例題1如圖，將平行四邊形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（___，__）；
（2）若將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得OFDE，DF交OC于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)F，求 SKIPIF 1 < 0 的面積；
（3）在（2）的情形下，若再將平行四邊形OFDE沿y軸正方向平移，設(shè)平移的距離為d，當(dāng)平移后的平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 與平行四邊形OABC重疊部分為五邊形時(shí)，設(shè)其面積為S，試求出S關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出d的取值范圍．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可求 SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)旋轉(zhuǎn)、平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合三角函數(shù)可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的面積；
（3）由題可得平移的圖形與平行四邊形重疊部分的面積為五邊形時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ；由圖可得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 恰好過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ；重疊部分五邊形面積為： SKIPIF 1 < 0 ；
【詳解】
（1）由平行四邊形的性質(zhì)，可知： SKIPIF 1 < 0 ，又點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)相同；
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由題可得平移的圖形與平行四邊形重疊部分的面積為五邊形時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ；
由圖可得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 恰好過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ；
∴ 沿 SKIPIF 1 < 0 軸平移 SKIPIF 1 < 0 的范圍： SKIPIF 1 < 0 ；
如圖可得：重疊部分五邊形面積為： SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
所以重疊五邊形面積為：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，關(guān)鍵在利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行角度關(guān)系求解進(jìn)行三角形函數(shù)的應(yīng)用，特別是針對面積利用三角函數(shù)關(guān)系，求解屬于靈活應(yīng)用的難點(diǎn)；
練習(xí)題
1．將圖1中的矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖2中的△A′BC′．
（1）在圖2中，除△ADC與△C′BA′全等外，請寫出其他2組全等三角形；① ；② ；
（2）請選擇（1）中的一組全等三角形加以證明．
【答案】（1）△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）見解析.
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)圖形即可得到2組全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
（2）依據(jù)平移的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，即可得到判定全等三角形的條件．
【詳解】
解：（1）由圖可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
故答案為△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；
（2）選△AA′E≌△C′CF，證明如下：
由平移性質(zhì)，得AA′＝C′C，
由矩形性質(zhì)，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定以及矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了平移的性質(zhì)．
2．如圖，將邊長為 4 的正方形 ABCD 沿其對角線 AC 剪開，再把△ABC沿著 AD 方向平移，得到 △A?B?C? ．
（1）當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為 3 時(shí)，求移動的距離 AA? ；
（2）當(dāng)移動的距離 AA? 是何值時(shí)，重疊部分是菱形．
【答案】（1）AA? =1或3；（2）AA? = SKIPIF 1 < 0 時(shí)，重疊部分是菱形．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合陰影部分是平行四邊形，設(shè)AA′=x，AC與A′B′相交于點(diǎn)E，則A′D=4－x，△AA′E是等腰直角三角形，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可列出方程求解；
（2）設(shè)A?C?與CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形A′ECF是菱形時(shí)，有A′E=A′F，設(shè)AA′=x，則A′E=x，A′D=4－x，再由A′F= SKIPIF 1 < 0 A′D，可得方程 SKIPIF 1 < 0 ，解之即得結(jié)果.
【詳解】
（1）設(shè)AA′=x，AC與A′B′相交于點(diǎn)E，如圖，
∵△ACD是正方形ABCD剪開得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，A′D=AD－AA′=4－x，
∵陰影部分面積為3，
∴x(4－x)=3，
整理得，x2－4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
即移動的距離AA′=1或3.
（2）設(shè)A?C?與CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形A′ECF是菱形時(shí)，A′E=A′F，
設(shè)AA′=x，則A′E=CF=x，A′D=DF=4－x，
∵△A′DF是等腰直角三角形，
∴A′F= SKIPIF 1 < 0 A′D，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng)移動的距離為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，重疊部分是菱形.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、正方形和菱形的性質(zhì)及一元二次方程的解法等知識，解決本題的關(guān)鍵是抓住平移后圖形的特點(diǎn)，利用方程思想解題．
3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 SKIPIF 1 < 0 的面積等于4，長方形 SKIPIF 1 < 0 的面積等于8，其中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上．

（1）請直接寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將正方形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 軸向右平移，移動后得到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)移動后的正方形 SKIPIF 1 < 0 長方形 SKIPIF 1 < 0 重疊部分（圖中陰影部分）的面積為 SKIPIF 1 < 0 ；
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ______；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ______；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ______；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）①2，4，2；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）由正方形面積求出邊長再求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，又由長方形面積求出長再求出D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）①AA′=1 時(shí)，面積為圖2陰影部分；AA′=3 時(shí)，面積為正方形面積；AA′=5時(shí)正方形一半在長方形內(nèi)，一半在長方形外．
②S=1時(shí)注意有兩種情況：正方形剛進(jìn)入長方形的時(shí)候和正方形快要走出長方形的時(shí)候．
【詳解】
解：（1）正方形面積為4
∴AB=AO= 2
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
長方形面積為8，AO=2
∴AD=8÷2=4
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）①AA′=1 時(shí)，面積為圖2陰影部分，S=AA′×AO=1×2=2
AA′=3 時(shí)，面積如下圖，S=AB′×AO=2×2=4
AA′=5時(shí)，面積如下圖，S=B'D×BC=1×2=2
②正方形剛進(jìn)入長方形時(shí)，可參照圖2，陰影部分是AA'O'O，該部分面積=AA'×AO=AA'×2=1
∴AA'=1÷2= SKIPIF 1 < 0
正方形快要走出長方形時(shí)，可參照下圖，陰影部分是B'DEC，該部分面積=B'D×B'C=B'D×2=1
∴B'D=1÷2= SKIPIF 1 < 0
∴A'D=2- SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴AA'=4+ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故答案為AA′= SKIPIF 1 < 0 或AA′= SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題考查圖形的平移和坐標(biāo)的知識，準(zhǔn)確識圖，結(jié)合圖形靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
4．問題背景
在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以圖形的平移與旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學(xué)活動,如圖（1），先將一張等邊三角形紙片對折后剪開，得到兩個(gè)互相重合的△ABD和△EFD，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，然后將△EFD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在邊AB上，如圖（2），連接EC．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）判斷四邊形BFEC的形狀，并說明理由；
實(shí)踐探究
（2）聰聰提出疑問：若等邊三角形的邊長為8，能否將圖（2)中的△EFD沿BC所在的直線平移a個(gè)單位長度（規(guī)定沿射線BC方向?yàn)檎玫健?SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得得到的四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，請你幫聰聰解決這個(gè)問題，若能，請求出a的值；若不能，請說明理由。
（3）老師提出問題：請參照聰聰?shù)乃悸罚舻冗吶切蔚倪呴L為8，將圖（2）中的△EFD在平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到△ SKIPIF 1 < 0 ，畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)論，不必證明．
【答案】（1）四邊形BFEC為平行四邊形，理由見解析；（2）能， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）作圖見解析，結(jié)論為：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形．
【解析】
【分析】
（1）由等邊三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得△BFD為等邊三角形，從而求得EF∥BC且EF=BC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判斷；
（2）分三角形沿射線BC和射線CB方向平移兩種情況，結(jié)合菱形的性質(zhì)及勾股定理求得CG的長度，從而求解；
（3）在（1）問的基礎(chǔ)上，利用平移及等邊三角形的性質(zhì)構(gòu)造矩形作圖，從而求解．
【詳解】
（1）四邊形BFEC為平行四邊形．
理由如下：∵△ABC為等邊三角形
∴∠ABD=60°，AB=BC
由題意，知FD=BD
∴△BFD為等邊三角形
∴∠FDB=60°
∵∠EFD=60°
∴EF∥BC
∵EF=AB=BC
∴四邊形BEFC為平行四邊形．
（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=DC= SKIPIF 1 < 0 4
∴AD=4 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)△DEF沿射線BC方向平移時(shí)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 G垂直BC交BC的延長線于點(diǎn)G
∵ SKIPIF 1 < 0 ∥BC， SKIPIF 1 < 0 =30°
∴ SKIPIF 1 < 0 =30°
在Rt△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 =4 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 =6
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形
∴ SKIPIF 1 < 0 =8
在Rt△ SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得CG= SKIPIF 1 < 0
∴DG=DC+CG=4+2 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 =DG- SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 -2
當(dāng)△EDF沿射線CB方向平移時(shí)，同理可得 SKIPIF 1 < 0 =2+2 SKIPIF 1 < 0 ，即a=-2-2 SKIPIF 1 < 0
∴a=-2-2 SKIPIF 1 < 0 或2 SKIPIF 1 < 0 -2
（3）將圖（2）中的△EFD在平面內(nèi)沿CB方向平移2個(gè)單位長度，得到△ SKIPIF 1 < 0
此時(shí) SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了幾何變換綜合以及等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定方法等知識，正確利用平移及等邊三角形的性質(zhì)得出DD′的長是解題關(guān)鍵．
5．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且m，n滿足 SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，其中點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)D與點(diǎn)B對應(yīng)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積等于平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）見解析
【解析】
【分析】
（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由平移的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由（1）由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得關(guān)于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，由平行線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，證出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）解：∵m，n滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由平移的性質(zhì)得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：存在，理由如下：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）證明：由平移的性質(zhì)得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平移的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平行四邊形的面積、三角形面積等知識；熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別向上平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長度，再向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0
問題提出:
（1）請直接寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，及四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ﹔
拓展延伸:
（2）如圖①，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，請求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.
