（15類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題靈活，難度較中等或較高，分值為5分
【備考策略】1理解ω在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)和伸縮平移變換中的基本知識
2能結(jié)合三角函數(shù)基本知識求解ω的值或范圍
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的難點內(nèi)容，會結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、值域、零點及伸縮平移變換綜合求解，需加強復(fù)習(xí)備考
知識講解
ω在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的基本知識
，
振幅，決定函數(shù)的值域，值域為，決定函數(shù)的周期，
叫做相位，其中叫做初相，的周期公式為：
ω在伸縮平移變換中的基本知識（，是伸縮量）
振幅，決定函數(shù)的值域，值域為；
若↗，縱坐標(biāo)伸長；若↘，縱坐標(biāo)縮短；與縱坐標(biāo)的伸縮變換成正比
決定函數(shù)的周期，
若↗，↘，橫坐標(biāo)縮短；若↘，↗，橫坐標(biāo)伸長；與橫坐標(biāo)的伸縮變換成反比
與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acs(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
考點一、由三角函數(shù)的周期求的值
1．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（全國·高考真題）若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(>0)兩個相鄰的極值點，則=
A．2 B． C．1 D．
1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中）的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的值為（ ）
A．B．2C．1D．3
2．（2023·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且的最小值為，則的值為（ ）
A．B．C．1D．2
考點二、由三角函數(shù)的單調(diào)性求的值或取值范圍
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（22-23高一上·吉林長春·期末）（多選）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）（多選）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
考點三、由三角函數(shù)的奇偶性求的值或取值范圍
1．（2022·全國·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·陜西安康·高三統(tǒng)考）將函數(shù)（）的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．4
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林延邊·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的取值可以為（ ）
A．1B．6C．7D．8
考點四、由三角函數(shù)的對稱性求的值或取值范圍
1．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意實數(shù)x，都有，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．8
3．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2023春·遼寧朝陽·高三北票市高級中學(xué)校考）（多選）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考）若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對稱軸，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江衢州·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對稱軸，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
考點五、由三角函數(shù)的最值求的值或取值范圍
1．（2024·廣西桂林·三模）已知函數(shù)在上有最小值沒有最大值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，為的零點，且恒成立，在區(qū)間上有最小值無最大值，則的取值可以是（ ）
A．7B．3C．5D．11
1．（2024·山西·三模）（多選）已知函數(shù)，若，且，則的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·山東煙臺·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在上恰有兩個最大值點，則可能為（ ）
A．2πB．C．3πD．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
考點六、由三角函數(shù)的零點求的值或取值范圍
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
1．（22-23高一下·四川眉山·階段練習(xí)）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（天津·高考真題）已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
考點七、由三角函數(shù)的零點、極值點、最值點求的值或取值范圍
1．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上有且僅有1個極值點和1個零點，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有4個零點和4條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間恰存三個零點，兩個極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有且僅有個零點和個最大值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
考點八、由三角函數(shù)的零點、單調(diào)性求的值或取值范圍
1．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的一個零點是，且在上單調(diào)，則（ ）
A．B．C．D．
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為
A．11B．9
C．7D．5
3．（22-23高一下·江西·期中）（多選）已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（ ）
A．1B．3C．5D．7
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，為函數(shù)圖象的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函數(shù)，若，，且在上單調(diào)，則的取值可以是（ ）
A．3B．5C．7D．9
考點九、由三角函數(shù)值求的值或取值范圍
1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)函數(shù)，若存在，且，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·二模）已知函數(shù)滿足，，且在單調(diào)遞減，則的值可以為（ ）
A．2B．3C．4D．5
1．（2024·河南·二模）已知函數(shù)，若存在，，使得，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點，且，則的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
考點十、由三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性求的值或取值范圍
1．（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關(guān)于點中心對稱且關(guān)于直線對稱，則的取值個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高一上·浙江寧波·期末）已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒有最小值，則的最大值是（ ）
A．2B．6C．10D．14
1．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且在區(qū)間上是減函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若為的零點，是的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)取最大值時，（ ）
A．B．C．D．
考點十一、由三角函數(shù)的伸縮平移變換求的值或取值范圍
1．（2024·四川成都·三模）將函數(shù) 的圖象向左平移個單位后，與函數(shù) 的圖象重合，則 的最小值為（ ）
A．9B．6C．3D．2
2．（2024·山東·二模）已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位后所得的函數(shù)圖象與曲線關(guān)于對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
3．（2024·貴州貴陽·一模）將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·廣東廣州·期末）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，再將的圖像上各點的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍?，得到函?shù)的圖像，且在區(qū)間上恰有兩個極值點、兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
2．（2024·陜西西安·一模）記函數(shù)（）的最小正周期為，且，將的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．5
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到函數(shù)的圖象．若點是圖象的一個對稱中心，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川·一模）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有最值，則實數(shù)的取值范圍可能為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，可以得到函?shù)的圖象，若在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
考點十二、三角函數(shù)綜合求的值或取值范圍
1．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的一條對稱軸是，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山東·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若為圖象的一條對稱軸，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（21-22高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全國·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期中）已知，函數(shù)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）將函數(shù)（）的的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則φ的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象，若是的一個零點，則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三下·山東濟南·開學(xué)考試）若函數(shù)在上的最大值小于，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
考點十三、由三角函數(shù)的單調(diào)性、值域求其它參數(shù)的值或取值范圍
1．（23-24高一下·河北張家口·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若當(dāng)取最小值時，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
1．（2024·福建漳州·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
考點十四、由三角函數(shù)的對稱性求其它參數(shù)的值或取值范圍
1．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
1．（2024·廣東梅州·二模）若把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象關(guān)于直線對稱，則b的值為（ ）
A．B．C．D．1
考點十五、由三角函數(shù)的零點及方程的根求其它參數(shù)的值或取值范圍
1．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
1．（22-23高一下·河南南陽·期中）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在區(qū)間上有兩個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
一、單選題
1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
2．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上恰有兩個極值點，兩個零點，則的取值可能是（ ）
A．B．C．2D．
3．（2024·山西臨汾·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江寧波·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的值可能為（ ）
A．B．1C．2D．3
5．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且在上沒有最小值，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．（20-21高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)的最小正周期為，則的值可能是（ ）
A．2B．C．D．-2
8．（22-23高三上·浙江·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知 是直線 與函數(shù) 圖象的兩個相鄰交點，若，則 的值可能是（ ）
A．2B．4C．8D．10
10．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·遼寧遼陽·二模）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意，都有，則的取值可以為（ ）
A．1B．C．D．2
12．（2023·河北秦皇島·二模）已知函數(shù)是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且，則的值可以是（ ）
A．4B．12C．2D．8
一、單選題
1．（2023·四川瀘州·一模）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·山西呂梁·開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，若，且在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意的實數(shù)，在上不單調(diào)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且是的極值點，在區(qū)間內(nèi)有唯一的極大值點，則的最大值為（ ）
A．8B．7C．D．
8．（22-23高三上·浙江金華·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．12
10．（2022·天津武清·二模）設(shè)，函數(shù)．若在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象有三個交點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
11．（2022·遼寧·三模）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24高三上·山西·期末）函數(shù)，則以下說法正確的有（ ）
A．若，則在內(nèi)恰有3個零點
B．若，則在內(nèi)恰有3個極值點
C．若在內(nèi)有最小值點，則
D．若在區(qū)間單調(diào)，則
三、填空題
13．（23-24高三上·上海黃浦·期中）若是一個三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 ．
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，則的取值范圍為 .
