例題1（2021·河北興隆·二模）小明在解一道有理數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，一個(gè)有理數(shù) SKIPIF 1 < 0 被污染了．
計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）若要使 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果為最小正整數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 值．
【答案】（1）0；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）先算乘除，再計(jì)算加法，即可求解；
（2）解出一元一次方程，即可求解；
（3）根據(jù)最小的正整數(shù)為1，可列出關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程，即可求解．
【詳解】
解：（1）原式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
∵最小的正整數(shù)為1，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．（2021·陜西·西安市鐵一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
根據(jù)負(fù)整指數(shù)冪的性質(zhì)、60°角的余弦值、算術(shù)平方根、有理數(shù)的乘方性質(zhì)解題： SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及負(fù)整數(shù)冪、余弦、算術(shù)平方根、有理數(shù)的乘方等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2．（2021·廣東·珠海市九洲中學(xué)一模）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，故可求解．
【詳解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．
3．（2021·甘肅酒泉·二模）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-1
【解析】
【分析】
按實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和法則計(jì)算即可．
【詳解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)、乘方、特殊角的三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則等知識(shí)點(diǎn)，熟知上述各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)一模）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先根據(jù)零指數(shù)冪的意義、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整指數(shù)冪的定義等進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】
解：原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】
此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確掌握負(fù)整指數(shù)冪的定義、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的意義是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互為相反數(shù)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互為倒數(shù)， SKIPIF 1 < 0 的倒數(shù)等于它本身，則 SKIPIF 1 < 0 的值是多少？
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）利用絕對(duì)值的性質(zhì)分別得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可能的值，進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用相反數(shù)以及倒數(shù)的定義求出即可；
（3）利用偶次方的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值進(jìn)而求出答案．
【詳解】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互為相反數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互為倒數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的倒數(shù)等于它本身，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了代數(shù)式求值、偶次方和絕對(duì)值非負(fù)的性質(zhì)以及倒數(shù)、相反數(shù)的定義等知識(shí)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．（2021·浙江余杭·三模）下面是圓圓同學(xué)計(jì)算一道題的過程：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
圓圓同學(xué)這樣算正確嗎？如果正確請(qǐng)解釋理由；如果不正確，請(qǐng)你寫出正確的計(jì)算過程．
【答案】不正確．正確的計(jì)算過程見解析．
【解析】
【分析】
根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序計(jì)算即可．
【詳解】
解： 不正確
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟記有理數(shù)的乘除法法則是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）利用運(yùn)算律有時(shí)能進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．
例1 98×12=（100-2） ×12=1 200-24=1 176；
例2 -16×233+17×233=（-16+17）×233=233．
請(qǐng)你參考黑板中老師的講解，用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）-14985；（2）99900
【解析】
【分析】
（1）先將999寫成（1000-1）的形式，再使用乘法分配律計(jì)算即可；
（2）提取公因式999，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可．
【詳解】
（1）解：原式=（1000-1）×（-15）=-15000+15=-14985．
（2）解：原式=999× SKIPIF 1 < 0 =999×100=99900．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·河北路北·二模）老師課下給同學(xué)們留了一個(gè)式子： SKIPIF 1 < 0 ，讓同學(xué)自己出題，并寫出答案．
SKIPIF 1 < 0 小光提出問題：若□代表 SKIPIF 1 < 0 ，○代表 SKIPIF 1 < 0 ，則計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 小麗提出問題：若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)□代表 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求○所代表的有理數(shù)；
SKIPIF 1 < 0 小亮提出問題：若 SKIPIF 1 < 0 中，若□和○所代表的有理數(shù)互為相反數(shù)，直接寫出□所代表的有理數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）□ SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）直接根據(jù)有理數(shù)計(jì)算法則求值即可；
（2）設(shè)○代表的有理數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，代入解方程即可；
（3）設(shè)□代表的數(shù)為a，則○代表的數(shù)為-a，代入解不等式即可．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 設(shè)○所代表的有理數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴○所代表的有理數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 設(shè)□代表的數(shù)為a，則○代表的數(shù)為-a ，
則 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴□所代表的有理數(shù)的取值范圍為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的計(jì)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2021·河北邢臺(tái)·二模）嘉淇準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)“”印刷不清楚，
（1）他把“”猜成18，請(qǐng)你計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）他媽說：“你猜錯(cuò)了，我看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是 SKIPIF 1 < 0 ．”通過計(jì)算說明原題中“”是幾？
【答案】（1）-42；（2）-12
【解析】
【分析】
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減，然后得到結(jié)果；
（2）設(shè)“”是 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 看做常數(shù)，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)后根據(jù)結(jié)果為常數(shù)知二次項(xiàng)系數(shù)為0，據(jù)此得出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，依題意得， SKIPIF 1 < 0 ．
解之得， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查有理數(shù)的加減和解一元一次方程，熟悉相關(guān)解法是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·安徽·合肥市第四十五中學(xué)一模）觀察下列等式：
① SKIPIF 1 < 0 ＝2+ SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ＝3+ SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ＝4+ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 ＝5+ SKIPIF 1 < 0 ，…
（1）請(qǐng)按以上規(guī)律寫出第⑥個(gè)等式： ；
（2）猜想并寫出第n個(gè)等式： ；并證明猜想的正確性．
（3）利用上述規(guī)律，直接寫出下列算式的結(jié)果：
SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，見解析；（3）4752
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)分母不變，分子是兩個(gè)數(shù)的平方差可得答案；
（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個(gè)等式并計(jì)算可進(jìn)行驗(yàn)證；
（3）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 =2， SKIPIF 1 < 0 ＝3， SKIPIF 1 < 0 ＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，進(jìn)而可得答案．
【詳解】
解：（1）第⑥個(gè)式子為： SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）猜想第n個(gè)等式為： SKIPIF 1 < 0 ，
證明：∵左邊= SKIPIF 1 < 0 ＝右邊，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）原式＝1+2+3+…+97-1
＝ SKIPIF 1 < 0 -1
＝4752．
故答案為：4752．
【點(diǎn)睛】
此題考查有理數(shù)計(jì)算規(guī)律探究，有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，根據(jù)例子得到式子的構(gòu)成規(guī)律并應(yīng)用解決實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．
二、整式運(yùn)算與求值
例題2（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）小剛在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 減去多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 的差時(shí)，因一時(shí)疏忽忘了把兩個(gè)多項(xiàng)式用括號(hào)括起來，因此減式后面兩項(xiàng)沒有變號(hào)，結(jié)果得到的差是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求這個(gè)多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求出這兩個(gè)多項(xiàng)式運(yùn)算的正確結(jié)果；
（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求（2）中結(jié)果的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式=2.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意列得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出A；
（2）將A代入列式，根據(jù)整式的減法法則計(jì)算即可得到答案；
（3）將b=-2代入計(jì)算即可.