遷移應(yīng)用:
（3）如圖②，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的個(gè)動點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上移動時(shí)(不與 SKIPIF 1 < 0 重合）給出下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 的值不變，② SKIPIF 1 < 0 的值不變，其中有且只有一個(gè)是正確的，請你找出這個(gè)結(jié)論并求其值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）結(jié)論①正確， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律易得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，可證四邊形ABDC是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式可求解；
（2）先計(jì)算出S△MAC=2，然后分M在x軸或y軸上兩種情況，根據(jù)三角形面積公式列方程求解，從而確定M的坐標(biāo)；
（3）作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．
【詳解】
解：（1）由題意可知：C點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）
∴AB=4，OC=2
S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8
故答案為：（0，2）；（4，2）；8
（2）存在
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
①當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上時(shí)，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
此時(shí)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
②當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上時(shí)，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或b=1
此時(shí)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
（3）結(jié)論①正確
過 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)
∵AB∥CD
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題，考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
7．綜合與實(shí)踐．
如圖1，將兩個(gè)全等的三角尺 SKIPIF 1 < 0 與三角尺 SKIPIF 1 < 0 如圖擺放（ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合），其中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖2，固定三角尺 SKIPIF 1 < 0 不動，將三角尺 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移至圖2位置，分別連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀為______；
（2）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，將三角尺 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 方向繼續(xù)平移，當(dāng)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形時(shí)，分別連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①請判斷此時(shí)四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長為______．
【答案】（1）平行四邊形；（2）①菱形，理由見解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可證得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
（2）①連接 SKIPIF 1 < 0 交BE于點(diǎn)O，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可證得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，再根據(jù)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)一步得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；②根據(jù)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形和∠ABC=30°，可求得BC，進(jìn)而可求得
SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形即可求得周長．
【詳解】
解：（1）四邊形ABDE的形狀為平行四邊形，理由如下：
∵平移過程中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
（2）①四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀是菱形．
理由如下：
如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 交BE于點(diǎn)O，
∵平移過程中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
②∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴AF=AC=1,
∵∠ABC=30°，
∴BC=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴AB=BD=DE=AE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ABDE的周長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識解題．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)同時(shí)將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)分別是______，______；四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為______；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得三角形 SKIPIF 1 < 0 面積是三角形面積 SKIPIF 1 < 0 的2倍，若存在，請求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請你直接寫出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；8；（2）存在，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 延長線運(yùn)動時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 延長線運(yùn)動時(shí)， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律可得D、C的坐標(biāo)以及四邊形ABCD的面積；
（2）根據(jù)四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是三角形 SKIPIF 1 < 0 面積的2倍，得, SKIPIF 1 < 0 即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分三種情況，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC的延長線上運(yùn)動時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在CB的延長線上運(yùn)動時(shí)，分別畫圖得出答案．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 AB=CD， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD為平行四邊形
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）存在，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 D SKIPIF 1 < 0 ， C SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵AB、CD之間的距離為2，且三角形 SKIPIF 1 < 0 面積是三角形面積 SKIPIF 1 < 0 的2倍，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵兩個(gè)三角形等高，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動時(shí)，延長DQ交x軸于E點(diǎn)，如圖2-1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 延長線運(yùn)動時(shí)，如圖2-2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
③當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 延長線運(yùn)動時(shí)，如圖2-3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
綜上所述：當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 延長線運(yùn)動時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 延長線運(yùn)動時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，以及點(diǎn)的平移的規(guī)律，對點(diǎn)Q的位置進(jìn)行分類討論時(shí)解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)將四邊形 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過平移后得到四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）請直接寫點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（2）求四邊形 SKIPIF 1 < 0 與四邊形 SKIPIF 1 < 0 重疊部分的面積；
（3）在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）先確定平移的規(guī)則，然后根據(jù)平移的規(guī)則，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）由平移的性質(zhì)可知，重疊部分為平行四邊形，且底邊長為3，高為2，即可求出面積；
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，先求出平行四邊形ABCD的面積，然后利用三角形的面積公式，即可求出b的值．
【詳解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴平移的規(guī)則為：向右平移2個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0
由平移可知，重疊部分為平行四邊形，高為2，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴重疊部分的面積為 SKIPIF 1 < 0
（3）存在；
設(shè) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，以及求陰影部分的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì)進(jìn)行解題．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．平移線段 SKIPIF 1 < 0 得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，并直接寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在射線 SKIPIF 1 < 0 （不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合）上，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①若三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積是三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積的2倍，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足的關(guān)系式．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；②點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平移規(guī)律得到平移方式，再由平移的坐標(biāo)變化規(guī)律求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（2）①設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②分點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)左側(cè)、點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
，解得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平移線段 SKIPIF 1 < 0 得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)，
∴平移線段 SKIPIF 1 < 0 向上平移4個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∵線段 SKIPIF 1 < 0 平移得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，坐標(biāo)為（7，0），
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②I、點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在射線 SKIPIF 1 < 0 （不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合）上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足的關(guān)系式是 SKIPIF 1 < 0 ．
理由如下：如圖1，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，
，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 平移得到，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ，
II、如圖2，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在射線 SKIPIF 1 < 0 （不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合）上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足的關(guān)系式是 SKIPIF 1 < 0 ．
同①的方法得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；即： SKIPIF 1 < 0