15．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)（）在區(qū)間上有且只有兩個零點，則的取值范圍是 .
16．（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數(shù)的兩個零點，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
17．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為 ．
18．（23-24高三上·天津·期中）已知函數(shù)滿足.若在上恰好有一個最小值和一個最大值，則 ；若在上恰好有兩個零點，則的取值范圍是 .
19．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為 .
20．（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中為正整數(shù)，，且．則圖象的一個對稱中心是 ；若，則的值為
5年考情
考題示例
考點分析
關(guān)聯(lián)考點
2023年新I卷，第15題,5分
的取值范圍
余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍
2022年全國甲卷理數(shù)，第11題,5分
由正弦(型)函數(shù)的值域(最值)
求參數(shù)
利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)
正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
2022年全國甲卷文數(shù)，第5題,5分
由正弦(型)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
求圖象變化前 (后)的解析式
2022年全國乙卷理數(shù)，第15題,5分
利用csx(型)函數(shù)的對稱性求參數(shù)
求余弦(型)函數(shù)的最小正周期
第05講 ω、φ、a、b、m、t
等參數(shù)的取值范圍及最值問題（高階拓展）
（15類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題靈活，難度較中等或較高，分值為5分
【備考策略】1理解ω在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)和伸縮平移變換中的基本知識
2能結(jié)合三角函數(shù)基本知識求解ω的值或范圍
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的難點內(nèi)容，會結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、值域、零點及伸縮平移變換綜合求解，需加強復(fù)習(xí)備考
知識講解
ω在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的基本知識
，
振幅，決定函數(shù)的值域，值域為
決定函數(shù)的周期，
叫做相位，其中叫做初相
的周期公式為：
ω在伸縮平移變換中的基本知識（，是伸縮量）
振幅，決定函數(shù)的值域，值域為；
若↗，縱坐標(biāo)伸長；若↘，縱坐標(biāo)縮短；與縱坐標(biāo)的伸縮變換成正比
決定函數(shù)的周期，
若↗，↘，橫坐標(biāo)縮短；若↘，↗，橫坐標(biāo)伸長；與橫坐標(biāo)的伸縮變換成反比
與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acs(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
考點一、由三角函數(shù)的周期求ω的值
1．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.
【詳解】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，
且，所以.
故選：B.
2．（全國·高考真題）若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(>0)兩個相鄰的極值點，則=
A．2B．
C．1D．
【答案】A
【分析】從極值點可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得.
【詳解】由題意知，的周期，得．故選A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．
1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中）的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的值為（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)的最小正周期，進而求得的值，得到答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，又，
所以，可得．
故選：C．
2．（2023·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且的最小值為，則的值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】首先化簡函數(shù)解析式，再結(jié)合條件，根據(jù)函數(shù)的周期公式，即可求解.
【詳解】，
是函數(shù)的最大值，由題意可知，的最小值是個周期，
所以，得.
故選：B
考點二、由三角函數(shù)的單調(diào)性求ω的值或取值范圍
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則，解得，
故選：D
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)是其子區(qū)間即可得到的取值范圍，即得到的最大值.
【詳解】令，，結(jié)合得，
取，得．
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
得，故的最大值為．
故選：C．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征利用三角恒等變換公式將函數(shù)解析式化為一角一函數(shù)形式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】法一:由題
，令，，
因為，所以，，
因為在上單調(diào)遞增，所以且，
得．由，得，
又且，所以，.
故選:C.
法二:由題
，
由，得，
設(shè)的最小正周期為T，則由題意得，所以，
從而，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得，且，解得.
故選:C.
1．（22-23高一上·吉林長春·期末）（多選）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可知：，解之，賦值即可求解.
【詳解】因為，則，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增得，，，解得：，
由可得，
因為，，
所以令，因為，所以，故選項正確；
令，則，故選項正確；
故選：.
2．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的范圍可求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，采用整體代換的方式即可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，，
解得：，又，，
解得：，又，，，
即的取值范圍為.
故選：D.
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）（多選）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】借助輔助角公式可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍.
【詳解】，
當(dāng)，由，則，
則有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
當(dāng)時，有，時，有，
故的取值可能在或.
故選：AC.
考點三、由三角函數(shù)的奇偶性求ω的值或取值范圍
1．（2022·全國·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，
解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.
故選：C.
2．（2023春·陜西安康·高三統(tǒng)考）將函數(shù)（）的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】先求得的圖象平移后的解析式，再列出關(guān)于的方程，進而求得的最小值.
【詳解】的圖象向右平移1個單位長度后，
可得函數(shù)的圖象，
則，，即，.
又，故的最小值為1.
故選：B
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)平移變換法則得表達式，且它是偶函數(shù)，進一步可得結(jié)合即可求解.
【詳解】由題意是偶函數(shù)，
所以，解得，
又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.
故選：A.
2．（2024·吉林延邊·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】結(jié)合題意可得，
因為曲線關(guān)于軸對稱，所以，
解得,因為，所以當(dāng)時，有最小值.
故選：B.
3．（2023春·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的取值可以為（ ）
A．1B．6C．7D．8
【答案】AC
【分析】根據(jù)圖象平移性質(zhì)，三角函數(shù)奇偶性即可求解.
【詳解】由題意可知：
，因為為奇函數(shù)，
所以，
則，因為時，；
時，，所以A、C正確．
故選：AC.
考點四、由三角函數(shù)的對稱性求ω的值或取值范圍
1．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意實數(shù)x，都有，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)圖象的對稱中心，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解作答.
【詳解】因為對于任意實數(shù)x，都有，則有函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，
因此，解得，而，
所以當(dāng)時，取得最小值4.
故選：C
3．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
又函數(shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，
所以，解得，
故選：D.
