形有14條邊，再求其周長；（2）根據(jù)，為使展開圖面積最大，則應(yīng)剪開，再求周長； 試題解析：（1）正方體的展開圖共有種，無論哪一種，其邊都有條.故cm （2），為使展開圖面積最大，則應(yīng)剪開. 周長所以，最大周長是. 剪開圖如下圖所示： 10．仔細觀察下面的正四面體、正六面體、正八面體，解決下列問題： ⑴填空： ①正四面體的頂點數(shù)V＝ ，面數(shù)F＝ ，棱數(shù)E＝ . ②正六面體的頂點數(shù)V＝ ，面數(shù)F＝ ，棱數(shù)E＝ . ③正八面體的頂點數(shù)V＝ ，面數(shù)F＝ ，棱數(shù)E＝ . ⑵若將多面體的頂點數(shù)用V表示，面數(shù)用F表示，棱數(shù)用E表示，則V、F、E之間的數(shù)量關(guān)系可用一個公式來表示，這就是著名的歐拉公式，請寫出歐拉公式： ⑶如果一個多面體的棱數(shù)為30，頂點數(shù)為20，那么它有多少個面？ 【答案】⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；⑵V+F-E=2;⑶它有12個面. 【詳解】試題分析:(1)觀察圖形,結(jié)合多面體的頂點,面,棱的定義進行填空即可,(2)根據(jù)(1)中,多面體的頂點數(shù),面數(shù),棱數(shù),總結(jié)規(guī)律可得V,F,E之間的數(shù)量關(guān)系,(3)根據(jù)(2)中,頂點數(shù),面數(shù),和棱數(shù)之間的關(guān)系式代入求解即可. 解：⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12； ⑵V+F-E=2 ⑶解：設(shè)面數(shù)為F，則20+F-30=2 解得F=12???，答：它有12個面. 11．如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖． (1)當組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為8個時，幾何體有多種形狀．請畫出其中兩種幾何體的左視圖； (2)若組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為n，請寫出n的最小值和最大值； (3)主視圖和俯視圖為下面兩圖的幾何體有若干個，請你畫出其中一個幾何體． 【答案】(1)畫圖見解析；(2) n最小為8，最大為11； (3)畫圖見解析． 【詳解】(1)如圖所示；下圖中的任意兩個即可． （2）∵俯視圖有5個正方形， ∴最底層有5個正方體， 由主視圖可得第2層最少有2個正方體，第3層最少有1個正方體； 由主視圖可得第2層最多有4個正方體，第3層最多有2個正方體； ∴該組合幾何體最少有5+2+1=8個正方體，最多有5+4+2=11個正方體， ∴n的最小值為8，最大值為11． (3)如圖所示． 12．用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號碼. A（???????????????）；B（?????????????）；C（????????????）；D（????????????）；E（??????????）. 【答案】A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6） . 【詳解】試題分析：分別分析五種圖形的所有的截面情況，即可寫出答案． 試題解析：A圓錐，截面有可能是三角形，圓，橢圓（不完全）， B三棱錐，截面有可能是三角形，正方形，梯形， C正方體，截面有可能是三角形，四邊形（矩形，正方形，梯形），五邊形，六邊形， D球體，截面只可能是圓， E圓柱體，截面有可能是橢圓（不完全），圓，矩形， 因此答案為：A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6） . 13．如圖所示，圖1為一個棱長為8的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（數(shù)字和字母寫在外表面上，字母也可以表示數(shù)），請根據(jù)要求回答問題： （1）如果正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則______，______． （2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，則上面是______（填“x”或“y”或“2”） （3）圖1中，點M為所在棱的中點，在圖2中找點M的位置，直接寫出圖2中△ABM的面積． 【答案】（1）12；8（2）2；（3）16或80 【詳解】解：（1）∵正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等 ∴，，∴，，故答案為：12；8 （2）若面“10”是左面，面“6”在前面，則上面是“2” （3）因為點M所在的棱為兩個面共用，所以它的位置有兩種情況，第一種情況如下圖： 設(shè)點M左邊的頂點為點D，則 第二種情況如下圖： ，綜上所述，的面積為：16或80 14．下面圖形是由小正方體木塊搭成的幾何體的三視圖示意圖,則該幾何體的實物圖形是什么模樣的?它由多少個小正方體木塊搭成.請用小木塊實地操作一下吧! 正視圖?????????????左視圖??????????