綜上所述：點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了坐標(biāo)與圖形平移的關(guān)系，坐標(biāo)與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及三角形、平行四邊形的面積公式．關(guān)鍵是理解平移規(guī)律，作平行線將相關(guān)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
二、以軸對稱（折疊）為背景的問題
例題2如圖1，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 將四邊形分成兩部分，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，將四邊形 SKIPIF 1 < 0 的直角 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處（如圖1）．
（1）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，則 SKIPIF 1 < 0 _______， SKIPIF 1 < 0 _______；
（2）若折疊后點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)（如圖2），則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為_________．
（3）在（2）的條件下，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，8；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）證明見解析．
【解析】
【分析】
（1）利用軸對稱的性質(zhì)即可解決問題；
（2）延長ED、OA，交于點(diǎn)F，如圖2．易證 SKIPIF 1 < 0 ，則有DE＝DF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EOD＝∠FOD，從而就可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的線段垂直平分線，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故可求解．
【詳解】
（1）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∠COA＝45°，OA＝OC＝8．
故答案為：45°，8．
（2）如圖：延長ED、OA，交于點(diǎn)F．
∵∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴∠AOC＋∠BCO＝180°，
∴BC∥OA，
∴∠B＝∠DAF．
在△BDE和△ADF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （ASA），
∴DE＝DF．
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OE＝OF，
∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EOD＝∠FOD．
由折疊可得∠FOD＝∠EOC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠COA＝3 SKIPIF 1 < 0 ＝90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝30°．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2）得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的線段垂直平分線， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，BE=AF
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CB﹣BA以每秒5個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、E同時(shí)停止運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)Q，連接PQ交AC于點(diǎn)F，連接EP、EQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示AF＝______；當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示AF＝______；
(2)當(dāng)△EPQ為直角三角形時(shí)，求t的值．
(3)如圖②，取PE的中點(diǎn)M，連接QM．當(dāng)P在AB上，且QM∥CD時(shí)，求t的值．當(dāng)點(diǎn)P在CB上運(yùn)動時(shí)，是否存在QM∥AD的情況，如果存在直接寫出t的值，如果不存在請說明理由．
【答案】(1)10﹣4t； SKIPIF 1 < 0
(2)t的值為 SKIPIF 1 < 0 或2
(3)當(dāng)P在AB上時(shí)t的值為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)P在BC上時(shí)t的值為 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)矩形和三角函數(shù)的性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合軸對稱和三角函數(shù)性質(zhì)分析，即可得到答案；
（2）根據(jù)軸對稱、等腰直角三角形、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得PF＝EF，分P在BC上、點(diǎn)P在AB上兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案；
（3）根據(jù)平行線、三角函數(shù)、線段和差的性質(zhì)，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案．
(1)
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，由題意得：CP＝5t，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵CP＝5t，
∴CF＝4t，
∴AF＝10﹣4t，
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，由題意得： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案為：10﹣4t； SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱，即PF＝QF， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴若△EPQ為直角三角形，則△EPQ為等腰直角三角形
∴PF＝EF，
當(dāng)P在BC上時(shí)，
∵PF＝PC?sin∠BCA＝5t? SKIPIF 1 < 0 ＝3t，EF＝AF﹣AE＝10﹣4t﹣2t＝10﹣6t，
∴10﹣6t＝3t，
∴t＝ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)P在AB上時(shí)，
∵PF＝PA?sin∠BAC＝（8+4﹣5t）? SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，EF＝AE﹣AF＝2t﹣ SKIPIF 1 < 0 ＝5t﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝5t﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴t＝2，
∴當(dāng)△EPQ為直角三角形時(shí)，t的值為 SKIPIF 1 < 0 或2；
(3)
過Q點(diǎn)作QG⊥AB延長線于G，延長QM交BC于N，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，
∵PB∥MN∥DH，PM＝EM，
∴BN＝NH，
在Rt△PQG中，PQ＝2PF＝2AF?tan∠PAF＝ SKIPIF 1 < 0 ﹣8t，
∴QG＝PQ?sin∠APF＝PQ?cs∠PAF＝ SKIPIF 1 < 0 PQ＝ SKIPIF 1 < 0 （14﹣5t），
在Rt△ECH中，HC＝CE?cs∠ECH＝ SKIPIF 1 < 0 t，
∵BH＝2BN，即BC﹣CH＝2QG，
∴（8﹣ SKIPIF 1 < 0 t）＝2× SKIPIF 1 < 0 （14﹣5t），
解得t＝ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，QM∥BC時(shí)，
過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過點(diǎn)P作PK⊥QM于K，
∵QM∥BC，PM＝EM，
∴EH＝2PK，
在Rt△PQK中，PQ＝2PF＝2CF?tan∠PCF＝6t，
∴PK＝PQ?cs∠KPQ＝PQ?cs∠PCF＝ SKIPIF 1 < 0 PQ＝8t，
在Rt△ECH中，HE＝CE?cs∠PCF＝6﹣ SKIPIF 1 < 0 t，
∵EH＝2PK，
∴（6﹣ SKIPIF 1 < 0 t）＝2×8t，
解得t＝ SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng)P在AB上時(shí)t的值為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)P在BC上時(shí)t的值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線、矩形、軸對稱、三角函數(shù)、等腰直角三角形、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)、軸對稱的性質(zhì)，從而完成求解．
2．幾何模型：
條件：如圖1，A、B是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使 SKIPIF 1 < 0 的值最小，
方法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交l于點(diǎn)P，則 SKIPIF 1 < 0 的值最?。?br>直接應(yīng)用：
(1)如圖2，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，N是AC上一動點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
變式練習(xí)：
(2)如圖3，點(diǎn)A是半圓上（半徑為1）的三等分點(diǎn)，B是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
深化拓展：
(3)如圖4，在銳角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
(4)如圖5，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P，使 SKIPIF 1 < 0 ．（要求：保留作圖痕跡，并簡述作法．）
【答案】(1)10
(2) SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 的最小值為4
(4)見解析
【解析】
【分析】
（1）連接BN，根據(jù)AC是對角線為對稱軸，得出BN=DN，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離得出DN+NM=BN+NM≥BM，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于NM的對稱點(diǎn)B′，連接PB′，OB′，可得PB=PB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，當(dāng)A、P、B′，三點(diǎn)共線時(shí)PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′= SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）作BE⊥AC于E，作點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N′，連接MN′根據(jù)AD平分∠CAB，點(diǎn)N在AB上，得出點(diǎn)N′在AC上，根據(jù)對稱性得出MN=MN′， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn)M，N′在BE上時(shí) SKIPIF 1 < 0 最小=BE，可證△AEB為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 即可；
（4）作點(diǎn)B關(guān)于AC對稱點(diǎn)B′，作射線DB′交AC與P，連接BP，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于AC對稱，得出PB=PB′，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出PE平分∠BPB′即可．
(1)
解：連接BN，
∵四邊形ABCD為正方形，AC是對角線為對稱軸，
∴BN=DN，
∴DN+NM=BN+NM≥BM
∴當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)DN+NM最短=BM，
∵DM=2，DC=BC=8，
∴CM=DC-DM=8-2=6，
在Rt△BCM中，BM= SKIPIF 1 < 0 ，
∴DN+NM最小=10；
故答案為10；
(2)
解：作點(diǎn)B關(guān)于NM的對稱點(diǎn)B′，連接PB′，OB′，
則PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴當(dāng)A、P、B′，三點(diǎn)共線時(shí)PA+PB最小=AB′
∵點(diǎn)A是半圓上（半徑為1）的三等分點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為60°，
∵B是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為30°，
∴ SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為60°+30°=90°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=OB′=1，
∴AB′= SKIPIF 1 < 0 ，
∴PA+PB最小= SKIPIF 1 < 0 ；
(3)
解：作BE⊥AC于E，作點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N′，連接MN′
∵AD平分∠CAB，點(diǎn)N在AB上，
∴點(diǎn)N′在AC上，
MN=MN′， SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)點(diǎn)M，N′在BE上時(shí) SKIPIF 1 < 0 最小=BE，
∵∠CAB=45°，BE⊥AC
∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 最小=4；
(4)
作點(diǎn)B關(guān)于AC對稱點(diǎn)B′，作射線DB′交AC與P，連接BP，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于AC對稱，
∴PB=PB′，
∵PE⊥BB′
∴PE平分∠BPB′，
∴∠APB=∠APD．
【點(diǎn)睛】
本題考查尺規(guī)作圖，軸對稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形性質(zhì)，勾股定理，圓心角，圓周角弧弦的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖，軸對稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形性質(zhì)，勾股定理，圓心角，圓周角弧弦的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)，我們知道了正方形對角線的長度是邊長的 SKIPIF 1 < 0 倍，所以等腰直角三角形的底邊長是腰長的 SKIPIF 1 < 0 倍．例如，圖1中的四邊形ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ABC是等腰直角三角形，則AC＝ SKIPIF 1 < 0 AB．
小玲遇到這樣一個(gè)問題：如圖2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，AD⊥BC于點(diǎn)D，求AD的長．
小玲發(fā)現(xiàn)：如圖3，分別以AB，AC為對稱軸，分別作出 SKIPIF 1 < 0 ABD， SKIPIF 1 < 0 ACD的軸對稱圖形，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，延長EB，F(xiàn)C交于點(diǎn)G，可以得到正方形AEGF，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和正方形四條邊都相等就能求出AD的長，請直接寫出：BD的長為 ，BG的長為 ，AD的長為 ；
參考小玲思考問題的方法，解決問題：