1．（2023春·遼寧朝陽·高三北票市高級中學(xué)?？迹ǘ噙x）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸求出的表達式，然后判斷．
【詳解】由題意得，，
即，，
因為，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故選：ABC．
2．（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考）若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對稱軸，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡得到，再求出，結(jié)合對稱軸條數(shù)得到不等式，求出答案.
【詳解】，
因為，，所以，
因為區(qū)間上恰有唯一對稱軸，故，
解得.
故選：D
3．（2023春·浙江衢州·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對稱軸，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程為，，原題等價于有2個整數(shù)k符合，解不等式即得解.
【詳解】，
令，，則，，
函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有2條對稱軸，即有2個整數(shù)k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：D.
考點五、由三角函數(shù)的最值求ω的值或取值范圍
1．（2024·廣西桂林·三模）已知函數(shù)在上有最小值沒有最大值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用差角的余弦公式化簡函數(shù)，再由指定范圍求出相位范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時，，若在上有最小值沒有最大值，
則，所以.
故選：D
2．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，為的零點，且恒成立，在區(qū)間上有最小值無最大值，則的取值可以是（ ）
A．7B．3C．5D．11
【答案】A
【分析】依題意可得，即可得到，再由在區(qū)間上有最小值無最大值求出，從而確定的可能取值，再代入檢驗即可.
【詳解】因為為的零點，所以，
所以，①；
又恒成立，所以，
所以，②；
①②得，，所以，，
又，所以，解得，
又在區(qū)間上有最小值無最大值，所以，所以，解得，
所以的可能取值為、、、、、，
當(dāng)時，由，且，
所以，所以，
又，當(dāng)在上單調(diào)遞增，故不存在最值，不符合題意；
當(dāng)時，由，且，
所以，所以，顯然，不符合題意；
當(dāng)時，由，且，
所以，所以，
又，當(dāng)，則，
當(dāng)，即時取值最小值，
所以在區(qū)間上有最小值無最大值，符合題意；
當(dāng)時，由，且，
所以，所以，又，不符合題意；
當(dāng)時，由，且，
所以，所以，
又，當(dāng)，則，
當(dāng)，即時取值最小值，
所以在區(qū)間上有最小值無最大值，符合題意；
當(dāng)時，由，且，
所以，所以，又，不符合題意；
綜上可得或.
故選：A
1．（2024·山西·三模）（多選）已知函數(shù)，若，且，則的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】依題意可得直線是函數(shù)的一條對稱軸，即可得到，從而求出的值，再由兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，由時函數(shù)取得最小值求出.
【詳解】因為，所以時函數(shù)取得最小值，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，
又因為，所以，即，所以，
所以，
所以，解得，
當(dāng)時，當(dāng)時.
故選：BC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性得到，從而確定的值.
2．（22-23高三上·山東煙臺·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在上恰有兩個最大值點，則可能為（ ）
A．2πB．C．3πD．
【答案】BC
【分析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】解：函數(shù)，
，．
又函數(shù)在上恰有兩個最大值點，
，解得．
故選：BC．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得出 ，其中，求得，進而求得的取值范圍．
【詳解】當(dāng)時，因為，則，
因為函數(shù)在上存在最值，可得，解得，
當(dāng)時，可得，
因為函數(shù)在上單調(diào)，則，
所以 ，其中，解得，
所以，解得，
又因為，則，所以，所以，
因此的取值范圍是．
故選：D．
考點六、由三角函數(shù)的零點求ω的值或取值范圍
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
1．（22-23高一下·四川眉山·階段練習(xí)）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】令，求出，解不等式得解.
【詳解】，令，解得，；
因為，取，
所以，即.
故選:BCD.
2．（天津·高考真題）已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把化成，求出的零點的一般形式為，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點可得關(guān)于的不等式組，結(jié)合為整數(shù)可得其相應(yīng)的取值，從而得到所求的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)有，
令，則有即.
因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，
故存在整數(shù)，使得，
即，因為，所以且，故或，
所以或，
故選：D.
【點睛】本題考查三角函數(shù)在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為不等式組的整數(shù)解問題，本題屬于難題.
考點七、由三角函數(shù)的零點、極值點、最值點求ω的值或取值范圍
1．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上有且僅有1個極值點和1個零點，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由求出的表達式，再由極值點及零點個數(shù)求出的范圍即可得解.
【詳解】當(dāng)時，，依題意，，解得，
由，得，解得，所以.
故選：A
2．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有4個零點和4條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的零點及對稱性列式求解即得.
【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，
由在區(qū)間內(nèi)有且僅有4個零點，得，解得，
由在區(qū)間內(nèi)有且僅有4條對稱軸，得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C
1．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
2．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間恰存三個零點，兩個極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的取值范圍求出，再結(jié)合題意及正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.
【詳解】當(dāng)，則，，
依題意可得，解得，
即的取值范圍是.
故選：A
3．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有且僅有個零點和個最大值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.
【詳解】易知，
由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知.
故選：B
考點八、由三角函數(shù)的零點、單調(diào)性求ω的值或取值范圍
1．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的一個零點是，且在上單調(diào)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理可得，以為整體，根據(jù)單調(diào)性分析可得，再結(jié)合零點分析求解.
【詳解】因為，
，且時，
可得，且，
若在上單調(diào)，則，解得，
又因為的一個零點是，則，解得，
所以.
故選：B.
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為
A．11B．9
C．7D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（，）上單調(diào)，可得ω的最大值．
【詳解】∵x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω為正奇數(shù)，
∵f（x）在（，）上單調(diào)，則，
即T，解得：ω≤12，
當(dāng)ω＝11時，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時f（x）在（，）不單調(diào)，不滿足題意；
當(dāng)ω＝9時，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時f（x）在（，）單調(diào)，滿足題意；
故ω的最大值為9，
故選B．
【點睛】本題將三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性結(jié)合在一起進行考查,題目新穎,是一道考查能力的好題.注意本題求解中用到的兩個結(jié)論：①的單調(diào)區(qū)間長度是最小正周期的一半;②若的圖像關(guān)于直線對稱,則或.
3．（22-23高一下·江西·期中）（多選）已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】AB
【分析】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合可知是函數(shù)的零點，進而得到，，由在上單調(diào)，可得，進而，分類討論驗證單調(diào)性即可判斷.
【詳解】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又，即是函數(shù)的零點，
則，，
即，.
由在上單調(diào)，
則，即，
所以.
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上不單調(diào)，故不符合題意.
綜上所述，或3.
故選：AB.
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，為函數(shù)圖象的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的對稱性求出，再結(jié)合其單調(diào)性確定的范圍，二者結(jié)合，即可求得答案.