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式 SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】
此題考查整式的加減法計(jì)算法則，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確理解題意求出A的值是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)題
1．（2021·河南·二模）先化簡(jiǎn)，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2xy， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
原式中括號(hào)里邊利用完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，合并化簡(jiǎn)計(jì)算后，把 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（2021·四川涼山·二模）先化簡(jiǎn)，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；-136
【解析】
【分析】
先利用乘法公式和整式乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可．
【詳解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 ，
代入原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值和二次根式計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式乘法法則和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入數(shù)值后準(zhǔn)確計(jì)算．
3．（2021·浙江·杭州育才中學(xué)二模）已知多項(xiàng)式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）．
（1）當(dāng)x＝1，y＝2，求M的值；
（2）若多項(xiàng)式M與字母x的取值無關(guān)，求y的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）2
【解析】
【分析】
（1）原式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）M化簡(jiǎn)的結(jié)果變形后，根據(jù)M與字母x的取值無關(guān)，確定出y的值即可．
【詳解】
解：（1）M＝2x2+3xy+2y﹣2x2 SKIPIF 1 < 0 2x﹣2yx SKIPIF 1 < 0 2
＝xy SKIPIF 1 < 0 2x+2y SKIPIF 1 < 0 2，
當(dāng)x SKIPIF 1 < 0 ，y＝2時(shí)，
原式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵M(jìn)＝xy SKIPIF 1 < 0 2x+2y SKIPIF 1 < 0 2＝（y SKIPIF 1 < 0 2）x+2y SKIPIF 1 < 0 2，且M與字母x的取值無關(guān)，
∴y SKIPIF 1 < 0 2＝0，
解得：y＝2．
【點(diǎn)睛】
此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4．（2021·浙江省杭州市上泗中學(xué)二模）已知多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）化簡(jiǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)整式的加減計(jì)算法則化簡(jiǎn)即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）中的化簡(jiǎn)結(jié)果代值計(jì)算即可．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）代數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 里的“ SKIPIF 1 < 0 ”是“＋，－，×，÷”中某一種運(yùn)算符號(hào)．
（1）如果“ SKIPIF 1 < 0 ”是“＋”，化簡(jiǎn)： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)推算“ SKIPIF 1 < 0 ”所代表的運(yùn)算符號(hào)．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）把“ SKIPIF 1 < 0 ”代入原式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；
（2）原式去括號(hào)后，把 SKIPIF 1 < 0 代入計(jì)算即可求出所求．
【詳解】
解：（1）原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由題意得，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”所表示的運(yùn)算符號(hào)是“ SKIPIF 1 < 0 ”．
【點(diǎn)睛】
此題考查了整式的加減，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
6．（2021·河北·石家莊市第四十二中學(xué)一模）對(duì)于四個(gè)整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．
無論x取何值，B+C+D的值都為0．
（1）求m、n的值；
（2）計(jì)算A﹣B+C﹣D；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 的值是正數(shù)，直接寫出x的取值范圍．
【答案】（1）m＝2，n＝﹣5；（2）2x2﹣4x；（3）x＜ SKIPIF 1 < 0 且x≠0
【解析】
【分析】
（1）把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，求出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的值即可；
（2）把 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的值代入確定出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，再將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，使其值大于0求出 SKIPIF 1 < 0 的范圍即可．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
此題考查了分式的加減法，整式的加減，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
7．（2020·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀以下步驟，完成問題：
①任意寫一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2；
②交換百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)三位數(shù)；
③用上述的較大的三位數(shù)減去較小的三位數(shù)，所得的差為三位數(shù)；
④交換這個(gè)差的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字又得到一個(gè)三位數(shù)；
⑤把③④中的兩個(gè)三位數(shù)相加，得到最后結(jié)果．
問題：
（1）③中的三位數(shù)是 ； ④中的三位數(shù)是 ；⑤中的結(jié)果是 ；
（2）換一個(gè)數(shù)試試看，所得結(jié)果是否一樣？如果一樣，設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為 SKIPIF 1 < 0 、十位數(shù)字為 SKIPIF 1 < 0 ，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)，并結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)解釋其中的原因．
【答案】（1）198，891，1089；（2）所得結(jié)果一樣；理由見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)特例即可求解；
（2）分析題意，列出相關(guān)算式計(jì)算加以證明．注意三位數(shù)的表示方法：每位上的數(shù)字乘位數(shù)再相加．
【詳解】
解：（1）例如：①321；②123；
③中的三位數(shù)是198；④中的三位數(shù)是891；⑤中的結(jié)果是1089．
故答案為：198，891，1089；
（2）所得結(jié)果一樣．
可以設(shè)①中的三位數(shù)為100a＋10b＋（a?2），
所以②中的三位數(shù)為100（a?2）＋10b＋a，
100a＋10b＋（a?2）?[100（a?2）＋10b＋a]＝198，這是一個(gè)常數(shù)，
于是在交換百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字后得到891，
198＋891＝1089．
故所得結(jié)果一樣．
【點(diǎn)睛】
本題考查了列代數(shù)式．認(rèn)真讀題，理解題意是關(guān)鍵．
8．（2021·河北橋東·二模）甲、乙兩人各持一張分別寫有整式 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的卡片．已知整式 SKIPIF 1 < 0 ，下面是甲、乙二人的對(duì)話：