如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，0），B（0，4），AB＝5，點(diǎn)P是 SKIPIF 1 < 0 OAB外角的角平分線AP和BP的交點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
【答案】小玲發(fā)現(xiàn)： SKIPIF 1 < 0 ；2； SKIPIF 1 < 0 ＋2；解決問題：（6，6）
【解析】
【分析】
小玲發(fā)現(xiàn)：根據(jù)等腰三角形的三線合一可得BD＝CD＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得BE＝CF＝ SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)題意可得四邊形AEGF為正方形，由此可得EG＝FG＝AE，∠G＝90°，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，由此可求得BG＝2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求得AD的長；
解決問題：過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，作PN⊥y軸于點(diǎn)N，作PH⊥AB于點(diǎn)H，仿照小玲的解法求解即可．
【詳解】
解：小玲發(fā)現(xiàn)：
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD＝CD＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵翻折，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD＝BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，CD＝CF＝ SKIPIF 1 < 0 ，AD＝AE，
∴BE＝CF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵由題意可得：四邊形AEGF為正方形，
∴EG＝FG＝AE，∠G＝90°，
∴EG－BE＝FG－CF，
即BG＝CG，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 BG，
又∵BC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BG＝2，
∴AE＝EG＝BE＋BG＝ SKIPIF 1 < 0 ＋2，
∴AD＝AE＝ SKIPIF 1 < 0 ＋2，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；2； SKIPIF 1 < 0 ＋2；
解決問題：
如圖，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，作PN⊥y軸于點(diǎn)N，作PH⊥AB于點(diǎn)H，
∵AP，BP分別平分∠BAM，∠ABN，PM⊥x軸，PN⊥y軸，PH⊥AB，
∴PM＝PH＝PN，∠PNB＝∠PHB＝∠PHA＝∠PMA＝90°，
∴在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB＝5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)A（3，0），B（0，4），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵AP，BP分別平分∠BAM，∠ABN，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又∵∠PNB＝∠PMA＝∠AOB＝90°，PM＝PN，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，6），
故答案為：（6，6）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)并能作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
4．如圖1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，動點(diǎn)P從B出發(fā)沿射線BC方向移動，作△PAB關(guān)于直線PA的對稱△PAB′．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)，直線PB′與CD相交于點(diǎn)M，連接AM，若∠PAM=45°，請直接寫出∠B′AM和∠DAM的數(shù)量關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，請求出此時(shí)a的值：
（3）當(dāng)a=8時(shí)，
①如圖3，當(dāng)點(diǎn)B′落在AC上時(shí)，請求出此時(shí)PB的長；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，請直接寫出△PCB′是直角三角形時(shí)PB的長度．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）① SKIPIF 1 < 0 ；②PB的長度為8或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）證明Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，即可得到∠B′AM=∠DAM；
（2）由Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，得到AD=AB′=AB=a，即可求得a=6；
（3）①利用勾股定理求出AC，在Rt△PB′C中利用勾股定理即可解決問題；
②分三種情形分別求解即可，如圖2-1中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)．如圖2-2中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)．如圖2-3中，當(dāng)∠CPB′=90°時(shí)，利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，
∵△PAB′與△PAB關(guān)于直線PA的對稱，
∴△PAB≌△PAB′，
∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，∠B′AP=∠BAP，
∵∠PAM=45°，即∠B′AP +∠B′AM =45°，
∴∠DAM +∠BAP =45°，
∴∠DAM=∠B′AM，
∵AM=AM，
∴Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，
∴∠B′AM=∠DAM；
（2）∵由（1）知：Rt△MAD≌Rt△MAB′，
∴AD=AB′=AB=a，
∵AD=BC=6，
∴a=6；
（3）①在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC= SKIPIF 1 < 0 =10，
設(shè)PB=x，則PC=6?x，
由對稱知：PB′=PB=x，∠AB′P=∠B=90°，
∴∠PB′C=90°，
又∵AB′=AB=8，
∴B′C=2，
在Rt△PB′C中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴(6?x)2=22+x2，
解得：x= SKIPIF 1 < 0 ，
即PB= SKIPIF 1 < 0 ；
②∵△PAB′與△PAB關(guān)于直線PA的對稱，
∴△PAB≌△PAB′，
∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，PB′=PB，
設(shè)PB′=PB=t，
如圖2-1中，當(dāng)∠PCB'=90°，B'在CD上時(shí)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB′=AB=CD=8，AD=BC=6，
∴DB′ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CB′=CD?DB′=8?2 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△PCB'中，∵B'P2=PC2+B'C2，
∴t2= (8?2 SKIPIF 1 < 0 )2+(6?t)2，
∴t= SKIPIF 1 < 0 ；
如圖2-2中，當(dāng)∠PCB'=90°，B'在CD的延長線上時(shí)，
在Rt△ADB'中，DB′ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CB′=8+2 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△PCB'中，則有：(8?2 SKIPIF 1 < 0 )2+(t?3)2=t2，
解得t= SKIPIF 1 < 0 ；
如圖2-3中，當(dāng)∠CPB'=90°時(shí)，
∵∠B=∠B′=∠BPB′=90°，AB=AB′，
∴四邊形AB'PB為正方形，
∴BP=AB=8，
∴t=8，
綜上所述，PB的長度為8或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
5．已知，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
①如圖1，當(dāng)四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形時(shí)，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形時(shí)，①（1）題中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
②如圖3，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的延長線相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）①成立，證明見解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
(1)結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得結(jié)論；
(2)①結(jié)論成立，如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =CD，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得結(jié)論；
②根據(jù)條件得到 SKIPIF 1 < 0 ，由對稱性得到 SKIPIF 1 < 0 ，可推出 SKIPIF 1 < 0 ，證明出△ADE是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【詳解】
（1）結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ，
證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
（2）①成立．
證明：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
② SKIPIF 1 < 0 平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，
SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題屬于三角形和四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形和矩形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．【源模：模型建立】
白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐 李欣
詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關(guān)鍵是利用軸對稱變換，把直線同側(cè)兩點(diǎn)的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題，從而解決距高和最短的一類問題．“將軍飲馬”問題的數(shù)學(xué)模型如圖所示：
【新模1：模型應(yīng)用】
如圖1，正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為對角線 SKIPIF 1 < 0 上一動點(diǎn)，欲使 SKIPIF 1 < 0 周長最?。?br>（1）在圖中確定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）；
（2） SKIPIF 1 < 0 周長的最小值為______．
【新模2：模型變式】
（3）如圖2，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在矩形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部有一動點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的距離和 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
【超模：模型拓廣】
（4）如圖3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．請構(gòu)造合理的數(shù)學(xué)模型，并借助模型求 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，點(diǎn)F即為所求的點(diǎn)；
（2）連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)正方形的對稱性得到此時(shí)△BFE的周長最小，利用勾股定理求出DE即可；
（3）設(shè)AB邊上的高h(yuǎn)，由題意 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形面積、矩形面和解得h=2，再由軸對稱性質(zhì)，解得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的距離和 SKIPIF 1 < 0 的最小值為AC，最后根據(jù)勾股定理解題即可；
（4）作點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)G過點(diǎn)G作 SKIPIF 1 < 0 交ED延長線于點(diǎn)F，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可得
SKIPIF 1 < 0 的最小值就是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即GE的長，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】
解：（1）如圖，連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，點(diǎn)F即為所求的點(diǎn)；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，
∴BF=DF，
∴△BFE的周長=BF+EF+BE=DE+BE，此時(shí)△BEF的周長最小，
∵正方形ABCD的邊長為3，
∴AD=AB=3，∠DAB=90°，
∵點(diǎn)E在AB上，且BE=1，
∴AE=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BFE的周長為 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè)△PAB中AB邊上的高是h，如圖，
∵在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴動點(diǎn)P在與AB平行且與AB距離為2的直線l上，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，
連結(jié)AC交直線l于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則AC的長就是所求的最短距離，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的距離和 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)G過點(diǎn)G作 SKIPIF 1 < 0 交ED延長線于點(diǎn)F，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，則CD=3-x，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 的最小值就是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即GE的長，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形BDFG為矩形，
∴DF=BG=2，GF=BD=3，