【詳解】由題意知直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，為函數(shù)圖象的一個對稱中心，
故，則，，
又在上單調(diào)遞減，則，
即得，結(jié)合，即，
故當(dāng)時，；當(dāng)時，；
取其它值時，不合題意，
故的最大值為，
故選：B．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函數(shù)，若，，且在上單調(diào)，則的取值可以是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)可知時，函數(shù)取到最大值，結(jié)合，可求出，結(jié)合選項，分類討論，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求得的值，利用函數(shù)的單調(diào)性確定的具體值，即可求得答案.
【詳解】因為，故時，函數(shù)取到最大值，
又，可知為的對稱中心，
故，
故；
又在上單調(diào)，故，
即，
結(jié)合選項，當(dāng)時，，時，函數(shù)取到最大值，
故，則，
結(jié)合，沒有符合題意的值，不合題意；
當(dāng)時，，時，函數(shù)取到最大值，
故，則，
結(jié)合，沒有符合題意的值，不合題意；
當(dāng)時，，時，取到最大值，
故，則，
結(jié)合，可得，則，
由，得，
由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，不合題意；
當(dāng)時，，時，取到最大值，
故，則，
結(jié)合，可得，則，滿足為的對稱中心，
由，得，
由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，符合題意；
故
故選：A
【點睛】易錯點點睛：本題考查了根據(jù)的性質(zhì)求解參數(shù)，容易出錯的地方是求出參數(shù)的范圍后，確定其具體值時，在分類討論時很容易出錯，錯在不能結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定取舍.
考點九、由三角函數(shù)值求ω的值或取值范圍
1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)函數(shù)，若存在，且，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，求出，結(jié)合以及題設(shè)可列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由于，當(dāng)時，，
又，，
而在原點左側(cè)第一個使得的x的值為，即，
由于存在，且，使得，
故需滿足，
即的取值范圍是，
故選：B
2．（2024·全國·二模）已知函數(shù)滿足，，且在單調(diào)遞減，則的值可以為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先根據(jù)題目條件得函數(shù)對稱性，根據(jù)對稱性求出和的表達式，然后根據(jù)單調(diào)性確定的范圍，然后代入和的值驗證即可.
【詳解】因為，所以的圖像關(guān)于對稱，
所以①，
又，即，且在單調(diào)遞減，
所以的圖像關(guān)于點對稱，
所以②，
①+②得，即，
又，所以或，
②-①得，即，為正奇數(shù)，
由在單調(diào)遞減得，
所以，所以，又為正奇數(shù)，則或，
當(dāng)時，，此時無整數(shù)解，所以，
所以，當(dāng)時，，
此時在單調(diào)遞減，符合條件，
故的值可以為，
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于已知三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍的問題，正常情況下對稱性比較好處理，關(guān)鍵是通過性質(zhì)確定的取值范圍，本題就是通過單調(diào)性確定周期的范圍，進而得到的范圍.
1．（2024·河南·二模）已知函數(shù)，若存在，，使得，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】化簡得，由題意可得在上至少有兩個相鄰的對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組求解即可.
【詳解】由題意知，
由于，
則在上至少有兩個相鄰的對稱軸，
令，，則，，
當(dāng)時，不等式組無解，當(dāng)時，解為，
因此的最小值為，
故選：C.
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點，且，則的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用輔助角公式可得，結(jié)合選項，確定的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)驗證函數(shù)是否有3個零點且滿足即可.
【詳解】.
A：當(dāng)時，，
由，得，函數(shù)有3個零點；
，
所以，不符合題意，故A錯誤；
B：當(dāng)時，，
由，得，函數(shù)有3個零點；
，
，
，
所以，符合題意，故B正確；
C：當(dāng)時，，
由，得，
函數(shù)不止有3個零點，不符合題意，故C錯誤；
D：當(dāng)時，，
由，得，
函數(shù)不止有3個零點，不符合題意，故D錯誤；
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題，確定的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.
考點十、由三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性求ω的值或取值范圍
1．（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關(guān)于點中心對稱且關(guān)于直線對稱，則的取值個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)的對稱性求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍，即可確定k的值，一一驗證k的取值，是否符合題意，即可確定的可能值，從而得解.
【詳解】由題意得的圖象關(guān)于點中心對稱且關(guān)于直線對稱，
故，則，
即，
由函數(shù)在上單調(diào)，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
當(dāng)時，，則，結(jié)合，得，
則，此時，
當(dāng)時，，由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)時，，則，結(jié)合，得，
則，此時，
當(dāng)時，，由于在上不單調(diào)，
故在上不單調(diào)，此時不合題意；
當(dāng)時，，則，結(jié)合，得，
則，此時，
當(dāng)時，，由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
綜上，或.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用的對稱性與單調(diào)性得到的可能取值，從而檢驗得解.
2．（23-24高一上·浙江寧波·期末）已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒有最小值，則的最大值是（ ）
A．2B．6C．10D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，再由在上沒有最小值，求出答案.
【詳解】由題意知，
因為為奇函數(shù)，所以，
，
因為為偶函數(shù)，所以，
相加得，
又因為，所以，
當(dāng)代入得，即，
代入得，即，即；
當(dāng)代入得，即，
代入得，即，即；
因為 在上沒有最小值，
設(shè)，則，所以，的最大值是6.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個：一是利用奇偶性求出及的表達式；二是利用區(qū)間上沒有最小值可求的不等關(guān)系.
1．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且在區(qū)間上是減函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件，確定的取值，解得，令，結(jié)合已知條件根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，取值情況得到關(guān)于的不等式，求解即可.
【詳解】

因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
所以，又因為，所以，
所以；
令，因為，則，即，
的減區(qū)間為，
又在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以是區(qū)間的子集，
因為，所以，，
只有時區(qū)間是由負到正，所以有：
，，解得；
因為函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，
相當(dāng)于，在上只有一個最小值，
所以有：，，解得；
綜上取交集有：，解得.
故選：D
2．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若為的零點，是的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)取最大值時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)求得，再結(jié)合零點和對稱軸得，即可得，最后根據(jù)對稱軸得，結(jié)合，求解驗證即可.
【詳解】
因為的最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)，所以，
又，故①；
又因為為的零點，是的圖象的對稱軸，
所以（），整理，得（）②.
由①②得且為奇數(shù)，當(dāng)時，將代入，
令（），得，
又，故取，得，此時（）.
驗證當(dāng)時，，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故實數(shù)的最大值為，此時.
故選：B
考點十一、由三角函數(shù)的伸縮平移變換求ω的值或取值范圍
1．（2024·四川成都·三模）將函數(shù) 的圖象向左平移個單位后，與函數(shù) 的圖象重合，則 的最小值為（ ）
A．9B．6C．3D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，運算求解即可得結(jié)果.
【詳解】將的圖象向左平移個單位，得到，
則，所以，，又，
所以的最小值為3.
故選：C.
