1.(2024·遼寧錦州模擬)已知直線l與拋物線C,則“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.直線y=x+1與橢圓x2+=1的位置關(guān)系是( )
A.相離B.相切
C.相交D.無(wú)法確定
3.已知直線l交橢圓=1于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為(-1,1),則直線l的斜率為( )
A.-2B.-C.2D.
4.(2024·遼寧朝陽(yáng)模擬)過(guò)拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線,垂足為D(-1,-1),則|AB|=( )
A.B.C.18D.20
5.(2024·浙江強(qiáng)基聯(lián)盟模擬)已知雙曲線x2-=1,過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線l與該雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),若P是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程為( )
A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0D.該直線不存在
6.(2023·全國(guó)乙,理11)設(shè)A,B為雙曲線x2-=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可以為線段AB中點(diǎn)的是( )
A.(1,1)B.(-1,2)
C.(1,3)D.(-1,-4)
7.(2024·貴州遵義模擬)已知拋物線x2=2y上兩點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)M(2,t)對(duì)稱,則直線AB的斜率為 .
8.已知橢圓E:+y2=1,直線l:y=k(x-1)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,記C為橢圓的右頂點(diǎn),當(dāng)△ABC的面積為時(shí),k的值為 .
9.(2024·河南許、平、汝高三聯(lián)考)已知橢圓C:=1,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),弦AB被點(diǎn)()平分.
(1)求直線l的方程;
(2)求△F1AB的面積.
10.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l:y=2x+a與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).
(1)若a=-1,求△FAB的面積;
(2)若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
綜合 提升練
11.(2024·江西南昌模擬)已知直線l1:y=2x+2過(guò)橢圓C:=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),與C交于A,B兩點(diǎn),與l1平行的直線l2與C交于M,N兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q,且PQ的斜率為-,則C的方程為( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
12.(多選題)(2022·新高考Ⅰ,11)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過(guò)點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則( )
A.C的準(zhǔn)線為y=-1
B.直線AB與C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
13.(2024·四川宜賓模擬)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,過(guò)F2作漸近線的垂線交C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=3,則△ABF1的周長(zhǎng)為 .
14.已知橢圓C:=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,),直線l:y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OM的斜率為-0.5.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)當(dāng)m=1時(shí),橢圓C上是否存在P,Q兩點(diǎn),使得P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在,求出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
創(chuàng)新 應(yīng)用練
15.(2024·四川遂寧、廣安二診)已知直線l:y=k(x+2)(k>0)與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A,B,以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(2,0),則|AB|=( )
A.4B.6C.8D.10
課時(shí)規(guī)范練67 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1.B 解析 “l(fā)與C相切”時(shí),l與C只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí),與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),但是此時(shí)l與C不相切.所以“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的必要不充分條件.
2.C 解析 聯(lián)立消去y,整理得3x2+2x-1=0,則Δ=22+4×3=16>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以直線與橢圓相交.
3.D 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锳,B都在橢圓上,所以兩式相減,得()+()=0,得=-,又因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1),x1+x2=-1×2=-2,y1+y2=1×2=2,所以直線l的斜率是=-
4.B 解析 依題意拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,即-=-1,解得p=2,所以拋物線方程為y2=4x,則焦點(diǎn)為F(1,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y2=-1,由(-1)2=4x2,得x2=所以B(,-1),所以直線AB的斜率是,所以直線AB的方程為y=(x-1).
由消去y,整理得4x2-17x+4=0,解得x1=4,x2=,
所以|AB|=x1+x2+p=4++2=
5.D 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,代入雙曲線方程得
兩式左、右兩邊分別相減得=0,即(x1+x2)(x1-x2)=若P是線段AB的中點(diǎn),則x1+x2=2,y1+y2=2,所以=2,即直線AB的斜率為2,所以直線AB的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.聯(lián)立消去y,整理得2x2-4x+3=0,Δ=16-4×2×3=-80,解得t>2,符合題意.所以直線AB的斜率為2.
