1．如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，動點 SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 的長為 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 中，利用三角形相似可求得 SKIPIF 1 < 0 的長，設(shè)A點關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點A′，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的值最小，進而求得 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，設(shè)A點關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴當 SKIPIF 1 < 0 三點在一條線上，且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小，
∴由三角形的面積公式知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查軸對稱的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出 SKIPIF 1 < 0 的最小值的位置是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作 SKIPIF 1 < 0 且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過點D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于M，過點A作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接NE，當N、E、C三點共線時， SKIPIF 1 < 0 ，分別求出CN、AN的長度即可．
【詳解】
過點D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于M，過點A作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接NE，
SKIPIF 1 < 0 四邊形ANEF是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當N、E、C三點共線時， SKIPIF 1 < 0 最小，
SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形EFMD是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的動點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 的值最小時， SKIPIF 1 < 0 的長為 ．
【答案】3
【分析】過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點于點 SKIPIF 1 < 0 ．證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 的值最小時， SKIPIF 1 < 0 的值最小，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點于點 SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的值最小時， SKIPIF 1 < 0 的值最小，
以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為鄰邊作平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一直線上時， SKIPIF 1 < 0 為最短，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
即： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了軸對稱路線最短問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
4．如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，G為 SKIPIF 1 < 0 邊上一動點，作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點H，當 SKIPIF 1 < 0 取得最小值時， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】作點O關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、F在同一直線上，且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小，作點O關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為F，交 SKIPIF 1 < 0 于點G， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)和平行線的判定和性質(zhì)，求出 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】解：作點O關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、F在同一直線上，且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小，
作點O關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為F，交 SKIPIF 1 < 0 于點G， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點M，如圖所示：
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵點O關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出點G的位置．
5．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖， SKIPIF 1 < 0 的下方作 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】解：如圖， SKIPIF 1 < 0 的下方作 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
6．如圖，四邊形ABCD為矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點E是AD所在直線的一個動點，點F是對角線BD上的動點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】延長 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 的長，勾股定理求解即可．
【詳解】如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
7．在平面直角坐標系中， SKIPIF 1 < 0 ，過點B作直線BC∥x軸，點P是直線BC上的一個動點以AP為邊在AP右側(cè)作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié)AB、BQ，則 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先證明△AOB∽△APQ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由△OAP～△BAQ，得到BQ=2OP，進而得到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．作O關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點O’，連接 SKIPIF 1 < 0 ，PO'，則OP=O'P，AO'= SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)兩邊之和大于第三邊即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到答案．
【詳解】如圖所示．連接OP．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∠OAB=∠PAQ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
∵OA=1．OB= SKIPIF 1 < 0 ，∴AB= SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又P為直線 SKIPIF 1 < 0 上的動點．
∴作O關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點O’，
SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，PO'．
∴OP=O'P，AO'= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AP+OP=AP+PO' SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是把△ABQ周長的最小值轉(zhuǎn)化為求AP+OP的最小值．
8．如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，動點 SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 ．
【答案】 3 SKIPIF 1 < 0
【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當A′Q⊥AD時AP＋PQ最小，從而可求得AP＋PQ的最小值等于DE的長．
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，設(shè) SKIPIF 1 < 0 點關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴當 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點在一條線上時， SKIPIF 1 < 0 最小，