2．（2024·山東·二模）已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位后所得的函數(shù)圖象與曲線關(guān)于對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的圖象平移后所得函數(shù)的解析式，再利用對稱列式計算即得.
【詳解】函數(shù)，的圖象向左平移個單位后所得函數(shù)，
函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，則，
于是對任意實數(shù)恒成立，
即對任意實數(shù)恒成立，
因此，解得，而，則，
所以當(dāng)時，取得最小值.
故選：A
3．（2024·貴州貴陽·一模）將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)，代入函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦導(dǎo)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律可知，，
，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，
得.
故選：B
4．（23-24高一上·廣東廣州·期末）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象平移與伸縮變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象先判斷，根據(jù)正弦型圖象的零點，列出不等式組，解出的范圍即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得，
再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，可得的圖象，
因為，周期，函數(shù)在上沒有零點，
則，所以，
因為，所以，
又在上沒有零點，所以，解得，
又因為， ，，所以或，
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個，一是利用圖象變換能準(zhǔn)確求出變換后的函數(shù)解析式；二是利用區(qū)間內(nèi)沒有零點列出限制條件.
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，再將的圖像上各點的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍?，得到函?shù)的圖像，且在區(qū)間上恰有兩個極值點、兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】現(xiàn)根據(jù)函數(shù)平移放縮變換，得到解析式，再根據(jù)在區(qū)間上恰有兩個極值點、兩個零點，結(jié)合余弦函數(shù)圖象進行求解即可.
【詳解】法一：由題意，得，所以．令，，則．設(shè)，則在上恰有兩個極值點和兩個零點．結(jié)合圖像知，解得．
法二：驗證排除法.由題意可知，所以，根據(jù)四個選項的特點，只有選項C中不含，所以只需要驗證時的情況，若，則，令，因為，所以，結(jié)合圖像知此范圍內(nèi)由兩個零點，一個極小值點，不符合題意，所以，故選C.
法三：由題可知，，所以，令， ，則，，分別令，則，，，由題意知解得.
， ，則，，分別令，則，，，由題意知解得，綜上所述，.
故選：C．
1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】A
【分析】
結(jié)合圖象變換求得解析式，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意知，（）
又因為為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱.
所以，，解得，，
又，所以當(dāng)時，取得最小值為.
故選：A.
2．（2024·陜西西安·一模）記函數(shù)（）的最小正周期為，且，將的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，求得，進而的平移后的函數(shù)為，根據(jù)的圖象關(guān)于軸對稱，求得，即可得到答案.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，且，
所以，因為，可得，
所以的圖象向右平移個單位后得到，
因為所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，
可得，因為，所以的最小值為.
故選：D.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到函數(shù)的圖象．若點是圖象的一個對稱中心，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用輔助角公式化簡，進而根據(jù)三角函數(shù)圖象平移求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意可得，
所以將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，
再把所得圖象上點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到函數(shù)的圖象，
因為點是圖象的一個對稱中心，
所以，解得，
又，所以的最小值為．
故選：C
4．（2023·四川·一模）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖象變換求出的解析式，利用周期縮小的范圍，再從反面求解可得結(jié)果.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，
再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，
即，因為函數(shù)在上沒有零點，則，即，
即，則，由，得，得，
若函數(shù)在上有零點，則，，
即，又，則.當(dāng)時，解得.
當(dāng)時，解得.當(dāng)時，解得，與矛盾.
綜上，若函數(shù)在上有零點，則或，
則若沒有零點，則或.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角函數(shù)平移法則求出函數(shù)的解析式，利用間接法求解的范圍是解決本題的關(guān)鍵.
5．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有最值，則實數(shù)的取值范圍可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由三角函數(shù)的圖象變換，得到，結(jié)合題意得出到，求得，再由，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，得到，
由，解得，
可得，解得，
因，所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
故選：ACD．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，可以得到函?shù)的圖象，若在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)圖象的變換求出，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，
再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，即
因為，所以，
因為在上無零點，所以，
即，解得，
因為，所以，.
故選：A
考點十二、三角函數(shù)綜合求φ的值或取值范圍
1．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的一條對稱軸是，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦型函數(shù)的對稱性可得出的表達式，結(jié)合的取值范圍，可得出的值.
【詳解】因為函數(shù)的一條對稱軸是，
則，所以，，
因為，則.
故選：C.
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函數(shù)的平移變化結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解方程即可得出答案.
【詳解】因為向右平移個單位后解析式為，
又圖象關(guān)于原點對稱，
時，，
故選：B.
3．（2024·山東·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若為圖象的一條對稱軸，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題先根據(jù)三角函數(shù)圖像平移的規(guī)則求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸求出和整數(shù)k的關(guān)系式，再對k取值即可求解.
【詳解】由題意得：，
又因為是的一條對稱軸，
所以，
即，下面結(jié)合選項對整數(shù)k取值（顯然k取負整數(shù)）：
時，；
時，；
時，；
時，.
故選：B.
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定周期求得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點所在區(qū)間列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，得，而，解得，
則，由，
得，又在上單調(diào)遞減，
因此，且，解得①，
由余弦函數(shù)的零點，得，即，
而在上存在零點，則，
于是②，又，聯(lián)立①②解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
5．（21-22高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)周期求出，結(jié)合的范圍及，得到，把看做一個整體，研究在的零點，結(jié)合的零點個數(shù)，最終列出關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
由，即，得，
當(dāng)時，，又，則，
因為在的零點為，
且在內(nèi)恰有3個零點，所以或，
解得，
故選：D
1．（2024·全國·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.
【詳解】依題意，函數(shù)是偶函數(shù)，則，
即，而，所以.
故選：B
2．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期中）已知，函數(shù)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依題意為最大值或最小值，從而得到為函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，最后確定的最小正值.
【詳解】因為，且，，
即為最大值或最小值，即為函數(shù)的一條對稱軸，
所以，
解得，
又，所以當(dāng)時取得最小值.
故選：B
3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）將函數(shù)（）的的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則φ的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用伸縮變換得到，，所以或，得到φ的最小值是．
【詳解】由題意得，則，
所以或者，，
則或者，，因為，所以φ的最小值是．
故選：A．
4．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象，若是的一個零點，則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依題利用平移變換得到方程，從中求得，將其代入另一條件，整理得即可判斷結(jié)果.
【詳解】依題意，，則，解得；
又即得，，
則得，即，.
故選：B.