∴EF=5，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圖形的變換——軸對稱求最短路線，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．如圖①，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)A在 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）直接寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)：________；
（2）如圖②，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折疊，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰好與線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長度；
（3）如圖③， SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 交線段 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，且 SKIPIF 1 < 0 ，試求符合條件的所有點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）3；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合題意，根據(jù)矩形、直角坐標(biāo)系的性質(zhì)分析，即可得到答案；
（2）結(jié)合矩形和勾股定理性質(zhì)，計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)軸對稱性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而得 SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)勾股定理性質(zhì)列方程并求解，即可得到答案；
（3）當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 下方時(shí)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ；結(jié)合矩形性質(zhì)，通過證明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，通過計(jì)算即可得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方時(shí)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，同理證明 SKIPIF 1 < 0 ，通過計(jì)算得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)，即可完成求解．
【詳解】
解：（1）∵矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為： SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 下方時(shí)，如圖③，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方時(shí)，如圖④，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角坐標(biāo)系、矩形、軸對稱、勾股定理、全等三角形、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、直角坐標(biāo)系、軸對稱、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
8．李明酷愛數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思．在學(xué)習(xí)八年級下冊數(shù)學(xué)知識之后，他發(fā)現(xiàn)“二次根式、勾股定理、一次函數(shù)、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問題有關(guān)聯(lián)，并且為解決“飲馬位置”“最短路徑長”等問題，提供了具體的數(shù)學(xué)方法．于是他撰寫了一篇數(shù)學(xué)作文．請你認(rèn)真閱讀思考，幫助李明完成相關(guān)問題．
“將軍飲馬”問題的探究與拓展
八年級三班 李明
“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐·李頎《古從軍行》），這句詩讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問題：將軍從 SKIPIF 1 < 0 地出發(fā)到河邊 SKIPIF 1 < 0 飲馬，然后再到 SKIPIF 1 < 0 地軍營視察，怎樣走路徑最短？
【數(shù)學(xué)模型】如圖1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線 SKIPIF 1 < 0 上確定一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的值最?。?br>【問題解決】作點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 即為所求．此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值最小，且 SKIPIF 1 < 0 ．
【模型應(yīng)用】
問題1．如圖2，經(jīng)測量得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)到河邊 SKIPIF 1 < 0 的距離分別為 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米，且 SKIPIF 1 < 0 米．請計(jì)算出“將軍飲馬”問題中的最短路徑長．
問題2．如圖3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上，且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對角線 SKIPIF 1 < 0 上的一個(gè)動點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________．
問題3．如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）請?jiān)?SKIPIF 1 < 0 軸上確定一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的值最小，并求出 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（2）請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【模型遷移】
問題4．如圖5，菱形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的動點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】問題1．“將軍飲馬”問題中的最短路徑長為1500米；問題2． SKIPIF 1 < 0 ；問題3．（1）見解析，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；（2） SKIPIF 1 < 0 ；問題4．線段PE+PC的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
問題1．作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′②如圖2中，王小二從A處牽牛到河邊飲水然后回到家B的最短路程，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
問題2．由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時(shí)PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜邊，利用勾股定理即可得出結(jié)果；
問題3．（1）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于P點(diǎn)，利用對稱的性質(zhì)得到PA=PA′，則PA+PB=PA′+PB=BA′，于是利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件；先寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BA′的解析式，然后求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出BA′即可．
問題4．過A作AE⊥CD，交BD于P，連接CP，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理的知識解答即可．
【詳解】
解：問題1：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′，過點(diǎn)A′作A′M⊥BD并交BD線于點(diǎn)M，
∴AC=A′C=300米，
在Rt△A′BM中，A′M=CD=900米，BM=BD+DM=BD+ A′C=1200米，
A′B= SKIPIF 1 < 0 （米），
∴“將軍飲馬”問題中的最短路徑長為1500米；
問題2：如圖，連接BE，
設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最?。?br>即P在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE= SKIPIF 1 < 0 CD=3，
∴BE= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
問題3．（1）如圖，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為所求：
利用對稱的性質(zhì)得到PA=PA′，則PA+PB=PA′+PB=BA′，BA′的值最??；
A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-2，-4），
設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，
把A′（-2，-4），B（4，2）代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線BA′的解析式為y=x-2，
當(dāng)y=0時(shí)，x-2=0，解得x=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
（2）PA+PB的最小值= BA′= SKIPIF 1 < 0 ；
問題4．過A作AE⊥CD，交BD于P，連接CP，
此時(shí)線段PE+PC最小，且PE+PC=AE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB= SKIPIF 1 < 0 BD=8，OC= SKIPIF 1 < 0 AC=6，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 10，即
設(shè)CE=x，則DE=10-x，AB=CD=AD=BC=10，
根據(jù)勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即CE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴線段PE+PC的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對稱-最短問題，垂線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，要靈活運(yùn)用對稱性解決此類問題．找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．
9．如圖①，矩形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 分別在y軸與x軸上，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，動點(diǎn)D從點(diǎn)O開始沿射線OA以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動，動點(diǎn)E從點(diǎn)C始沿射線CO以每秒k個(gè)單位的速度運(yùn)動.點(diǎn)D，E同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒 SKIPIF 1 < 0 ．將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折疊，得到 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若k的值為4，則t為何值時(shí)四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形？
（2）k為何值時(shí)四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形？
（3）如圖②，在線段 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn)F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在一個(gè)k值，使得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形？若存在，求出k以及此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或12s；（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形；（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形．
【解析】
【分析】
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 在直線AB上，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)建方程即可解決問題；
（3）假設(shè)存在．根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理構(gòu)建方程組即可解決問題．
【詳解】
解：（1）如解圖①中，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或12s時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形．
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 在直線AB上，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，如解圖② ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OD=OE，
∵ SKIPIF 1 < 0 依題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形；
（3）假設(shè)存在．如解圖③中，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍棄），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形．
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．直線 SKIPIF 1 < 0 分別與射線 SKIPIF 1 < 0 、射線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)E、F．作四邊形 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線l的軸對稱圖形 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）當(dāng)直線l恰好平分矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積時(shí)，求直線l的解析式；
（2）當(dāng)線段 SKIPIF 1 < 0 與y軸有交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍；