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）求整式 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）請(qǐng)判斷整式 SKIPIF 1 < 0 和整式 SKIPIF 1 < 0 的大小，并說明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；答案見解析．
【解析】
【分析】
（1）依題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入各式即可求解；
（2）化簡(jiǎn) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)配方法的應(yīng)用即可求解．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．理由： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查整式的加減及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的應(yīng)用．
9．（2021·河北興隆·二模）解方程組
老師設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，給甲、乙、丙三名同學(xué)各一張寫有最簡(jiǎn)代數(shù)式的卡片，規(guī)則是兩位同學(xué)的代數(shù)式相減等于第三位同學(xué)的代數(shù)式，甲、乙、丙的卡片如圖所示，其中丙同學(xué)卡片上的代數(shù)式未知．
（1）若乙同學(xué)卡片上的代數(shù)式為一次二項(xiàng)式，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若甲同學(xué)卡片上的代數(shù)式減去乙同學(xué)卡片上的代數(shù)式等于丙同學(xué)卡片上的代數(shù)式．
①當(dāng)丙同學(xué)卡片上的代數(shù)式為常數(shù)時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②當(dāng)丙同學(xué)卡片上的代數(shù)式為非負(fù)數(shù)時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)乙同學(xué)卡片上的代數(shù)式為一次二項(xiàng)式知 SKIPIF 1 < 0 ，據(jù)此求解即可；
（2）①根據(jù)題意列出算式 SKIPIF 1 < 0 ，然后去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，繼而根據(jù)結(jié)果為常數(shù)項(xiàng)知二次項(xiàng)系數(shù)為0，據(jù)此求解即可；
②根據(jù)題意列出不等式 SKIPIF 1 < 0 ，求解此不等式即可．
【詳解】
解：（1）∵乙同學(xué)卡片上的代數(shù)式為一次二項(xiàng)式，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）① SKIPIF 1 < 0 ，
∵結(jié)果為常數(shù)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②由①知丙卡片上的代數(shù)式為 SKIPIF 1 < 0 ，要使其為非負(fù)數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查整式的加減以及解不等式，整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，解不等式注意按照運(yùn)算步驟進(jìn)行即可．
10．（2021·河北·三模）一般情況下 SKIPIF 1 < 0 不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如： SKIPIF 1 < 0 ．我們稱使得 SKIPIF 1 < 0 成立的一對(duì)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為“相伴數(shù)對(duì)”，記為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）填空： SKIPIF 1 < 0 _________“相伴數(shù)對(duì)”（填是或否）；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是“相伴數(shù)對(duì)”，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 是“相伴數(shù)對(duì)”，求代數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）是；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）-2
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)“相伴數(shù)對(duì)”的定義判斷即可；
（2）根據(jù)“相伴數(shù)對(duì)”的定義化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出b的值；
（3）根據(jù)“相伴數(shù)對(duì)”的定義得到9m+4n=0，將原代數(shù)式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求解．
【詳解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是“相伴數(shù)對(duì)”，
故答案為：是；
（2） SKIPIF 1 < 0 是“相伴數(shù)對(duì)”，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 是“相伴數(shù)對(duì)”，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了整式的加減-化簡(jiǎn)求值、有理數(shù)加法運(yùn)算、解一元一次方程，熟練掌握整式加減的運(yùn)算法則，弄清楚新定義和整體代入思想求值是解答的關(guān)鍵．
三、分式的計(jì)算與求值
例題3（2021·廣東英德·二模）先化簡(jiǎn) SKIPIF 1 < 0 ，然后從0，1， SKIPIF 1 < 0 ，2中選取一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為 SKIPIF 1 < 0 的值帶入求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，-1
【解析】
【分析】
根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則和因式分解化簡(jiǎn)分式，再根據(jù)分式有意義條件選擇x值代入求解即可
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，x-1≠0，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或2，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，分式有意義的條件，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則，注意分式有意義的條件是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．（2021·江蘇·淮陰中學(xué)新城校區(qū)一模）先化簡(jiǎn)，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，1
【解析】
【分析】
首先根據(jù)分式化簡(jiǎn)的步驟進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把 SKIPIF 1 < 0 代入化簡(jiǎn)后的式子，即可求得．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值問題，準(zhǔn)確地把分式化為最簡(jiǎn)分式是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2021·河南武陟·一模）先化簡(jiǎn)，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】?433##-433
【解析】
【分析】
先計(jì)算括號(hào)內(nèi)分式的減法，再將除式的分子、分母因式分解，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而約分即可化簡(jiǎn)原式，最后將 SKIPIF 1 < 0 值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．此類題目的關(guān)鍵是在分式化簡(jiǎn)過程中熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序．
3．（2021·廣東連州·二模）先化簡(jiǎn)再求值 SKIPIF 1 < 0 ，其中x是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，繼而根據(jù)分式有意義的條件確定 SKIPIF 1 < 0 的值，代入計(jì)算即可．
【詳解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及因式分解法解一元二次方程、分式有意義的條件．
4．（2021·廣東·桂林華僑初級(jí)中學(xué)二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 =3時(shí)，對(duì)式子（A－B）÷C先化簡(jiǎn)，再求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先將A、B、C代入 SKIPIF 1 < 0 中，利用分式的混合運(yùn)算法則、平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將x=3代入計(jì)算求解．