5．（23-24高三下·山東濟南·開學(xué)考試）若函數(shù)在上的最大值小于，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)x的范圍，確定，由題意可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知，，則，且，
函數(shù)在上的最大值小于，
即此時，
在內(nèi)，的函數(shù)值對應(yīng)的x的值為，，，
①當(dāng)，且時，滿足題意，此時；
②當(dāng)，且時，滿足題意，此時，
綜合上述，可得的取值范圍是，
故選：D
考點十三、由三角函數(shù)的單調(diào)性、值域求其它參數(shù)的值或取值范圍
1．（23-24高一下·河北張家口·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出相位所在區(qū)間，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列式求解即得.
【詳解】當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，解得，
所以實數(shù)a的最大值為.
故選：B
2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若當(dāng)取最小值時，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)奇偶性和對稱性確定的最小值，然后由單調(diào)性可解.
【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，
所以或，
又，所以的圖象關(guān)于，
所以，即，所以，
當(dāng)時，由得，，
所以，此時在區(qū)間上單調(diào)，
又因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，
所以的最大值為.
故選：C
3．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由圖象求出函數(shù)，再由平移變換得函數(shù)，結(jié)合整體法求值域，從而求的取值范圍.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，
所以，則，故，
又的圖象過點，所以，
所以，又，所以，
則，
則.
當(dāng)時，，
當(dāng)或.即或時，，
當(dāng)，即時，，
所以的取值范圍為.
故選：C.
1．（2024·福建漳州·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因為，則，
由題意可得，解得，即實數(shù)的最大值為.
故選：C.
2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性計算即可.
【詳解】易知，，
在時，，
顯然，
若要符合題意，且能取得最大值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知需滿足：
，故的最大值為.
故選：A
3．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)圖象的平移可得的表達式，求出其單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合在上單調(diào)遞增，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，
故，
令，則，
即的單調(diào)增區(qū)間為，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
而，故，解得，
即實數(shù)t的取值范圍是，
故選：A
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助余弦函數(shù)的單調(diào)性與值域的關(guān)系計算即可得.
【詳解】時，，
由函數(shù)在區(qū)間上的值域為，
故函數(shù)在區(qū)間上的值域為，
則有，即.
故選：A.
考點十四、由三角函數(shù)的對稱性求其它參數(shù)的值或取值范圍
1．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為（其中），
又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，
所以，解得.
故選：D
1．（2024·廣東梅州·二模）若把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得平移后的解析式，根據(jù)，即可由和差角公式化簡求解．
【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，
，
則，
即，
即，該方程對任意恒成立，
則，解得．
故選：C．
2．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象關(guān)于直線對稱，則b的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為（其中），
又的最小正周期為，，所以，則，
所以，
又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，
所以，解得.
故選：D
考點十五、由三角函數(shù)的零點及方程的根求其它參數(shù)的值或取值范圍
1．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析可知在的兩個零點情況，進而列出關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】依題意，，
由，可得，
因在上恰有兩個零點，
注意到區(qū)間的中點為，
則在上恰有兩個零點為，
故需使，解得，
故選：B.
1．（22-23高一下·河南南陽·期中）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在區(qū)間上有兩個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換，求得，把方程在區(qū)間上有兩個不同的根，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象，即可求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得，
再將得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，可得，
由，可得，
當(dāng)時，即時，可得；
當(dāng)時，即時，可得；
當(dāng)時，即時，可得，
若方程在區(qū)間上有兩個不同的根，
即函數(shù)與的圖象有兩個交點，如圖所示，
可得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
一、單選題
1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】首先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)題意求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】對于函數(shù)，令，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
當(dāng)時函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
則的最大值為.
故選：B
2．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上恰有兩個極值點，兩個零點，則的取值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】CD
【分析】設(shè)，利用極值點求出的取值范圍，即可得出的可能取值.
【詳解】由題意，，
在中，則，
因為在上恰有兩個極值點，兩個零點，
所以，即．
故的取值范圍是．
故選：CD.
3．（2024·山西臨汾·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先對解析式進行降冪，再平移得到，利用奇函數(shù)特征求得，考慮范圍即得.
【詳解】由向左平移個單位得到的圖象，
因為奇函數(shù)，故，則，即，又，則.
故選：C.
4．（2023·浙江寧波·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的值可能為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】ABC
【分析】先利用三角函數(shù)平移得到的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題意可得，從而得解.
【詳解】依題意，，
由，得：，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
因為在上為增函數(shù)，
所以只考慮的一個單調(diào)遞增區(qū)間，
故，即，解得，
所以選項D不滿足，選項ABC滿足.
故選：ABC.
5．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
6．（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且在上沒有最小值，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化簡解析式，根據(jù)對稱性可得，再結(jié)合最小值點即可求解.
【詳解】，
因為的圖象關(guān)于點對稱，
所以，
故，即，
當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，
因為在上沒有最小值，
所以，即，
由解得，故，得.
故選：B
二、多選題
7．（20-21高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)的最小正周期為，則的值可能是（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】BC
【解析】根據(jù)周期公式求解即可.
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為
所以，
故選：BC.
【點睛】本題主要考查了根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
8．（22-23高三上·浙江·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】方法一：首先求得，由在上單調(diào)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合可確定所有可能的取值，由此可得的范圍，進而確定選項；
方法二：利用誘導(dǎo)公式可化簡得到，得到，根據(jù)，可確定，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得的范圍，進而確定選項.
【詳解】方法一：當(dāng)時，，
在區(qū)間上單調(diào)，
或，
或；
由得：；又，；，
又，，，又，；
由得：；又，，，
又，，，即；
綜上所述：.
方法二：，
當(dāng)時，；
在上單調(diào)，，；
由，知：或，解得：或，
.
故選：AC.
9．（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知 是直線 與函數(shù) 圖象的兩個相鄰交點，若，則 的值可能是（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】AD
【分析】因為的圖象與直線的相鄰交點的距離為或，占周期的比例的或，由此結(jié)合周期公式列式求解即可.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為,
則或者，
即或，
解得或，
故選：AD.
10．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和零點個數(shù)，可確定的取值范圍，從而確定正確的選項.
【詳解】由，，.
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
又因為，，所以，，
因為，所以，
因為在區(qū)間上有且僅有一個零點，
所以在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，
所以，解得，
綜上，，故BC正確，AD錯誤.
故選：BC
11．（2022·遼寧遼陽·二模）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意，都有，則的取值可以為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】BCD
【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知，，由此可得，，再根據(jù)和，可知，進而求出；根據(jù)對任意，都有，可知，，可知，再根據(jù)和，可知，求得，由此即可求出的范圍，進而求出結(jié)果.
【詳解】由，得，
則，，
解得，.
由，，得，，
因為，所以當(dāng)時，不符合條件，故，即.
由，得，
則，，
解得，，
由，，得，，
因為，所以當(dāng)時，不符合條件，故，即.
綜上所述，的取值范圍為.
所以的取值可以為選項中的，，2.
故選：BCD.