由垂線段最短可知當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案是：3； SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查軸對稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP＋PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復(fù)雜的計算．
9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延長線于點 SKIPIF 1 < 0 ，通過證明 SKIPIF 1 < 0 ，確定 SKIPIF 1 < 0 點在 SKIPIF 1 < 0 的射線上運動；作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形全等得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而確定 SKIPIF 1 < 0 點在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上；當 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時， SKIPIF 1 < 0 最小，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】解：連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延長線于點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點在 SKIPIF 1 < 0 的射線上運動，
作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，
當 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時， SKIPIF 1 < 0 最小，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對稱求最短路徑．能夠?qū)⒕€段的和通過軸對稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為BC上的一點且BE＝2 SKIPIF 1 < 0 ，P為AD上的一動點，過點P作PQ⊥PE，且∠PEQ＝60°，則AQ+EQ的最小值為 ．
【答案】2 SKIPIF 1 < 0
【分析】過點E作EF⊥AD于F，作∠FEM=60°交AD的延長線于M，連接EM，EQ，QM，證明∠FMQ=60°，推出點Q在過點M且垂直于EM的直線上運動，作點A關(guān)于直線QM的對稱點N，連接EN，MN，過點E作EG⊥NM交NM的延長線于點G，此時AQ+EQ=NE的值最?。?br>【詳解】解：如圖：過點E作EF⊥AD于F，作∠FEM=60°交AD的延長線于M，連接EM，EQ，QM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，∠B=∠A=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴AB=EF=4，BE=AF=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠FEM=60°，∠EFD=90°，
∴∠EMF=30°，
∴EM=8，
∴FM= SKIPIF 1 < 0 ，EM=2EF，
∵∠PEQ＝60°，PQ⊥PE，
∴∠PQE=30°，
∴EQ=2PE，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠PEQ＝∠FEM=60°，
∴∠PEF=∠QEM，
∴△PEF∽△QEM，
∴∠PFE=∠QME=90°，
∵∠EMF=30°，
∴∠FMQ=60°，
∴點Q在過點M且垂直于EM的直線上運動，
作點A關(guān)于直線QM的對稱點N，連接EN，MN，過點E作EG⊥NM交NM的延長線于點G，
∵AM=MN=AF+FM=6 SKIPIF 1 < 0 ,∠AMQ=∠NMQ=60°,
∴∠AMN=120°
∴∠AMG=180°-120°=60°,
∵∠EMF=30°，∴∠EMG=30°，
∴EG= SKIPIF 1 < 0 EM=4，MG= SKIPIF 1 < 0 ，
∵AM=MN，
∴NG=MG+MN=MG+AM=10 SKIPIF 1 < 0 ，
在RtΔEGN中，
EN= SKIPIF 1 < 0 ．
∵AQ+EQ=NQ+EQ≥EN，
∴當且僅當E、Q、N三點共線時，AQ+EQ的最小值為2 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：2 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)及最值問題，掌握它們的性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．
11．如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的動點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值為 ．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意，將點 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 向右平移2個單位長度得到點 SKIPIF 1 < 0 ，作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此時四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，則當點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長最小，進而計算即可得解．
【詳解】如下圖，將點 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 向右平移2個單位長度得到點 SKIPIF 1 < 0 ，作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此時四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，
當點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長最小，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．

【點睛】本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關(guān)鍵．
12．如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交對角線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上一動點，作 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一動點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】延長DE，交AB于點H，確定點B關(guān)于直線DE的對稱點F，由點B，D關(guān)于直線AC對稱可知QD=QB，求 SKIPIF 1 < 0 最大，即求 SKIPIF 1 < 0 最大，點Q，B， SKIPIF 1 < 0 共線時， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得 SKIPIF 1 < 0 最大，當點 SKIPIF 1 < 0 與點F重合時，得到最大值.連接BD，即可求出CO，EO，再說明 SKIPIF 1 < 0 ，可得DO，根據(jù)勾股定理求出DE，然后證明 SKIPIF 1 < 0 ，可求BH，即可得出答案．
【詳解】延長DE，交AB于點H，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，ED⊥CD，
∴DH⊥AB．
取FH=BH，
∴點P的對稱點在EF上．
由點B，D關(guān)于直線AC對稱，
∴QD=QB．
要求 SKIPIF 1 < 0 最大，即求 SKIPIF 1 < 0 最大，點Q，B， SKIPIF 1 < 0 共線時， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得 SKIPIF 1 < 0 最大，當點 SKIPIF 1 < 0 與點F重合時，得到最大值BF．
連接BD，與AC交于點O．
∵AE=14,CE=18，
∴AC=32，
∴CO=16，EO=2．
∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，
∴∠DEO=∠CDO．
∵∠EOD=∠DOC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△DEO中， SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】這是一道根據(jù)軸對稱求線段差最大的問題，考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等，確定最大值是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在邊長為 SKIPIF 1 < 0 的菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿射線 SKIPIF 1 < 0 的方向平移得到 SKIPIF 1 < 0 ，分別連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過C點作BD的平行線 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為對稱軸作B點的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 三點共線時 SKIPIF 1 < 0 取最小值，再根據(jù)勾股定理即可求解.
【詳解】如圖，過C點作BD的平行線 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為對稱軸作B點的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0
根據(jù)平移和對稱可知 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 三點共線時 SKIPIF 1 < 0 取最小值，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)勾股定理得， SKIPIF 1 < 0 ，故答案為 SKIPIF 1 < 0
【點睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平移的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.