（3）當(dāng)直線l從點(diǎn)C出發(fā)，向x軸正方向運(yùn)動，同時(shí)另一點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向x軸正方向運(yùn)動，直線l與點(diǎn)P的速度之比為3：1，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 中有一邊平行于矩形 SKIPIF 1 < 0 的某一邊時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)矩形性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)題意，得 SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，分別計(jì)算得OF、AE，再根據(jù)直線l恰好平分矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積，通過列方程并求解，即可得到答案；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)平行線性質(zhì)，推導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)一次函數(shù)和三角函數(shù)性質(zhì)，計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ；根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ；同理，計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ；通過一元一次不等式組計(jì)算，即可得到答案；
（3）分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三種情況分析；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，=過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G；結(jié)合（2）的結(jié)論，通過證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到三角形面積；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，通過列一元一次方程并求解，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，從而計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到三角形面積；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延長線于點(diǎn)G，同理，計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，從而完成求解．
【詳解】
解：（1） ∵矩形 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根據(jù)題意，直線 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是， SKIPIF 1 < 0
∵直線 SKIPIF 1 < 0 分別與射線 SKIPIF 1 < 0 、射線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)E、F
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∵直線l恰好平分矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交直線 SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn)G，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)H，直線 SKIPIF 1 < 0 交y軸于點(diǎn)R, 過點(diǎn)G作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)P
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線l的軸對稱，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線l對稱
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵直線 SKIPIF 1 < 0 交y軸于點(diǎn)R
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
連接 SKIPIF 1 < 0 ，交直線 SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn)Q，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)N，直線 SKIPIF 1 < 0 交y軸于點(diǎn)R, 過點(diǎn)Q作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M
同理，得 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，線段 SKIPIF 1 < 0 與y軸有交點(diǎn)
即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，如圖, 過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G
∵直線l與點(diǎn)P的速度之比為3：1
∴ SKIPIF 1 < 0
根據(jù)（2）的結(jié)論， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形
∴ SKIPIF 1 < 0
同理， SKIPIF 1 < 0 ，且四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延長線于點(diǎn)G，如下圖：
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
同理， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線l的軸對稱
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角坐標(biāo)系、矩形、軸對稱、一次函數(shù)、一元一次方程、三角形中位線、一元一次不等式組、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、矩形、軸對稱、一次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．
三、以旋轉(zhuǎn)為背景的問題
例題3在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在菱形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部時(shí)，判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上時(shí)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
(1)證明△ADG≌△CDE（SAS），即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，先證明∠ADB＝∠BDC＝ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，∠GDH＝∠ADB＝30°，求得GH，DH，AH的長，利用勾股定理求得AG，由（1）得到CE的長．
(1)解： SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ADC＝∠GDE，
∴∠ADC－∠ADE＝∠GDE－∠ADE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADG和△CDE中，
SKIPIF 1 < 0
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴AD SKIPIF 1 < 0 BC，BC＝DC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠CBD＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠GDH＝∠ADB＝30°，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．已知：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，把矩形 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且點(diǎn)E落在 SKIPIF 1 < 0 邊上，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)H．
(1)如圖1，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖2中所有數(shù)量關(guān)系為2倍的兩條線段．
【答案】(1)見解析；(2)BG=2BH，BG=2GH，DE=2CH，CH=2AE．
【解析】
【分析】
(1)過B作 SKIPIF 1 < 0 于M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CE= BC，求得∠CEB =∠CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CG，HM = CH，于是得到結(jié)論；
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH = GH，求得BG = 2BH，BG = 2GH，根據(jù)線段的和差得到DE = 2CH，根據(jù)已知條件得到△EFH是等腰直角三角形，求得EF= EH，設(shè)AE=x，CH=y，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
(1)證明：過B作 SKIPIF 1 < 0 于M，如圖，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 把矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解：滿足2倍關(guān)系的兩條線段有4對，
由(1)可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)AE=x，CH=y，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述，BG=2BH，BG=2GH，DE=2CH，CH=2AE．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過A、B向經(jīng)過點(diǎn)C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．
(1)探究問題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請你說明理由．
(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ SKIPIF 1 < 0 x與直線CD交于點(diǎn)M（2，1），且兩直線夾角為α，且tanα＝ SKIPIF 1 < 0 ，請你求出直線CD的解析式．
(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)E為BC邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時(shí)，請你探究并直接寫出BE的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)4或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作ON⊥OM交直線CD于點(diǎn)N，分別過M、N作ME⊥x軸NF⊥x軸，由（1）的結(jié)論可得： △NFO∽△OEM，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可求點(diǎn)N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．
(1)解：理由如下，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC∽△CEB；
(2)解：如圖，過點(diǎn)O作ON⊥OM交直線CD于點(diǎn)N，分別過M、N作ME⊥x軸，NF⊥x軸，
由（1）可得：△NFO∽△OEM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)M（2，1），
∴OE＝2，ME＝1，
∵tanα＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴NF＝3，OF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)N（ SKIPIF 1 < 0 ，3），
∵設(shè)直線CD表達(dá)式：y＝kx+b，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直線CD的解析式為：y＝- SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 ；
(3)解：當(dāng)∠CDP＝90°時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC延長線于點(diǎn)H，
∵∠ADC+∠CDP＝180°，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)P三點(diǎn)共線，
∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，
∴四邊形ABHP是矩形，
∴AB＝PH＝4，
∵將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴AE＝EP，∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴BE＝PH＝4，
當(dāng)∠CPD＝90°時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC延長線于點(diǎn)H，延長HP交AD的延長線于N，則四邊形CDNH是矩形，
∴CD＝NH＝4，DN＝CH，
設(shè)BE＝x，則EC＝5-x，
∵將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴AE＝EP，∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝4，
∴PN＝4-x，CH＝4-（5-x）＝x-1＝DN，
∵∠DPC＝90°，
∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，
∴△CPH∽△PDN，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴x＝ SKIPIF 1 < 0
∵點(diǎn)P在矩形ABCD外部，
∴x＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述：當(dāng)BE的長為4或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，△DPC為直角三角形．
【點(diǎn)睛】
本題是考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．
3．（1）問題提出：在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 為邊在 SKIPIF 1 < 0 右側(cè)作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，如圖 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 與線段 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為______．
（2）深入探究：將正方形 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的結(jié)論是否有變化？請說明理由；
（3）拓展延伸：若 SKIPIF 1 < 0 ，正方形 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一條直線上時(shí)，直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)無變化，理由見解析；(3)線段 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
SKIPIF 1 < 0 根據(jù) SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，得 SKIPIF 1 < 0 ，再由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
SKIPIF 1 < 0 連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，可證明 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 分當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上或點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線兩種情形，分別畫出圖形，利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得出 SKIPIF 1 < 0 的長，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 中結(jié)論即可得出答案．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 無變化，理由如下：
