適用于新高考新教材備戰(zhàn)2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第11章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列數(shù)字特征課件新人教A版-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征(均值、方差).
1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.通常用大寫(xiě)英文字母表示,例如X,Y,Z;用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.
分兩類:離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量
(2)離散型隨機(jī)變量:可能取值為有限個(gè)或可以　　　　　的隨機(jī)變量.?
微點(diǎn)撥離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù),其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”,即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.
2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的　　　　　　　　　為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.(2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)①pi　　　0,i=1,2,…,n;?②　　　　　　=1.?
有表格、圖形和解析式三種形式?
概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
p1+p2+…+pn
3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列為
(1)均值稱E(X)=　　　　　　　　=　　　　為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.?
反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平
x1p1+x2p2+…+xnpn
(2)方差稱D(X)=　　　　　　　為隨機(jī)變量X的方差,并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).?
用來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度
微思考隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差有何關(guān)系?
提示隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù),樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量,隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加,樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值、方差.
4.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=　　　　　.(a,b為常數(shù))?(2)D(aX+b)=　 .(a,b為常數(shù))?
常用結(jié)論1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常數(shù).2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)E(X2).
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)關(guān)系,即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對(duì)應(yīng).(　　)2.均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.(　　)3.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.(　　)
題組二回源教材4.(人教A版選擇性必修第三冊(cè)7.3.1節(jié)練習(xí)第1題改編)已知X的分布列為
設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為(　　)
5.(人教A版選擇性必修第三冊(cè)7.3.2節(jié)練習(xí)第1題改編)已知隨機(jī)變量X的分布列為
則D(X)=　　　　.?
解析由題意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.
題組三連線高考6.(2014·浙江,文11)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,則D(ξ)=　　　　.?
7.(2020·浙江,16)盒子里有4個(gè)球,其中1個(gè)紅球,1個(gè)綠球,2個(gè)黃球,從盒中隨機(jī)取球,每次取1個(gè),不放回,直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=　　　　;E(ξ)=　　　　.?
考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
(1)求隨機(jī)變量Y=2X+1的分布列;(2)求隨機(jī)變量η=|X-1|的分布列.
解 (1)由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表為
從而Y=2X+1的分布列為
所以P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列為
考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征
例2(2024·福建寧德模擬)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍,已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.(3)設(shè)用Y表示甲學(xué)校的總得分,比較D(X)和D(Y)的大小.
解 (1)甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,可以得到兩個(gè)學(xué)校每場(chǎng)比賽獲勝的概率如下表:
甲學(xué)校要想獲得冠軍,需要在3場(chǎng)比賽中至少獲勝2場(chǎng),①甲學(xué)校3場(chǎng)比賽全勝,概率為P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲學(xué)校3場(chǎng)比賽獲勝2場(chǎng)敗1場(chǎng),概率為P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P=P1+P2=0.6.
(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,則X的分布列為
X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
(3)甲學(xué)校的總得分Y的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(Y=0)=P(X=30)=0.06,P(Y=10)=P(X=20)=0.34,P(Y=20)=P(X=10)=0.44,P(Y=30)=P(X=0)=0.16,則Y的分布列為
Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2 ×0.06=65,故D(X)=D(Y).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·四川內(nèi)江模擬)甲、乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽,計(jì)分規(guī)則如下:在一輪比賽中,如果甲贏而乙輸,則甲得1分;如果甲輸而乙贏,則甲得-1分;如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸,則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.7,乙贏機(jī)器人的概率為0.6.求:(1)在一輪比賽中,甲的得分ξ的分布列;(2)在兩輪比賽中,甲的得分η的期望和方差.
解 (1)由題意可知,ξ的可能取值為-1,0,1,P(ξ=-1)=0.3×0.6=0.18, P(ξ=0)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54,P(ξ=1)=0.7×0.4=0.28,所以ξ的分布列為
(2)由題意可知,η的可能取值為-2,-1,0,1,2,P(η=-2)=0.18×0.18=0.032 4, P(η=-1)=2×0.18×0.54=0.194 4,P(η=0)=2×0.18×0.28+0.54×0.54=0.392 4,P(η=1)=2×0.54×0.28=0.302 4,P(η=2)=0.28×0.28=0.078 4.所以η的分布列為
所以E(η)=(-2)×0.032 4+(-1)×0.194 4+0×0.392 4+1×0.302 4+2×0.078 4=0.2,D(η)=(-2-0.2)2×0.032 4+(-1-0.2)2×0.194 4+(0-0.2)2×0.392 4+(1-0.2)2 ×0.302 4+(2-0.2)2×0.078 4=0.9.
考點(diǎn)三均值與方差中的決策問(wèn)題
例3(2021·新高考Ⅰ,18)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,無(wú)論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分;B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若小明先回答A類問(wèn)題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題?并說(shuō)明理由.
(2)若小明先回答A類問(wèn)題,期望為E(X).
若小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題,Y為小明的累計(jì)得分,Y=0,80,100,
因?yàn)镋(X)

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