12．（2023·河北秦皇島·二模）已知函數(shù)是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且，則的值可以是（ ）
A．4B．12C．2D．8
【答案】AB
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)在取得最值，可得；求出的范圍，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，列出不等式關(guān)系，繼而可求出的取值范圍，再結(jié)合條件，即可確定的值.
【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，所以，
根據(jù)，則，
因為是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，
所以
，
因為，所以或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
由于是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，
且，
所以，
所以，，
，
根據(jù)或，
可得，或.
故選:
一、單選題
1．（2023·四川瀘州·一模）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對進行最值分析，對區(qū)間上進行單調(diào)分析；
【詳解】當(dāng)時，因為，則，
因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，
當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)，
則，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因為，則．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
又因為2，因此的取值范圍是．
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析是本題的核心.
2．（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先令，求得或，再根據(jù)題意嘗試的值可確定，進而得到的4個零點，結(jié)合題意排除其中1個零點有兩種情況，分別求之即可得到的取值范圍.
【詳解】∵，即，
∴或，，
∴或，，
∵，即，
∴當(dāng)時，且，即所有根都小于零，
當(dāng)時，且，即所有根都大于，
綜上：，即在內(nèi)的三個零點為，，，中的三個.
由于上述4個值是依次從小到大排列，且，
故有兩種情況，分別為：
，解得，故，
或，解得，故，
故或，即.
故選：D．
3．（23-24高三上·山西呂梁·開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，若，且在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式和求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.
【詳解】由題意的最小正周期為T，則，
又，可得，即，
又，所以，
在區(qū)間上恰有3個零點，
當(dāng)時，，
結(jié)合函數(shù)的圖象如圖所示：

則在原點右側(cè)的零點依次為，，，，…，
所以，解得，即的取值范圍為．
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求解是解題關(guān)鍵.
4．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】因為函數(shù)在上恰有4個不同的零點，
則方程在上恰有4個不同的解，
即方程在上恰有4個不同的解，
所以函數(shù)與函數(shù)在上恰有4個不同的交點，
因為函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
函數(shù)是由函數(shù)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?br>作出兩個函數(shù)圖象，如圖：
要使函數(shù)與函數(shù)在上恰有4個不同的交點，
由圖知：的周期滿足，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：B
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題的解決辦法：
（1）直接法：根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
5．（23-24高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，得函數(shù)的對稱軸為，所以有，可得，解得，再分類討論又在區(qū)間上單調(diào)遞增和遞減兩種情況，對每一種情況列出關(guān)于的不等式組，解之可求得的值.
【詳解】因為，所以函數(shù)的對稱軸為，
所以，即，，
解得，，，，，
①若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，
，，
，即，解得，，
所以，，且，，所以當(dāng)時，滿足題意；
②若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，
，，
，即，解得，，
所以，，且，，此時無解，綜上可得.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查正弦型函數(shù)的對稱性，單調(diào)性問題中求參數(shù)的范圍的方面，關(guān)鍵在于根據(jù)其函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于參數(shù)的不等式組.
6．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意的實數(shù)，在上不單調(diào)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得，由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，利用正弦函數(shù)的周期性可求的周期，解得，即可得解．
【詳解】因為
，
又因為，且，則，
若在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
因為對任意的實數(shù)，在上不單調(diào)，
所以的周期，所以，
所以．
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用及對任意實數(shù)，在上不單調(diào)與周期間的關(guān)系.
7．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且是的極值點，在區(qū)間內(nèi)有唯一的極大值點，則的最大值為（ ）
A．8B．7C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到，進而得到，求得，分類討論，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且是的極值點，
可得，即，其中，
因為，當(dāng)時，當(dāng)時，
因為在區(qū)間內(nèi)有唯一的極大值點，所以，
解得，即，所以，
當(dāng)時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；
當(dāng)時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；
當(dāng)時，，此時，此時有一個極大值點，
所以的最大值為.
故選：C.
8．（22-23高三上·浙江金華·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時，恒成立，列出不等關(guān)系，通過賦值，并結(jié)合的本身范圍進行求解.
【詳解】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因為函數(shù)在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因為，當(dāng)時，由①②可知：，解得；
當(dāng)時，由①②可知：，解得.
所以的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整體范圍滿足組對應(yīng)的單調(diào)性或者對應(yīng)的條件關(guān)系，羅列出等式或不等式關(guān)系，幫助我們進行求解.
9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】
直接利用，，求出和的表達式，進一步利用在區(qū)間上有且只有一個極大值點，通過分類討論求出的值，進而可得最大值.
【詳解】由已知得，，，
則，
其中，
因為，
當(dāng)時，
當(dāng)時，，
因為在區(qū)間上有且只有一個極大值點，
所以，
解得，
即，
所以，
當(dāng)時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；
當(dāng)時，，此時，此時有一個極大值點，成立；
所以的最大值為.
故選：A.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過條件將和都用整數(shù)表示出來，然后對的值由大到小討論找到符合條件的結(jié)果.
10．（2022·天津武清·二模）設(shè)，函數(shù)．若在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象有三個交點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可求得在上單調(diào)遞增這個條件的范圍，再根據(jù)函數(shù)與的圖象有三個交點，則在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，從而可得第二個條件下的的范圍，取交集即可得出答案，注意說明時，函數(shù)與的圖象只有一個交點.
【詳解】解：當(dāng)時，，
因為在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
又因函數(shù)與的圖象有三個交點，
所以在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，
即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
所以，解得，
當(dāng)時，
當(dāng)時，令，
由，
當(dāng)時，，
此時，，
結(jié)合圖象，所以時，函數(shù)與的圖象只有一個交點，
綜上所述，.
故選：B.
二、多選題
11．（2022·遼寧·三模）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對稱性以及函數(shù)值相等與周期之間的關(guān)系可求得的值.
【詳解】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).
設(shè)的最小正周期為T，則由題意可得，即.由在上單調(diào)，且，得的一個零點為.因為，所以有以下三種情況：①，則；②，則；③，則.
故選：ACD.
12．（23-24高三上·山西·期末）函數(shù)，則以下說法正確的有（ ）
A．若，則在內(nèi)恰有3個零點
B．若，則在內(nèi)恰有3個極值點
C．若在內(nèi)有最小值點，則
D．若在區(qū)間單調(diào)，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的零點、極值點、最值點和單調(diào)性一一分析即可.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，其零點滿足，故，
故，其中在區(qū)間內(nèi)恰有3個，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，其極值點滿足，故，
故，其中在區(qū)間內(nèi)只有2個，故B錯誤；
對于C，的最小值點滿足，解得，
因為，則最小值為，令，得，故C正確；
對于D，的極值點滿足，即，
若在單調(diào)，需（*），
由得，即，
當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得；
當(dāng)，解（*）得，又，故；當(dāng)時，對應(yīng)的均為負值，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題D選項的關(guān)鍵是找到單調(diào)區(qū)間的通式，從而得到不等式組，解出范圍，再對合理賦值即可.