14．如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ，在直線 SKIPIF 1 < 0 上方作等邊 SKIPIF 1 < 0 ，點B，C在直線 SKIPIF 1 < 0 上，延長 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點D，在 SKIPIF 1 < 0 上方作等邊 SKIPIF 1 < 0 ，點F在直線 SKIPIF 1 < 0 上且在點D右邊．動點M，N分別在直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 三點共線，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，推出 SKIPIF 1 < 0 再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 可得結(jié)論
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
如圖，將 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 三點共線，
過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是等腰梯形，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值為： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了軸對稱最短問題,等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想解決問題．
15．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．D，E分別是邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的動點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即最小值為 SKIPIF 1 < 0 的長．
【詳解】方法一：過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當 SKIPIF 1 < 0 三點共線時 SKIPIF 1 < 0 有最小值，最小值為 SKIPIF 1 < 0 的長
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
方法二： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 可以看成點 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距離之和，
∴當 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時 SKIPIF 1 < 0 最小，最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是準確的構(gòu)造輔助線解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
16．如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B為圓心作圓B與AC相切，點P是圓B上任一動點，連接PA、PC，則 SKIPIF 1 < 0 PA+PC的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，PB，AD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，接著證明△BPD∽△BCP得到PD＝ SKIPIF 1 < 0 PC，所以PA+ SKIPIF 1 < 0 PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA+ SKIPIF 1 < 0 PC的最小值，乘以 SKIPIF 1 < 0 可得結(jié)論．
【詳解】解：過B作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，PB，AD，
∵AC為切線，
∴BH為⊙B的半徑，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC＝ SKIPIF 1 < 0 BA＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BH＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BP＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PD＝ SKIPIF 1 < 0 PC，
∴PA+ SKIPIF 1 < 0 PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時且P在AD之間時取等號），
而AD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PA+PD的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
即PA+ SKIPIF 1 < 0 PC的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 PA+PC的最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段之間的關(guān)系．同時也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．
17．在 SKIPIF 1 < 0 中，斜邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，證明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關(guān)于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT= SKIPIF 1 < 0 ，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴CT=AT=TB，
∴△BCT是等邊三角形，
∴∠TBC=∠DBE=60°，
∴∠DBT=∠EBC，
在△DBT和△EBC中， SKIPIF 1 < 0
∴△DBT≌△EBC（SAS），
∴DT=CE，
欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，
作點B關(guān)于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，
∵AC⊥BL，CL=CB，
∴AL=AB，
∵∠ABL=60°，
∴△ABL是等邊三角形，
∵AT=TB=1，
∴LT⊥AB，
∴LT= SKIPIF 1 < 0 BT= SKIPIF 1 < 0 ，
∵DT+DB=DT+DL≥LT= SKIPIF 1 < 0 ，
∴DT+DB的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BE+EC的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點，連接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖所示，作點C關(guān)于直線BE的對稱點I，連接IE，然后推出當I、E、F三點共線，且IF⊥BC時，EF+IE最小，此時點F與點J重合；連接BI，過點C作CH⊥AB于H，先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后證明△ABC∽△DCE，得到∠ACB=∠DCE， SKIPIF 1 < 0 從而可證△ACD∽△BCE，推出∠CIJ=∠CBE=∠A，設(shè)IJ=x，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，作點C關(guān)于直線BE的對稱點I，連接IE，
∴IE=CE，
∴CE+EF=IE+EF，
要使CE+EF最小，則EF+IE最小，
∴當I、E、F三點共線，且IF⊥BC時，EF+IE最小，此時點F與點J重合，
連接BI，過點C作CH⊥AB于H，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB=AC=5，
∴BH=1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由軸對稱的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵AC=AB，DC=DE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵∠CDE=∠A，
∴△ABC∽△DCE，
∴∠ACB=∠DCE， SKIPIF 1 < 0
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CBE=∠A，
∵∠BCI+∠CBE=90°，∠CIJ+∠BCI=90°，
∴∠CIJ=∠CBE=∠A，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)IJ=x，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，已知正切值求邊長，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線．
19．如圖，平行四邊形ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點E、F為對角線BD上的動點， SKIPIF 1 < 0 ，連接AE、CF，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，在直線DB的上方作 SKIPIF 1 < 0 ，且使得 SKIPIF 1 < 0 ．過點T作 SKIPIF 1 < 0 交AD的延長線于H．首先利用相似三角形的性質(zhì)證明 SKIPIF 1 < 0 ，解直角三角形求出AT，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，在直線DB的上方作 SKIPIF 1 < 0 ，且使得 SKIPIF 1 < 0 ．