俯視圖 【答案】見解析 【詳解】試題分析：結(jié)合俯視圖和左視圖，可以知道B處應(yīng)該是3個小正方體，從正視圖可以看出A、D均為1個小正方體，從左視圖可以分析B處為3個，C處有2個．所以總共有7個小正方體搭成，如圖為搭好的幾何體． 解：由俯視圖可得最底層有4個小正方體，由左視圖和主視圖可得第二層有2個小正方體，第三層有1個正方體，共有7個小正方體組成． 15．某班數(shù)學活動小組的同學用紙板制作長方體包裝盒,其平面展開圖和相關(guān)尺寸如下,其中陰影部分為內(nèi)部粘貼角料(單位:毫米). (1)此長方體包裝盒的體積為______立方毫米(用含x,y的式子表示).? (2)若內(nèi)部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的,則當x=40,y=70時,制作這樣一個長方體共需要紙板多少平方毫米? 【答案】(1)65xy;(2)23880mm2. 【詳解】試題分析：（1）由長方體包裝盒的平面展開圖，可知該長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米，根據(jù)長方體的體積=長×寬×高即可求解； （2）由于長方體的表面積=2（長×寬+長×高+寬×高），又內(nèi)部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的 ，所以制作這樣一個長方體共需要紙板的面積=（1+）×長方體的表面積． 試題解析：(1) 由題意，知該長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米， 則長方體包裝盒的體積為：65xy立方毫米， 故答案為65xy； (2)因為長方體的長為y毫米，寬為65毫米，高為x毫米， 所以長方體的表面積=2(xy+65y+65x)平方毫米， 又∵內(nèi)部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的， ∴制作這樣一個長方體共需要紙板的面積=（1+）×2（xy+65y+65x）=（xy+65y+65x）=xy+156y+156x（平方毫米）， ∵x=40，y=70， ∴制作這樣一個長方體共需要紙板×40×70+156×70+156×40=23880平方毫米． 16．某種產(chǎn)品形狀是長方形，長為8cm，它的展開圖如圖： （1）求長方體的體積； （2）請為廠家設(shè)計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產(chǎn)品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能?。? 【答案】（1）長方形的體積為144cm3；（2）紙箱的表面積為792cm2 【詳解】（1）解：設(shè)長方體的高為xcm，則長方形的寬為（12﹣2x）cm，根據(jù)題意可得： 12﹣2x+8+x+8=25，解得：x=3，所以長方體的高為3cm，寬為6cm，長為8cm， 長方形的體積為：8×6×3=144cm3； （2）解：由要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能?。?，可知紙箱的裝法有兩種，即每層一個共10層或每層兩個共5層， ①每層一個共10層：（?。┊?×6的面疊加在一起時，表面積為2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2, （ⅱ）當3×8的面疊加在一起時，表面積為2（3×8+3×60+8×60）=1368cm2, （ⅲ）當6×8的面疊加在一起時，表面積為2（30×8+30×6+8×6）=936cm2, ②每層兩個共5層： （ⅰ）當每一層的兩個長方體的3×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的3×8的面貼地面時， 表面積為2（3×16+3×30+16×30）=1236cm2, （ⅱ）當每一層的兩個長方體的3×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的6×8的面貼地面時， 表面積為2（6×16+6×15+16×15）=852cm2, （ⅲ）當每一層的兩個長方體的3×8的面疊加在一起時，且底層的長方體的3×6的面貼地面時， 表面積為2（3×12+3×40+12×40）=1272cm2, （ⅳ）當每一層的兩個長方體的3×8的面疊加在一起時，且底層的長方體的8×6的面貼地面時， 表面積為2（12×8+8×15+12×15）=792cm2, （ⅴ）當每一層的兩個長方體的8×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的8×3的面貼地面時， 表面積為2（6×8+6×30+8×30）=936cm2, （ⅵ）當每一層的兩個長方體的8×6的面疊加在一起時，且底層的長方體的6×3的面貼地面時， 表面積為2（6×6+6×40+6×40）=1032cm2, 所以當每一層的兩個長方體的3×8的面疊加在一起時，且底層的長方體的8×6的面貼地面時，表面積最小，為792cm2，設(shè)計的包裝紙箱為長為12cm，寬為8cm，高為15cm. 故答案為792cm2

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