如圖 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系無變化；
SKIPIF 1 < 0 線段 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線時(shí)，如圖，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng)正方形 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義等知識，運(yùn)用探究的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵．
4．問題提出
（1）如圖1，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得 SKIPIF 1 < 0 ．
①求線段 SKIPIF 1 < 0 的長；
②求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離．
問題解決
（2）如圖2，為積極響應(yīng)北京冬奧會“三億人上冰雪”，讓冰雪運(yùn)動走向大眾，某地利用山谷坡地準(zhǔn)備建造一處滑雪場地 SKIPIF 1 < 0 ，按設(shè)計(jì)要求，在 SKIPIF 1 < 0 上選一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，修建格擋 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為工作區(qū)， SKIPIF 1 < 0 為熱身試滑區(qū)域．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．請問是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的熱身試滑區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值及此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的長；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）① SKIPIF 1 < 0 ；②12；（2）當(dāng)AE=20m時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積的最大，最大值為200m2．
【解析】
【分析】
（1）①過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則∠BFD=90°，可得四邊形ABFD是矩形，從而得到DF=AB=7，BF=AD=2，再由勾股定理，即可求解；②過點(diǎn)E作EG⊥BC交BC延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥EG于點(diǎn)H，可得四邊形DFGH是矩形，從而得到△CDF≌△EDH，進(jìn)而得到DH=DF=7，EH=CF=5，即可求解；
（2）過點(diǎn)B作BQ⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作DP⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)P，設(shè)AE=x，則EC= 31-x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到EQ= 31-x+9=（40-x）cm，再證明△BEQ≌△EDP，可得EQ=DP=（40-x）cm，可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】
解：①如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則∠BFD=90°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A=90°，
∴∠A=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB=7，BF=AD=2，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC交BC延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥EG于點(diǎn)H，
根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=ED，
∵∠FGH=∠DHG=∠DFG=∠DHE=90°，
∴四邊形DFGH是矩形，
∴∠FDH=90°，HG=DF=7，
∴∠CDF=∠EDH，
∴△CDF≌△EDH，
∴DH=DF=7，EH=CF=5，
∴EG=EH+HG=12，
即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為12；
（2）如圖，過點(diǎn)B作BQ⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作DP⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)P，
設(shè)AE=x，則EC=AC-AE=31-x，
∵∠ACB=120°，
∴∠BCQ=180°-∠ACB= 180°-120°=60°，
∵BQ⊥AQ，
∴∠BQC=90°，
∴∠CBQ=30°，
∵BC=18cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EQ=EC+CQ=31-x+9=（40-x）cm，
∵∠BED=90°，
∴∠BEC+∠DEC=90°，
∵∠BEC+∠EBQ=90°，
∴∠DEC=∠EBQ，
∵∠BQE=∠EPD=90°，BE=DE，
∴△BEQ≌△EDP（AAS），
∴EQ=DP=（40-x）cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)x=20時(shí)，S△ADE最大，最大值為200，
即當(dāng)AE=20m時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積的最大，最大值為200m2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．已知正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，如圖1，連接EF分別交AC、AB于點(diǎn)P、G．
(1)請判斷△AEF的形狀；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)時(shí)，PE=1，求AG的長．
【答案】(1)△AEF是等腰直角三角形；(2)見解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，AF=AE， SKIPIF 1 < 0 ，再證得∠FAE=90°，即可判斷△AEF的形狀；
（2）利用正方形的性質(zhì)只要證明△APG∽△FPA即可證得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè)正方形的邊長為2a，根據(jù)點(diǎn)E時(shí)邊CD的中點(diǎn)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再證得△AGP∽△EGA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)論．
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AF=AE， SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠FAE=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形。
(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∠CAB=45°，即∠PAG=45°
由（1）可得∠AFE=45°，
∴∠PAG=∠AFP=45°，
又∵∠APG=∠FPA，
∴△APG∽△FPA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(3)解：設(shè)正方形的邊長為2a．
∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，
∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=180°，
∴F，B，C共線，
∵DE=EC=BF=a，BC=2a，
∴CF=3a， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA，
∴△AGP∽△EGA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握已經(jīng)學(xué)過的知識是解題的關(guān)鍵．
6．（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 為一邊作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰好與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，則線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為______；
（2）拓展探究：
在（1）的條件下，如果正方形 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖 SKIPIF 1 < 0 的情形給出證明；
（3）問題解決：
當(dāng)正方形 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)候，直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）無變化，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）在正方形CDEF中，根據(jù)勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）在Rt△ABC中，利用銳角三角形函數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到△ACF∽△BCE，即可求解；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時(shí)，即可求解．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
∵四邊形CDEF是正方形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰好與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，
∴AF=CF，∠F=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）無變化，理由如下：
在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在正方形CDEF中， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△CEF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)，如圖，
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BCF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由（2）得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時(shí)，如圖，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△CEF中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACF∽△BCE，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BCF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由（2）得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng)正方形 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)候，線段 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊CD，BC上，且DE=CF，點(diǎn)P在射線BC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)F重合).將線段EP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?得到線段EG，過點(diǎn)E作GD的垂線QH，垂足為點(diǎn)H，交射線BC于點(diǎn)Q．
(1)如圖①，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BF上，則線段BP，QC，EC的數(shù)量關(guān)系為_______；
(2)如圖②，若點(diǎn)E不是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BF上，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
(3)若正方形ABCD的邊長為6，AB=3DE，CQ=1，請直接寫出線段BP的長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
(2)結(jié)論仍然成立，理由見解析
(3)線段 SKIPIF 1 < 0 的長為3或5
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出結(jié)論；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，由（2）可知： SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案；
②當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，由全等三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ；即可得出答案．
(1)解： SKIPIF 1 < 0 ；理由如下：
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解：結(jié)論仍然成立，理由如下：
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，
由（2）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，如圖3所示：
同（2）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
綜上所述，線段 SKIPIF 1 < 0 的長為3或5．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．
8．如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作頂角為 SKIPIF 1 < 0 的等腰 SKIPIF 1 < 0 ，且B、E、F在同一條直線上，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如圖2，點(diǎn)N是邊 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，點(diǎn)M是菱形外一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
②如圖3，把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)見解析
(2)①30°，②見解析
【解析】
【分析】
（1）由SAS證明△BCE≌△DCF即可；
（2）①以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作∠ECF=120°交BF于E，證△BCN≌△DCM（SAS），得∠CBE=∠CDF，再證△BCE≌△DCF（ASA），得CE=CF，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；
②以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作∠ECF=120°交BF于E，同①得△BCE≌△DCF（ASA），則BE=DF，CE=CF，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CFP=120°，CF=PF，然后證四邊形CEFP是平行四邊形，得EF=CP，即可得出結(jié)論．