【詳解】
（A－B）÷C SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)x＝3時(shí)，原式 SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式的混合運(yùn)算，平方差公式，先利用分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解答關(guān)鍵．
5．（2021·山東德城·二模）先化簡(jiǎn)，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)?jiān)讴?≤m≤1的范圍內(nèi)取一個(gè)自己喜歡的數(shù)代入求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)m=0時(shí)，原式為1，當(dāng)m=-1時(shí)，原式為3
【解析】
【分析】
先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再由分式有意義的條件選取使分式有意義的m的值，代入計(jì)算即可．
【詳解】
解：原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ，
∵m≠±2且m≠1，
∴取m=0或m=-1，
則原式= SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)m=-1時(shí)，原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及分式有意義的條件．
6．（2021·山東惠民·二模）先化簡(jiǎn)，再求值 SKIPIF 1 < 0 ，其中a= SKIPIF 1 < 0 －2sin45°－ SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先利用分式的乘除法運(yùn)算法則和減法的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解．
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 .
a= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 －2 SKIPIF 1 < 0 －1= SKIPIF 1 < 0
當(dāng)a= SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值此，利用分式的除法和減法進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解是解答關(guān)鍵．
7．（2021·湖北鶴峰·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中 SKIPIF 1 < 0 為方程 SKIPIF 1 < 0 的一根．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先把分式運(yùn)算中的括號(hào)里化簡(jiǎn)，再用括號(hào)外分式乘以其倒數(shù)，最后化簡(jiǎn)；解一元二次方程得到 SKIPIF 1 < 0 兩個(gè)值，根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行取舍后代入化簡(jiǎn)后的式子可求值．
【詳解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或1，
由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入原式得，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及解一元二次方程，解決這類問題要注意在計(jì)算的過程中要使分式有意義的條件．
8．（2021·湖北宜城·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，從0， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作為 SKIPIF 1 < 0 值代入．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加減，再把除化為乘，計(jì)算分式的除法，化簡(jiǎn)后將 SKIPIF 1 < 0 代入即可得答案．
【詳解】
解：原式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵要使原式有意義， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算順序及分式計(jì)算的相關(guān)法則．
9．（2021·山東樂陵·二模）已知：A＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)化簡(jiǎn)A．
(2)若點(diǎn)(x,-3)與點(diǎn)(-4,-3)關(guān)于y軸對(duì)稱，求A的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
(1)首先進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式，最后把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，約分即可化簡(jiǎn)；
(2)根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即可求得x值，代入即可求得．
(1)
解：A＝ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：∵點(diǎn)(x,-3)與點(diǎn)(-4,-3)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴x=-(-4)=4，
把x=4代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)及求得x的值是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2021·廣東·一模）先化簡(jiǎn)，再求值：（ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ）÷ SKIPIF 1 < 0 ，其中m＝3+ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
分析：根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把m的值代入計(jì)算即可．
【詳解】
解：（ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ）÷ SKIPIF 1 < 0
＝（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)m＝3+ SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值、分母有理化，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
四、與數(shù)軸有關(guān)的代數(shù)計(jì)算
例題4（2020·河北·中考真題）如圖，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸－3和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)游戲．每次移動(dòng)游戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)．
①若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位；
②若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位；
③若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位．
（1）經(jīng)過第一次移動(dòng)游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）從圖的位置開始，若完成了10次移動(dòng)游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對(duì)一錯(cuò)．設(shè)乙猜對(duì) SKIPIF 1 < 0 次，且他最終停留的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，試用含 SKIPIF 1 < 0 的代數(shù)式表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求該位置距離原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 最近時(shí) SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）從圖的位置開始，若進(jìn)行了 SKIPIF 1 < 0 次移動(dòng)游戲后，甲與乙的位置相距2個(gè)單位，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，距離原點(diǎn)最近；（3） SKIPIF 1 < 0 或5
【解析】
【分析】
（1）對(duì)題干中三種情況計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，分析出正確的概率即可；
硬幣朝上為正面、反面的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，
甲和乙猜正反的情況也分為三種情況：
①甲和乙都猜正面或反面，概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
②甲猜正，乙猜反，概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