過點T作 SKIPIF 1 < 0 交AD的延長線于H，連接ET、AT．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題屬四邊形綜合題目，考查平行四邊形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角 三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分別以A，B為旋轉(zhuǎn)中心，把邊AC，BA逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，BD，連接BE，CD相交于點P，已知AB=3，AC=2 SKIPIF 1 < 0 ，∠APB=120°，則PA+PB+PC的大小為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】連接AD=CE，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABD和△ACE是等邊三角形，可推出∠DAC=∠EAB，利用SAS證明△ADC≌△ABE，利用全等三角形的性質(zhì)可證得∠AEB=∠ACD，可得到∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，可推出△APF是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得到∠PAF=60°；再證明∠EAF=∠PAC，可推出△AFE≌△APC，由此可證得AP+BP+CP=BE；過點E作EG⊥BA，交BA的延長線于點G，利用勾股定理求出GE，AG的長，從而可求出BG的長，然后利用勾股定理求出BE的長，進而即可求解．
【詳解】連接AD，CE，
∵分別以A，B為旋轉(zhuǎn)中心，把邊AC，BA逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，BD，
∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，
∴△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴∠DAC=∠EAB=90°+60°=150°，
在△ADC和△ABE中
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠APB=120°，
∴∠APF=60°，
在PE上截取PF=PA，
∴△APF是等邊三角形，
∴∠PAF=60°，
∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠PAC，
∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，
∴△AFE≌△APC，
∴PC=FE
∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE
過點E作EG⊥BA，交BA的延長線于點G，
∵∠GAE=180°-150°=30°，
∵AE=AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴GE= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BG=AB+AG=3+3=6，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AP+BP+CP= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在平面直角坐標系中，點Q是一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上一動點，將Q繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 到點P，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】取D(2，-2)，連接CD、DQ，作C′點與點C關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱，連接QC′，則由題意可得△OCP≌△DCQ，CP=CQ=C′Q，所以當且僅當C′、Q、D共線時
PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q=DC′為最?。?br>【詳解】解：如圖，取D(2，-2)，則CD⊥x軸，即CD⊥OC且CD=OC=2，
連結(jié)DQ，依題CQ順時針旋轉(zhuǎn)90得到CP，
∴∠QCP=90°且CQ=CP，
在△OCP和△DCQ中， SKIPIF 1 < 0
∴△OCP≌△DCQ(SAS)，
∴OP=DQ，
作C′點與點C關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱，則有CQ=C′Q，
∴CP=CQ=C′Q，
故PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q≥DC′，
當且僅當C′、Q、D共線時取等，
由題意可以得到A、B坐標分別為（0，4）、（8，0）
設(shè)C′坐標為（x，y），則由AC′=AC，BC′=BC可得：
SKIPIF 1 < 0
解之可得C′為（2，0）（與C同，舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DC′= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，方程組思想，一元二次方程的解法，構(gòu)造全等三角形與軸對稱把PO+PC轉(zhuǎn)化成DQ+C′Q是解題關(guān)鍵．
22．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．作 SKIPIF 1 < 0 垂直AB的反向延長線于點E．過點A作 SKIPIF 1 < 0 于點F．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易求出 SKIPIF 1 < 0 ，即利用含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ，即說明當點D在線段 SKIPIF 1 < 0 上時， SKIPIF 1 < 0 最小，且最小值為 SKIPIF 1 < 0 的長．由旋轉(zhuǎn)又易求出 SKIPIF 1 < 0 ，再次利用含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)可求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的長，即求出 SKIPIF 1 < 0 的長．最后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理即可求出 SKIPIF 1 < 0 的長．
【詳解】如圖，將 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．作 SKIPIF 1 < 0 垂直AB的反向延長線于點E．過點A作 SKIPIF 1 < 0 于點F．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當點D在線段 SKIPIF 1 < 0 上時， SKIPIF 1 < 0 最小，且最小值為 SKIPIF 1 < 0 的長．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短以及勾股定理等知識，較難．能夠想到利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出復(fù)雜的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
23．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 邊上的一個動點（不與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】以A為頂點， SKIPIF 1 < 0 為一邊，在 SKIPIF 1 < 0 下方作 SKIPIF 1 < 0 ，過B作 SKIPIF 1 < 0 于D，交 SKIPIF 1 < 0 于P，由 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形的 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 取最小值即是 SKIPIF 1 < 0 取最小值，此時B、P、D共線，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值即是 SKIPIF 1 < 0 的長，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案．
【詳解】解：以A為頂點， SKIPIF 1 < 0 為一邊，在 SKIPIF 1 < 0 下方作 SKIPIF 1 < 0 ，過B作 SKIPIF 1 < 0 于D，交 SKIPIF 1 < 0 于P，如圖：
由作圖可知： SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 取最小值即是 SKIPIF 1 < 0 取最小值，此時B、P、D共線，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值即是 SKIPIF 1 < 0 的長，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查三角形中的最小路徑，解題的關(guān)鍵是作輔助線，把 SKIPIF 1 < 0 的最小值轉(zhuǎn)化為求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
24．已知 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為射線 SKIPIF 1 < 0 上一點，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，且 SKIPIF 1 < 0 .當點 SKIPIF 1 < 0 在射線 SKIPIF 1 < 0 上運動時 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 和的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作點D關(guān)于OA的對稱點D′，連接CD′交OA于點P′，連接DP,，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值，根據(jù)已知條件計算求出結(jié)果即可．
【詳解】解：作點D關(guān)于OA的對稱點D′，連接CD′交OA于點P′，連接DP′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值.
