考情分析:有關(guān)概率、統(tǒng)計與其他知識相交匯的考題,能體現(xiàn)“返璞歸真,支持課改;突破定勢,考查真功”的命題理念,是每年高考的常考內(nèi)容.近幾年還經(jīng)常將概率與統(tǒng)計問題與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合,成為創(chuàng)新問題.
考點一 統(tǒng)計圖表與分布列的綜合問題
例1(2024·北京海淀模擬)垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值.某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,該校對高一、高二年級全體學(xué)生進行了相關(guān)知識測試,然后從高一、高二年級全體學(xué)生中各隨機抽取了20名學(xué)生成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理、描述和分析.下面給出了整理的相關(guān)信息:高一年級成績分布表
高二年級成績頻率分布直方圖
(1)從高一和高二年級學(xué)生樣本中各抽取一人,這兩個人成績都不低于90分的概率是多少?(2)分別從高一全體學(xué)生中抽取1人,從高二全體學(xué)生中抽取2人,這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為X,用頻率估計概率,求X的分布列和期望;
(3)學(xué)校為提高學(xué)生對垃圾分類的了解情況需要在高一或高二進行一場講座,假設(shè)講座能夠使學(xué)生成績普遍提高一個等級,若高一、高二學(xué)生數(shù)量一致,那么若想高一和高二學(xué)生的平均分盡可能高,需要在高一講座還是高二講座?(直接寫出結(jié)論)
(3)由于高一年級低分段的人數(shù)相比高二年級要少得多,所以需要在高二講座.
考點二 回歸模型與分布列的綜合問題
例2(2024·浙江紹興模擬)今年春季以來,各地出臺了促進經(jīng)濟發(fā)展的各種措施,經(jīng)濟增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進的可喜現(xiàn)象.服務(wù)業(yè)的消費越來越火爆,一些超市也紛紛加大了廣告促銷.現(xiàn)在某地隨機抽取了7家超市,得到其廣告支出x(單位:萬元)與銷售額y(單位:萬元)數(shù)據(jù)如下:
(1)建立y關(guān)于x的一元線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(2)若將超市的銷售額y與廣告支出x的比值稱為該超市的廣告效率值μ,當μ≥10時,稱該超市的廣告為“好廣告”.從這7家超市中隨機抽取4家超市,記這4家超市中“好廣告”的超市數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
[對點訓(xùn)練1](2024·四川成都模擬)為研究如何合理施用化肥,使其最大限度地促進糧食增產(chǎn),減少對周圍環(huán)境的污染,某研究團隊收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù),并對這些數(shù)據(jù)進行了初步處理,得到如圖所示的散點圖及如表所示的一些統(tǒng)計量的值,其中,化肥施用量為x(單位:千克),糧食畝產(chǎn)量為y(單位:百千克).令ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10).
(1)根據(jù)散點圖,判斷y=a+bx與y=cxd哪一個更適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程模型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程,并估計化肥施用量為27千克時,糧食畝產(chǎn)量的值;
(3)經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后,該化肥的有效率Z大幅提高,經(jīng)試驗統(tǒng)計得Z大致服從正態(tài)分布N(0.54,0.022).問這種化肥的有效率超過56%的概率約為多少?
②若隨機變量Z~N(μ,σ2),則有P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5;③e≈2.7.
解 (1)由散點圖可知y隨x的變化呈非線性的變化趨勢,∴y=cxd更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型.
(3)∵Z~N(0.54,0.022),則μ=0.54,σ=0.02,∴P(μ-σ≤Z≤μ+σ)=P(0.52≤Z≤0.56)≈0.682 7,則P(Z>0.56) =0.158 65,∴這種化肥的有效率超過56%的概率約為0.158 65.
考點三 獨立性檢驗與分布列的綜合問題
例3(12分)(2023·全國甲,理19)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;關(guān)鍵點:結(jié)合題意弄清楚X服從的是超幾何分布還是二項分布.
(2)試驗結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.518.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.823.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
(ⅰ)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表:
突破口:易知中位數(shù)是從小到大排序后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù).通過整理可得第20位數(shù)據(jù)為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6.(ⅱ)根據(jù)(ⅰ)中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?
審題指導(dǎo):(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4,從而求得列聯(lián)表;(ii)利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗,對照附表結(jié)合題意作答.
規(guī)范解答:解 (1)由題意,X服從超幾何分布,X的可能取值為0,1,2,則
X服從超幾何分布,且N=40,M=20,n=2
①注意大小排序;②偶數(shù)個數(shù)的中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù)
(ii)零假設(shè)為H0:小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量無差異.
因為判斷是否有95%的把握,所以臨界值取3.841,而不是6.635
[對點訓(xùn)練2](12分)(2024·浙江寧波模擬)盲盒,是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子,具有隨機屬性.某品牌推出2款盲盒套餐,A款盲盒套餐包含4款不同單品,且必包含隱藏款X;B款盲盒套餐包含2款不同單品,有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X.為避免盲目購買與黃牛囤積,每人每天只能購買1件盲盒套餐.開售第二日,銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認為A,B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān);(2)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐,記隨機變量ξ為其中隱藏款X的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)某消費者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件,并將6件單品全部打亂放在一起,從中隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,求該隱藏款來自B款盲盒套餐的概率.
解 (1)零假設(shè)為H0:A,B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關(guān)聯(lián).
(3)設(shè)A表示事件“隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X”,設(shè)B1表示事件“隨機抽取的1件單品來自A款盲盒套餐”,設(shè)B2表示事件“隨機抽取的1件單品來自B款盲盒套餐”,
考點四 概率統(tǒng)計與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題
例4(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:
利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.
解 (1)當p(c)=0.5%時,由患病者頻率分布直方圖可得第一個小矩形面積為0.002×5=0.01,
由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.
(2)當c∈[95,100)時,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當c∈[100,105]時,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
故當c=100時,f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.
[對點訓(xùn)練3](2021·新高考Ⅱ,21)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下去,設(shè)一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代,……,該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,求證:當E(X)≤1時,p=1;當E(X)>1時,p0.當x≥0時,f″(x)=2p2+6p3x>0,所以f'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,下面證明當E(X)≤1時,有p=1.當x∈(0,1)時,因為f'(x)

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