③甲猜反，乙猜正，概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）根據(jù)題意可知乙答了10次，答對(duì)了n次，則打錯(cuò)了（10-n）次，再根據(jù)平移的規(guī)則推算出結(jié)果即可；
（3）剛開始的距離是8，根據(jù)三種情況算出縮小的距離，即可算出縮小的總距離，分別除以2即可得到結(jié)果；
【詳解】
（1）題干中對(duì)應(yīng)的三種情況的概率為：
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
甲的位置停留在正半軸上的位置對(duì)應(yīng)情況②，故P= SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根據(jù)題意可知乙答了10次，答對(duì)了n次，則打錯(cuò)了（10-n）次，
根據(jù)題意可得，n次答對(duì)，向西移動(dòng)4n，
10-n次答錯(cuò)，向東移了2（10-n），
∴m=5-4n+2（10-n）=25-6n，
∴當(dāng)n=4時(shí)，距離原點(diǎn)最近．
（3）起初，甲乙的距離是8，
易知，當(dāng)甲乙一對(duì)一錯(cuò)時(shí)，二者之間距離縮小2，
當(dāng)甲乙同時(shí)答對(duì)打錯(cuò)時(shí)，二者之間的距離縮小2，
∴當(dāng)甲乙位置相距2個(gè)單位時(shí)，共縮小了6個(gè)單位或10個(gè)單位，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了概率的求解，通過數(shù)軸的理解進(jìn)行準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)題
1．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)．
（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)的 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）利用數(shù)軸比較 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，見解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理構(gòu)造直角三角形得出斜邊為 SKIPIF 1 < 0 ，再利用圓規(guī)畫圓弧即可得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在數(shù)軸上比較，越靠右邊的數(shù)越大．
【詳解】
解：（1）如圖所示，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 即為所求．
（2）如圖所示，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的右側(cè)，所以 SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】
本題考查無理數(shù)與數(shù)軸上一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系、勾股定理、尺規(guī)作圖法、熟練掌握無理數(shù)在數(shù)軸上的表示是關(guān)鍵．
2．（2021·河北遷安·二模）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們所表示的數(shù)分別為a、b、c三個(gè)數(shù)，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且b的倒數(shù)是它本身，且a、c滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)．
【答案】（1）13；（2）-8
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)偶數(shù)次冪和絕對(duì)值的非負(fù)性，求出a和c的值，再代入求解，即可；
（2）根據(jù)倒數(shù)的定義，求出b的值，再求出A，B中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，且b的倒數(shù)是它本身，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，熟練掌握倒數(shù)，絕對(duì)值的意義，是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）已知有理數(shù)-3，1．
（1）在下列數(shù)軸上，標(biāo)出表示這兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，并分別用A，B表示；
（2）若｜m｜=2，在數(shù)軸上表示數(shù)m的點(diǎn)，介于點(diǎn)A，B之間，在A的右側(cè)且到點(diǎn)B距離為5的點(diǎn)表示為n．
①計(jì)算m+n-mn；
②解關(guān)于x的不等式mx+4＜n，并把解集表示在下列數(shù)軸上．
【答案】（1）見解析；（2）①16；②x＞-1；數(shù)軸表示見解析
【解析】
【分析】
（1）直接在數(shù)軸上標(biāo)出A、B即可；
（2）①根據(jù)題意得出m、n的值，再代入計(jì)算即可；
②將m、n代入不等式中，求出解，再在數(shù)軸上表示即可．
【詳解】
解：（1）如圖：
．
（2）∵｜m｜=2，
∴m=±2，
∵在數(shù)軸上表示數(shù)m的點(diǎn)，介于點(diǎn)A，B之間，
∴m=-2，
∵在A的右側(cè)且到點(diǎn)B距離為5的點(diǎn)表示為n，
∴n=6，
①m+n-mn=-2+6-（-2）×6=4-（-12）=4+12=16，
②由-2x+4＜6，
解得x＞-1，
表示在數(shù)軸上如圖所示：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)軸，解不等式，按照題目要求進(jìn)行即可．
4．（2020·河北石家莊·一模）如圖1，點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，b，4，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)刻度 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)C對(duì)齊刻度 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）在圖1的數(shù)軸上， SKIPIF 1 < 0 __________個(gè)長(zhǎng)度單位；數(shù)軸上的一個(gè)長(zhǎng)度單位對(duì)應(yīng)刻度尺上的_______ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為_________________；
（3）在圖1的數(shù)軸上，點(diǎn)Q是直線 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求點(diǎn)Q所表示的數(shù)．
【答案】（1）9；0.6；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離解答即可；
（2）根據(jù)題意和對(duì)應(yīng)關(guān)系可得方程求得數(shù)軸上點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所對(duì)應(yīng)的數(shù) SKIPIF 1 < 0 ；
（3）可設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所表示的數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，分兩種情況，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 之間時(shí)，得到關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程；當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的右邊時(shí)，得到關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程；再解方程即可求解．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 （個(gè)長(zhǎng)度單位），
數(shù)軸上的一個(gè)長(zhǎng)度單位對(duì)應(yīng)刻度尺上的 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：9；0.6．
（2）依題意有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即數(shù)軸上點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所對(duì)應(yīng)的數(shù) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所表示的數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ，依題意有
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 之間時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的右邊時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所表示的數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 或1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元一次方程和數(shù)軸、絕對(duì)值的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和線段的和差建立方程．