三、填空題
13．（23-24高三上·上海黃浦·期中）若是一個三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由函數(shù)解析式求出含參單調(diào)區(qū)間，根據(jù)，結(jié)合角的范圍確定是那個單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，即可列不等式解除答案.
【詳解】函數(shù)，
令，解得：，
令，解得：
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則，
是一個三角形的內(nèi)角，
，，
，
要使，
只能令，得，且，
此時，
則，
則，解得，
是一個三角形的內(nèi)角，
，
若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則，
，，
要使，
只能令，得，且，
此時，
則，
則，解得，與矛盾，
函數(shù)在區(qū)間上是不能是單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上所述，，
故答案為：.
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的最值點可得，并結(jié)合x的取值范圍分析求解.
【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，
即數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個最值點，
則，解得，
故函數(shù)的最值點為.
不妨設(shè)在區(qū)間上僅有的一個最值點為，
則，即，
則，得，
解得，所以.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
綜上，的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求解函數(shù)的性質(zhì)問題的三種意識
（1）轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式．
（2）整體意識：類比的性質(zhì)，只需將中的“”看成中的“x”，采用整體代入求解；
（3）討論意識：當(dāng)A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論.
15．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)（）在區(qū)間上有且只有兩個零點，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.
由于在區(qū)間上有且只有兩個零點，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用整體法得到，再根據(jù)零點個數(shù)得到不等式組，解出即可.
16．（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數(shù)的兩個零點，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)零點的最小距離可得，再利用平移規(guī)則和函數(shù)奇偶性可求得，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點可限定出，即可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得或；
根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，解得；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位后可得為偶函數(shù)，
則，又可得；
因此；
當(dāng)時，可知，
若函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，可知，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)根據(jù)兩零點的最小距離求得，再由平移后的函數(shù)為偶函數(shù)求得，得出函數(shù)的解析式后問題便迎刃而解.
17．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)題意確定，從而結(jié)合，確定，由此分類討論，即討論與余弦函數(shù)的零點，的位置關(guān)系，列不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，
故函數(shù)的最小正周期,
又，則，而，
當(dāng)時，即時，需有，即，此時；
當(dāng)時，即時，，此時函數(shù)在上無零點，不合題意；
當(dāng)時，即時，需有，即，此時；
當(dāng)時，即時，，此時函數(shù)在上有一零點，符合題意；
當(dāng)時，即時，需有，即，此時；
綜合上述，得的取值范圍為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了根據(jù)余弦型函數(shù)的零點個數(shù)，求解參數(shù)范圍問題，解答的難點在于要根據(jù)，確定，由此要分類討論該區(qū)間的兩端點的位置關(guān)系，結(jié)合余弦函數(shù)的對稱中心，列不等式求解參數(shù)范圍.
18．（23-24高三上·天津·期中）已知函數(shù)滿足.若在上恰好有一個最小值和一個最大值，則 ；若在上恰好有兩個零點，則的取值范圍是 .
【答案】 4
【分析】整理得.空1：根據(jù)題意可知，進而可求；空2：根據(jù)周期性特征分析可知，進而可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解.
【詳解】因為，設(shè)的最小值正周期為，
若在上恰好有一個最小值和一個最大值，且，
則，所以；
若在上恰好有兩個零點，則，解得，
即，且，可得，
因為，則，
且，
且，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范圍是.
故答案為：4；.
【點睛】方法點睛：求解函數(shù)的性質(zhì)問題的兩種意識：
1.轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式．
2.整體意識：類比的性質(zhì)，只需將中的“”看成中的“x”，采用整體代入求解．
19．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的零點和對稱軸得到，從而得到；再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)得到，從而得到；進而可得然后再驗證時函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，從而得到.
【詳解】因為為函數(shù)的一個零點，且是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，
所以，所以，所以；
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
所以，即，所以，所以，
又因為，所以
當(dāng)時，，，，
又因為，則所以，
又，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以舍去；
當(dāng)時，，，，，
又因為，則所以.
又，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以.
故答案為：.
20．（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中為正整數(shù)，，且．則圖象的一個對稱中心是 ；若，則的值為 ．
【答案】 答案不唯一 /
【分析】根據(jù)單調(diào)區(qū)間，以及可得，進而可得對稱中心；先根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出的可能取值，然后根據(jù)得到和的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系以及的可能取值對照驗證計算即可.
【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)，
且，，
所以，
所以圖象的一個對稱中心是；
由題設(shè)，的最小正周期，
故，由，得，
由為的一個對稱中心，
所以①；
因為，所以或.
若②，①-②得，
即，不存在整數(shù)，使得.
若③，①-③得，
即，不存在整數(shù)使得，當(dāng)時，.
此時，由，
得.
故答案為：；
【點睛】思路點睛：解決本題的思路是通過確定，聯(lián)立和可得或，分別驗證是否有，即可求得
5年考情
考題示例
考點分析
關(guān)聯(lián)考點
2023年新I卷，第15題,5分
的取值范圍
余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍
2022年全國甲卷理數(shù)，第11題,5分
由正弦(型)函數(shù)的值域(最值)
求參數(shù)
利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)
正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
2022年全國甲卷文數(shù)，第5題,5分
由正弦(型)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
求圖象變化前 (后)的解析式
2022年全國乙卷理數(shù)，第15題,5分
利用csx(型)函數(shù)的對稱性求參數(shù)
求余弦(型)函數(shù)的最小正周期

相關(guān)學(xué)案

2025高考數(shù)學(xué)專項講義第04講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項講義第04講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(學(xué)生版+解析)，共92頁。學(xué)案主要包含了命題規(guī)律，備考策略，命題預(yù)測，整體點評，通性通法，分類討論，名師點睛等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學(xué)專項講義第03講平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高階拓展)(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項講義第03講平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高階拓展)(學(xué)生版+解析)，共36頁。學(xué)案主要包含了命題規(guī)律，備考策略，命題預(yù)測等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第09講拓展四：三角形中周長(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第09講拓展四：三角形中周長(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)，共44頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第08講拓展三：三角形中面積(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第08講拓展三：三角形中面積(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)
2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第09講拓展四：三角形中周長(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第09講拓展四：三角形中周長(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)
2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第08講拓展三：三角形中面積(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第08講拓展三：三角形中面積(定值，最值，取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題6第3講母題突破1范圍、最值問題(學(xué)生版+解析)

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題6第3講母題突破1范圍、最值問題(學(xué)生版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部