8.±1 解析 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立消去y,整理得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,
Δ=64k4-16(k2-1)(4k2+1)=16(3k2+1)>0,
可得x1+x2=,x1x2=
|AB|=|x1-x2|
=
=
=
設(shè)點(diǎn)C(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d,則d=,
S△ABC=|AB|×d=,即25k2(3k2+1)=4(1+4k2)2,化簡(jiǎn)得11k4-7k2-4=0,解得k2=1,即k=±1.
9.解 (1)因?yàn)橄褹B被點(diǎn)()平分,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
因?yàn)辄c(diǎn)()是弦AB的中點(diǎn),所以x1+x2=2,y1+y2=
由兩式左、右兩邊分別相減,得=0,即(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2),
所以直線l的斜率k==-=-,故直線l的方程為x+2y-2=0.
(2)易知F1(-2,0).聯(lián)立橢圓C與直線l的方程消去x,整理得2y2-2y-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|==5.
點(diǎn)F1(-2,0)到直線l的距離為d=所以△F1AB的面積是|AB|d==2
10.解 (1)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)a=-1時(shí),直線l:y=2x-1,聯(lián)立可得x2-2x+=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,x1x2=
|AB|=
點(diǎn)F到直線l的距離d=,
∴△FAB的面積S=|AB|·d=
(2)∵點(diǎn)M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,∴直線MN的斜率為-,∴可設(shè)直線MN的方程為y=-x+m,聯(lián)立整理可得x2-(4m+16)x+4m2=0,由Δ=(4m+16)2-16m2>0,可得m>-2.
設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則x3+x4=4m+16,y3+y4=-(x3+x4)+2m=-8,故MN的中點(diǎn)為(2m+8,-4).
∵點(diǎn)M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,∴MN的中點(diǎn)(2m+8,-4)在直線y=2x+a上,∴-4=2(2m+8)+a,得a=-4m-20.
∵m>-2,∴a2,y1y2=(x1x2)2=1,
又|OP|=,
|OQ|=,
∴|OP|·|OQ|==
=|k|>2=|OA|2,故C正確;
∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,
∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正確.
故選BCD.
13.18 解析 因?yàn)?所以,即,所以a2=3b2,c2=4b2.
則雙曲線C:=1,F2(2b,0),漸近線方程為y=±x.
不妨設(shè)直線AB:y=-(x-2b),A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立方程消去y,整理得8x2-36bx+39b2=0,
則Δ=(36b)2-32×39b2=48b2>0,x1+x2=,x1x2=,可得|AB|=b=3,解得b=,可得a=3.
由雙曲線的定義可得|AF1|-|AF2|=6,|BF1|-|BF2|=6,則(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(|AF1|+|BF1|)-|AB|=12,可得|AF1|+|BF1|=15,所以△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|+|BF1|+|AB|=18.
14.解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則M(),即kOM==-因?yàn)锳,B在橢圓C上,所以=1,=1,兩式相減得=0,又kAB==1,所以=0,即a2=2b2.又因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)(1,),所以=1,解得a2=4,b2=2.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)不存在.理由如下,由題意可知,直線l的方程為y=x+1.
假設(shè)橢圓C上存在P,Q兩點(diǎn),使得P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中點(diǎn)為N(x0,y0),所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0.
因?yàn)镻,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,所以kPQ=-1,且點(diǎn)N在直線l上,即y0=x0+1.又因?yàn)镻,Q在橢圓C上,所以=1,=1,兩式相減得=0,
所以,即x0=2y0.
聯(lián)立解得即N(-2,-1).
又因?yàn)?1,即點(diǎn)N在橢圓C外,這與N是弦PQ的中點(diǎn)矛盾,所以橢圓C上不存在P,Q兩點(diǎn),使得P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱.
15.C 解析 記m=>0,則直線l的方程可表示為x=my-2,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立消去x,整理得y2-4my+8=0,Δ=16m2-32>0,可得m2>2.
則y1+y2=4m,y1y2=8.
=(x1-2,y1)=(my1-4,y1),=(x2-2,y2)=(my2-4,y2),
由已知可得DA⊥DB,則=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=8(m2+1)-16m2+16=24-8m2=0,可得m2=3.所以|AB|==8.

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