5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2.5，點(diǎn)B表示的數(shù)為4．
（1）求AB的長(zhǎng)度；
（2）若把數(shù)軸的單位長(zhǎng)度擴(kuò)大30倍，點(diǎn)A、點(diǎn)B所表示的數(shù)也相應(yīng)的發(fā)生變化：
①此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)為 ，點(diǎn)B表示的數(shù)為 ；
②已知點(diǎn)M是線段AB的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)M所表示的數(shù)．
【答案】（1）AB＝6.5；（2）①75，120；②﹣10或55
【解析】
【分析】
（1）用點(diǎn)B表示的數(shù)減去點(diǎn)A表示的數(shù)即可得到AB的長(zhǎng)；
（2）①點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)也擴(kuò)大30倍即可得到結(jié)果；
②根據(jù)點(diǎn)A、B表示的數(shù)得到線段AB的長(zhǎng)，再由點(diǎn)M是線段AB的三等分點(diǎn)，分兩種情況確定點(diǎn)M表示的數(shù)．
【詳解】
解：（1）AB＝4－(－2.5)＝6.5；
（2）①根據(jù)題意可知，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度擴(kuò)大30倍，
則點(diǎn)A表示的數(shù)為－2.5×30＝－75，點(diǎn)B表示的數(shù)為4×30＝120，
故答案為：－75，120；
②AB＝120－(－75)＝195，
當(dāng)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A時(shí)，AM＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝65，
∴點(diǎn)M表示的數(shù)為65－75＝－10，
當(dāng)點(diǎn)M靠近點(diǎn)B時(shí)，BM＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝65，
∴點(diǎn)M表示的數(shù)為120－65＝55，
綜上所述，點(diǎn)M表示的數(shù)為－10或55．
【點(diǎn)睛】
此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，利用距離確定點(diǎn)的坐標(biāo)，以及三等分點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的求法是解題的關(guān)鍵，做題時(shí)注意線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，當(dāng)沒有明確是哪一個(gè)點(diǎn)時(shí)要分兩種情況解答，避免遺漏．
6．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)三模）數(shù)軸上 A，B，C 三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為 a，b，x，且 A，B 到－2 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離都等于 6，點(diǎn) B在點(diǎn) A 的右側(cè)．
（1）請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示點(diǎn) A，B 位置，a= ，b= ；
（2）請(qǐng)用含 x 的代數(shù)式表示 CB= ；
（3）若點(diǎn) C 在點(diǎn) B 的左側(cè)，且 CB=8，點(diǎn) A 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng) AC=2AB時(shí)，求點(diǎn) A 移動(dòng)的時(shí)間．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 秒或10秒．
【解析】
【分析】
（1）由A，B到-2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離都等于6，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，可得出關(guān)于a，b的一元一次方程，解之即可得出a，b的值；
（2）由點(diǎn)B，C對(duì)應(yīng)的數(shù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可找出CB的值；
（3）由點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)及CB的值可得出x的值，設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的時(shí)間為t秒，分別表示出AB和AC，根據(jù)AC=2AB列出絕對(duì)值方程，求解即可．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意得：-2-a=6，b-（-2）=6，
∴a=-8，b=4，
將其表示在數(shù)軸上，如圖所示．
故答案為：-8，4．
（2）B點(diǎn)表示的數(shù)為4，C點(diǎn)表示的數(shù)為x，故CB=|x-4|．
故答案為：|x-4|．
（3）∵點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，且CB=8，
∴x-6=-8，
∴x=-4．
設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的時(shí)間為t秒，A點(diǎn)t秒后表示的數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故A移動(dòng)的時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0 秒或10秒．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式，列出關(guān)于a，b的一元一次方程；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出CB的值；（3）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 列出絕對(duì)值方程，并求解．
7．（2021·云南五華·一模）如圖所示，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸-3和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)游戲．每次移動(dòng)的游戲規(guī)則是：兩人先猜裁判所拋硬幣向上一面的正反，再根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)．
①若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位；
②若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位；
③若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位．
（1）用樹狀圖（樹狀圖也稱樹形圖）或列表法中的一種方法，求每次移動(dòng)游戲中甲猜對(duì)的概率 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）直接寫出經(jīng)過第一次移動(dòng)游戲后，甲乙兩人相距6個(gè)單位的概率．
【答案】（1）圖表見解析， SKIPIF 1 < 0 ；（2）1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)列表法，即可求出概率；
（2）無論①、②、③哪種情況發(fā)生，甲、乙之間的距離都是6個(gè)單位，即可求出概率．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意：
由上表可知，總共有4種等可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．
其中甲猜對(duì)的結(jié)果有2種．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根據(jù)題意，無論①、②、③哪種情況發(fā)生，甲、乙之間的距離都是6個(gè)單位，
∴經(jīng)過第一次移動(dòng)游戲后，甲乙兩人相距6個(gè)單位的概率是1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的列出表格進(jìn)行解題．
8．（2020·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)軸上有M、N兩點(diǎn)，M點(diǎn)表示的數(shù)分別為m，N點(diǎn)表示的數(shù)是n（n＞m），則線段MN的長(zhǎng)（點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離）可表示為MN＝n﹣m，請(qǐng)用上面材料中的知識(shí)解答下面的問題：一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)O開始，先向左移動(dòng)3cm到達(dá)A點(diǎn)，再向右移動(dòng)2cm到達(dá)B點(diǎn)，然后向右移動(dòng)4cm到達(dá)C點(diǎn)，用1cm表示1個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）請(qǐng)你在數(shù)軸上表示出A、B、C三點(diǎn)的位置，并直接寫出線段AC的長(zhǎng)度．
（2）若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，且AD＝4cm，則點(diǎn)D表示的數(shù)是什么？