設(shè)DD′與OA交于點E，
∵∠O=30°，OD=3，由對稱性可知∠DEO=90°,
∴∠ODE=60°，DE= SKIPIF 1 < 0 OD= SKIPIF 1 < 0 ,
∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，
∴∠D′=∠DCD′= SKIPIF 1 < 0 ∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，
∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，
∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′= SKIPIF 1 < 0
∴CP′=2DP′=2 SKIPIF 1 < 0
∴DP′+CP′=3 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 和的最小值為3 SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，兩點之間線段最短的性質(zhì)．得出動點所在的位置是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在邊長為6的等邊 SKIPIF 1 < 0 ABC中，點D在邊AC上，AD=1，線段PQ在邊AB上運動，PQ=1，則四邊形PCDQ面積的最大值為 ；四邊形PCDQ周長的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 6+ SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè)AQ=x，則四邊形PCDQ的面積=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BC SKIPIF 1 < 0 ，當x取最大值5時，可得求得四邊形PCDQ的面積最大值；作點D關(guān)于AB的對稱點D'，連接D'Q，以D'Q、PQ為邊作平行四邊形PQD'M，過C作CH⊥AB，交D'M的延長線于N，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，即可發(fā)現(xiàn)當M，P，C在同一直線上時，MP+CP的最小值等于CM的長，即DQ+CP的最小值等于CM的長，再根據(jù)勾股定理求得CN的長，即可得出四邊形PCDQ周長的最小值．
【詳解】解：設(shè)AQ=x，則四邊形PCDQ的面積=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵x的最大值為6﹣1=5，
∴x=5時，四邊形PCDQ的面積最大，最大值= SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，作點D關(guān)于AB的對稱點D'，連接D'Q，以D'Q、PQ為邊作平行四邊形PQD'M，
則DQ=D'Q=MP，DD'=2×AD×sin60°= SKIPIF 1 < 0 ，D'M=PQ=1，
過C作CH⊥AB，交D'M的延長線于N，則∠N=90°，
CH=BCsin60°=3 SKIPIF 1 < 0 ，NH= SKIPIF 1 < 0 DD'= SKIPIF 1 < 0 ，
∴MN=AH﹣D'M﹣ADcs60°=ACcs30°﹣1﹣ SKIPIF 1 < 0 =3﹣1﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當M，P，C在同一直線上時，MP+CP的最小值等于CM的長，即DQ+CP的最小值等于CM的長，
此時，Rt△MNC中， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵PQ=1，CD=6﹣1=5，
∴四邊形PCDQ周長的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及軸對稱最短問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
26．如圖，在矩形紙片 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一動點．將 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，點 SKIPIF 1 < 0 落在點 SKIPIF 1 < 0 處，在 SKIPIF 1 < 0 上任取一點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的周長的最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，當點F固定時，連接AC交EF于G，連接 SKIPIF 1 < 0 ，此時△ SKIPIF 1 < 0 的周長最小，最小值= SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 最小時，△ SKIPIF 1 < 0 的周長最小，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可解決問題；
【詳解】如圖所示，當點F固定時，連接AC交EF于G，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
此時△ SKIPIF 1 < 0 的周長最小，
最小值= SKIPIF 1 < 0 ，
∵ 四邊形ABCD 矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =5，
所以△ SKIPIF 1 < 0 的周長的最小值=5+ SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 最小時，△ SKIPIF 1 < 0 的周長最小，
∵AE=DE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ≥EC- SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≥ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，
∴ △ SKIPIF 1 < 0 的周長的最小值為5+ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題題型．

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