(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠A=120°，
∴BC=DC，∠BCD=∠A=120°，
∵△CEF是頂角為120°的等腰三角形，CE=CF，
∴∠ECF=120°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD-∠DCE=∠ECF-∠DCE，
即∠BCE=∠DCF，
在△BCE和△DCF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
(2)①解：以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作∠ECF=120°交BF于E，
在△BCN和△DCM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BCN≌△DCM（SAS），
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠BCD=∠ECF=120°，
∴∠BCD-∠DCE=∠ECF-∠DCE，
即∠BCE=∠DCF，
在△BCE和△DCF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF，
∴∠CFB=∠CEF= SKIPIF 1 < 0 ×（180°-120°）=30°；
②證明：以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作∠ECF=120°交BF于E，
同①得：△BCE≌△DCF（ASA），
∴BE=DF，CE=CF，
∵把FC繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到FP，
∴∠CFP=120°，CF=PF，
∴∠ECF=CFP，CE=FP，
∴CE SKIPIF 1 < 0 FP，
∴四邊形CEFP是平行四邊形，
∴EF=CP，
∴BF=EF+BE=CP+DF．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定等知識，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．
9．如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連AF 取AF的中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．
(1)請判斷MD與MN之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；
(2)將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到圖2，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．
(3)連接DN，若AB＝3，CE＝2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，請直接寫出△DMN面積的最大值和最小值．
【答案】(1)MD=MN
(2)成立，見解析
(3)最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，最小值為 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， 由 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中線可得 SKIPIF 1 < 0 ，故證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明過程同（1）；
（3）由（2）可知 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中即可得到．
(1) SKIPIF 1 < 0 ，
證明：如圖1，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：結(jié)論仍然成立．
理由：如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(3)解：如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由題可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，中位線定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，正確的理解題目條件，并且靈活應(yīng)用性質(zhì)以及定理是解決問題的關(guān)鍵．
10．【自主探究】
在課堂上，老師指導(dǎo)大家做以下實(shí)踐活動：大小相同的兩個(gè)矩形ABCD，AEFG重合在一起，將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)G落在線段BC上，連接DE交AG于點(diǎn)H，如圖（1）．
在猜想線段HD與HE的數(shù)量關(guān)系時(shí)，大家一致認(rèn)為HD＝HE，并且有兩個(gè)小組給出如下的證明思路．
劉聰組：已知線段HE是直角三角形EAH的斜邊，故可構(gòu)造一個(gè)以HD為斜邊的直角三角形，通過證明這兩個(gè)三角形全等，即可得到HD＝HE；
王慧組：要想證明HD＝HE，可構(gòu)造一個(gè)三角形，使得點(diǎn)H，A在此三角形的兩條邊上，再利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明．
(1)【操作思考】請你分別在圖（1）、圖（2）中作出符合“劉聰組”和“王慧組”思路的輔助線，并將輔助線的作法寫在下面的橫線上．
劉聰組：______
王慧組：______
(2)請你根據(jù)（1）中所作輔助線進(jìn)行判斷，下面說法正確的是（ ）
A．“劉聰組”的思路正確，“王慧組”的思路不正確
B．“王慧組”的思路正確，“劉聰組”的思路不正確
C．“劉聰組”和“王慧組”的思路都正確
D．“劉聰組”和“王慧組”的思路都不正確
(3)【變式證明】
將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)G落在線段CB的延長線上，連接DE交GA的延長線于點(diǎn)H，如圖（3），則HD＝HE成立嗎？說明理由．
(4)【拓展延伸】將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)F落在CB的延長線上，連接DE交FA的延長線于點(diǎn)H，且點(diǎn)C，A，E在同一直線上，如圖（4），則HD＝HE是否成立？如果成立，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不成立，請說明理由．
【答案】(1)過點(diǎn)D作DM⊥AG于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AE交EA的延長線于點(diǎn)N(或過點(diǎn)D作DN//HA交EA的延長線于點(diǎn)N；
(2)C；
(3)HD= HE成立，理由見解析；
(4)HD＝HE成立，此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）由劉聰組“構(gòu)造一個(gè)以HD為斜邊的直角三角形，通過證明這兩個(gè)三角形全等，得到HD＝HE；”，因此過點(diǎn)D作DM⊥AG于點(diǎn)M，由王慧組“構(gòu)造一個(gè)三角形，使得點(diǎn)H，A在此三角形的兩條邊上，再利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明．”，因此過點(diǎn)D作DN⊥AE交EA的延長線于點(diǎn)N；
（2）圖1中，證明△DMH≌△EAH，即可判斷HD= HE，圖2中，先證明AB =AN，
進(jìn)而得出AN= AE，再利用AH//ND得到HD= HE；
（3）如圖（3），過點(diǎn)D作DM⊥AG，交GA的延長線于點(diǎn)M，證明△DMH≌△EAH，即可判斷HD= HE，
（4）連接AC，BD交于點(diǎn)O，則AC = BD，OA=OB=OC，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到AF=AC，∠CAB=∠FAE，然后證明△OAB是等邊三角形，進(jìn)而得出 SKIPIF 1 < 0 ；
(1)解：如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥AG于點(diǎn)M，
如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥AE交EA的延長線于點(diǎn)N(或過點(diǎn)D作DN//HA交EA的延長線于點(diǎn)N；
(2)解：如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥AG，交GA于點(diǎn)M．
SKIPIF 1 < 0 CB//DA，
SKIPIF 1 < 0 ∠BGA=∠DAM，
SKIPIF 1 < 0 sin∠BGA =sin∠DAM，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 AG=AD，
SKIPIF 1 < 0 AB = DM，
SKIPIF 1 < 0 AE=DM．
又 SKIPIF 1 < 0 ∠M=∠EAH=90°，∠DHM=∠EHA，
SKIPIF 1 < 0 △DMH≌△EAH，
SKIPIF 1 < 0 HD= HE；
如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥AE交EA的延長線于點(diǎn)N(或過點(diǎn)D作DN//HA交EA的延長線于點(diǎn)N)．
SKIPIF 1 < 0 GA⊥EA，DN⊥EA，
SKIPIF 1 < 0 DN// HA，
SKIPIF 1 < 0 ∠NDA=∠DAH．
SKIPIF 1 < 0 CG//DA，
SKIPIF 1 < 0 ∠BGA=∠DAH，
SKIPIF 1 < 0 ∠BGA=∠NDA，
SKIPIF 1 < 0 sin∠BGA =sin∠NDA，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AG=AD，
SKIPIF 1 < 0 AB =AN，
SKIPIF 1 < 0 AB=AE，
SKIPIF 1 < 0 AN= AE，
又 SKIPIF 1 < 0 AH//ND，
SKIPIF 1 < 0 HD= HE．
故選C．
(3)解：HD= HE成立，理由如下：
如圖（3），過點(diǎn)D作DM⊥AG，交GA的延長線于點(diǎn)M．
SKIPIF 1 < 0 CB//DA，
SKIPIF 1 < 0 ∠BGA=∠DAM，
SKIPIF 1 < 0 sin∠BGA =sin∠DAM，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 AG=AD，
SKIPIF 1 < 0 AB = DM，
SKIPIF 1 < 0 AE=DM．
又 SKIPIF 1 < 0 ∠M=∠EAH=90°，∠DHM=∠EHA，
SKIPIF 1 < 0 △DMH≌△EAH，
SKIPIF 1 < 0 HD= HE；
(4)解：HD=HE成立， SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：
如圖5，連接AC，BD交于點(diǎn)O，則AC = BD，OA=OB=OC．
SKIPIF 1 < 0 將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)F落在CB的延長線上，連接DE交FA的延長線于點(diǎn)H，且點(diǎn)C，A，E在同一直線上，
SKIPIF 1 < 0 AF=AC，∠CAB=∠FAE．
又 SKIPIF 1 < 0 AB⊥CF，
SKIPIF 1 < 0 CB=BF，∠FAB=∠CAB=∠FAE，
SKIPIF 1 < 0 ∠CAB =60°．
又 SKIPIF 1 < 0 OA =OB，
SKIPIF 1 < 0 △OAB是等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 OA=AB=AE．
SKIPIF 1 < 0 CB=BF，OC=OA，
SKIPIF 1 < 0 OB//AF，即OD//AH，
SKIPIF 1 < 0 HD=HE．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以及直角三角函數(shù)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．實(shí)踐與探究
情境：在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)F在AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)F作EF⊥AC，交CD于點(diǎn)E，連接AE，AF．
(1)問題發(fā)現(xiàn)
圖（1）中，線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系是______；
直線AE與直線BF的夾角的度數(shù)是______．
(2)問題拓展
當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，說明理由．
(3)問題延伸
在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離為2時(shí)，直接寫出AE的長．
【答案】(1)AE SKIPIF 1 < 0 BF，45°．(2)結(jié)論不變，理由見詳解(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）如圖①中，延長BF交AE的延長線于點(diǎn)T．證明△ACE∽△BCF，推出 SKIPIF 1 < 0 ，∠CAE＝∠CBF，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論不變，證明方法類似（1）．
（3）分四種情形：如圖③﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，如圖③﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離為2時(shí)，利用勾股定理求出BF即可，當(dāng)點(diǎn)F在直線BC的下方時(shí)，同法可得AE的長．
(1)如圖①中，延長BF交AE的延長線于點(diǎn)T．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC SKIPIF 1 < 0 BC，∠ACB＝∠ACE＝45°，
∵EF⊥CF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠FCE＝45°，
∴EC SKIPIF 1 < 0 CF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACE∽△BCF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠CAE＝∠CBF，
∴AE SKIPIF 1 < 0 BF，
∵∠CFB＝∠AFT，
∴∠ATF＝∠BCF＝45°，
∴直線AE與直線BF的夾角為45°，
故答案為：AE SKIPIF 1 < 0 BF，45°．
(2)結(jié)論不變．
理由：如圖②中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O，延長BF交AE于點(diǎn)J．
∵△ABC，△CFE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，AC SKIPIF 1 < 0 BC，EC SKIPIF 1 < 0 CF，
∴∠BCF＝∠ACE， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACE∽△BCF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠CAE＝∠CBF，
∴AE SKIPIF 1 < 0 BF，
∵∠BOC＝∠AOJ，
∴∠AJO＝∠ACB＝45°，
∴直線AE與直線BF的夾角為45°．
(3)如圖③﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H．
∵△CFH是等腰直角三角形，CF＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴FH＝CH＝2，
此時(shí)點(diǎn)F到BC的距離為2，滿足條件，
∴BH＝BC-CH＝5﹣2＝3，
∴BF SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE SKIPIF 1 < 0 BF SKIPIF 1 < 0 ．
如圖③﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離為2時(shí)，
BF SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE SKIPIF 1 < 0 BF SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)點(diǎn)F在直線BC的下方時(shí)，同法可得AE的長為 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述，滿足條件的AE的值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

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