（3）若將點(diǎn)A向右移動(dòng)xcm，請(qǐng)用代數(shù)式表示移動(dòng)后的點(diǎn)所表示的數(shù)．
（4）若點(diǎn)P以從點(diǎn)A向原點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以與點(diǎn)P相同的速度從原點(diǎn)O向點(diǎn)C移動(dòng)，試探索：PQ的長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)．如果改變，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）6cm；（2）點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7或1；（3）﹣3+x；（4）PQ的長(zhǎng)為3cm
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意容易畫出圖形，因?yàn)镃點(diǎn)表示的數(shù)大于A點(diǎn)表示的數(shù)，所以用C點(diǎn)代表的數(shù)減去A點(diǎn)代表的數(shù)即可求得AC的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)D表示的數(shù)為a，根據(jù)絕對(duì)值的意義即可得出結(jié)果；
（3）因?yàn)槭窍蛴乙苿?dòng)，所以根據(jù)移動(dòng)后的數(shù)等于A點(diǎn)表示的數(shù)+x即可得解；
（4）因?yàn)樗俣认嗤?，方向相同所以PQ的長(zhǎng)度不變，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出OA的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖所示：
AC＝3-(﹣3)＝3+3＝6（cm）．
故線段AC的長(zhǎng)度為6cm；
（2）設(shè)D表示的數(shù)為a，
∵AD＝4，
∴|﹣3﹣a|＝4，
解得：a＝﹣7或1．
∴點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7或1；
（3）將點(diǎn)A向右移動(dòng)xcm，則移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為-3+x；
（4）PQ的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變， PQ的長(zhǎng)＝0-(-3)＝3（cm）．
故PQ的長(zhǎng)為3cm．
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，有理數(shù)的減法，絕對(duì)值方程.掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解方法是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2021·山東嶗山·二模）【問題提出】 SKIPIF 1 < 0 的最小值是多少？
【閱讀理解】
為了解決這個(gè)問題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手． SKIPIF 1 < 0 的幾何意義是 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．那么 SKIPIF 1 < 0 可以看做 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離． SKIPIF 1 < 0 就可以看作 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和．下面我們結(jié)合數(shù)軸研究 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
我們先看 SKIPIF 1 < 0 表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：
（1）如圖①， SKIPIF 1 < 0 在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．
（2）如圖②， SKIPIF 1 < 0 在1和2之間（包括在1，2上），可以看出 SKIPIF 1 < 0 到1和2的距離之和等于1．
（3）如圖③， SKIPIF 1 < 0 在2的右邊，從圖中很明顯可以看出 SKIPIF 1 < 0 到1和2的距離之和大于1．
所以 SKIPIF 1 < 0 到1和2的距離之和最小值是1．
【問題解決】
（1） SKIPIF 1 < 0 的幾何意義是______．
請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸探究： SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
（2）請(qǐng)你結(jié)合圖④探究： SKIPIF 1 < 0 的最小值是______，此時(shí)a為______．
（3） SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
（4） SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
【拓展應(yīng)用】
如圖⑤，已知 SKIPIF 1 < 0 到－1，2的距離之和小于4，請(qǐng)寫出 SKIPIF 1 < 0 的范圍為______．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；拓展應(yīng)用： SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）通過絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行解題即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)a取中間數(shù)2時(shí)， SKIPIF 1 < 0 有最小值；
（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)a在3和4之間時(shí)（包括在3和4上時(shí)）， SKIPIF 1 < 0 有最小值；
（4）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)a取中間數(shù) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式有最小值，再通過求和公式進(jìn)行求和即可得解；
拓展應(yīng)用：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，由題意分別找出a的臨界值，從而即可求得a的取值范圍．
【詳解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到3的距離， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到6的距離，
∴ SKIPIF 1 < 0 的幾何意義是 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個(gè)點(diǎn)的距離之和；
根據(jù)題意，當(dāng)a在3和6之間時(shí)（包括在3和6上時(shí)），a到3和6的距離之和最小，最小距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是3，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個(gè)點(diǎn)的距離之和；3；
（2） SKIPIF 1 < 0 的幾何意義是 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1、2和3三個(gè)點(diǎn)的距離之和，
∵在數(shù)軸上，2在1和3之間，
∴當(dāng)a取中間數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值最小，
如下圖所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：2；2；
（3） SKIPIF 1 < 0 的幾何意義是 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1、2、3、4、5、6六個(gè)點(diǎn)的距離之和，
∴當(dāng)a取中間數(shù)時(shí)，原式有最小值，
∴當(dāng)a在3和4之間時(shí)（包括在3和4上時(shí)），a到六個(gè)數(shù)的距離之和最小，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：9；
（4） SKIPIF 1 < 0 的幾何意義是 SKIPIF 1 < 0 這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1、2、3、4、5、6…2021這2021個(gè)點(diǎn)的距離之和，
∴當(dāng)a取中間數(shù) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式有最小值，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為：
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：1021110；
拓展應(yīng)用：
當(dāng)a在 SKIPIF 1 < 0 和2之間時(shí)，a到兩點(diǎn)的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，a到兩點(diǎn)的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 到－1，2的距離之和小于4，則 SKIPIF 1 < 0 的范圍為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了絕對(duì)值的幾何意義，熟練掌握借助數(shù)軸解題的方法，由數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【算一算】
如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示1，則點(diǎn)C表示的數(shù)為 ，AC長(zhǎng)等于 ；
【找一找】
如圖②，點(diǎn)M、N、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ﹣1、 SKIPIF 1 < 0 +1，Q是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn) 是這個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)；
【畫一畫】
如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c﹣n、c+n，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
【用一用】
學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測(cè)溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測(cè)量體溫，已知每個(gè)測(cè)溫通道每分鐘可檢測(cè)a個(gè)學(xué)生．凌老師提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個(gè)學(xué)生，每分鐘又有b個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口．如果開放3個(gè)通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校．在這些條件下，a、m、b會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點(diǎn)A表示；將2分鐘內(nèi)由4個(gè)開放通道檢測(cè)后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點(diǎn)B表示．
①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點(diǎn)F、G，并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；
②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系： ．
【答案】（1）5，8；（2）N；（3）圖見解析；（4）①+(m+2b)的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)，圖見解析；②m＝4a．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)﹣3，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)1，求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AB＝BC可求得AC的長(zhǎng)以及點(diǎn)C表示的數(shù)；
（2）可設(shè)原點(diǎn)為O，根據(jù)條件可求得AB中點(diǎn)表示的數(shù)以及線段AB的長(zhǎng)度，根據(jù)AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，結(jié)合OQ的長(zhǎng)度即可確定N為數(shù)軸的原點(diǎn)；
（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為M，先求得AB的長(zhǎng)度，得到AM＝BM＝n，根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；
（4）①根據(jù)每分鐘進(jìn)校人數(shù)為b，每個(gè)通道每分鐘進(jìn)入人數(shù)為a，列方程組 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可畫出F，G點(diǎn)，其中m+2b表示兩分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；
②解①中的方程組，即可得到m＝4a．
【詳解】
解：（1）【算一算】：記原點(diǎn)為O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以點(diǎn)C表示的數(shù)為5，AC長(zhǎng)等于8．
故答案為：5，8；
（2）【找一找】：記原點(diǎn)為O，
∵AB＝ SKIPIF 1 < 0 +1﹣（ SKIPIF 1 < 0 ﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝ SKIPIF 1 < 0 +1﹣1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴N為原點(diǎn)．
故答案為：N．
（3）【畫一畫】：記原點(diǎn)為O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中點(diǎn)M，
得AM＝BM＝n，
以點(diǎn)O為圓心，
AM＝n長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E即為所求；
（4）【用一用】：在數(shù)軸上畫出點(diǎn)F，G；2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)為：m＝4a．
∵4分鐘內(nèi)開放3個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分鐘內(nèi)開放4個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求．
作OB的中點(diǎn)E，則OE＝BE＝4a，在數(shù)軸負(fù)半軸上用圓規(guī)截取OG＝3OE＝12a，
則點(diǎn)G即為所求．
+（m+2b）的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案為：m＝4a．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．
甲：我的卡片上寫著整式 SKIPIF 1 < 0 ，加上整式 SKIPIF 1 < 0 后得到最簡(jiǎn)整式 SKIPIF 1 < 0 ；
乙：我用最簡(jiǎn)整式 SKIPIF 1 < 0 加上整式 SKIPIF 1 < 0 后得到整式 SKIPIF 1 < 0 ．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題九 以圖形變換為背景的四邊形問題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題九 以圖形變換為背景的四邊形問題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題九以圖形變換為背景的四邊形問題原卷版doc、中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題九以圖形變換為背景的四邊形問題解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共124頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題03 代數(shù)式（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題03 代數(shù)式（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題03代數(shù)式原卷版doc、中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題03代數(shù)式解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共14頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二 常見代數(shù)式運(yùn)算考查類型（含答案詳解）：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二 常見代數(shù)式運(yùn)算考查類型（含答案詳解），共42頁。試卷主要包含了有理數(shù)運(yùn)算，整式運(yùn)算與求值，分式的計(jì)算與求值，與數(shù)軸有關(guān)的代數(shù)計(jì)算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題02 常見代數(shù)式運(yùn)算考查類型（教師版）

中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題02 常見代數(shù)式運(yùn)算考查類型（教師版）
數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第16章 二次根式綜合與測(cè)試課時(shí)練習(xí)

數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第16章 二次根式綜合與測(cè)試課時(shí)練習(xí)
2021學(xué)年6.2 實(shí)數(shù)精品課時(shí)練習(xí)

2021學(xué)年6.2 實(shí)數(shù)精品課時(shí)練習(xí)
中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 幾何常見問題專練 專練二　幾何問題常見類型練習(xí)題(含解析)

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 幾何常見問題專練 專練二　幾何問題常見類型練習(xí)題(含解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部