適用于新高考新教材備戰(zhàn)2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第11章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第4節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型課件新人教A版-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.結(jié)合具體實例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會用頻率估計概率.
1.樣本點(diǎn)和樣本空間(1)定義:我們把隨機(jī)試驗E的每個可能的　　　　　　　　稱為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗E的　　　　　　　　.?(2)表示:一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點(diǎn).如果一個隨機(jī)試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.
3.事件的關(guān)系與運(yùn)算
事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集
微點(diǎn)撥定義多個事件的和事件以及積事件.例如,對于三個事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時發(fā)生.
4.頻率與概率(1)定義一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用　　　　　來估計概率　　　　.?
從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小
微點(diǎn)撥理解頻數(shù)與頻率需注意:(1)前提:對于給定的隨機(jī)事件A,在相同的條件S下重復(fù)n次試驗,觀察事件A是否出現(xiàn).(2)頻數(shù):指的是n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA.頻率:指的是事件A出現(xiàn)的比例fn(A)= .
(2)概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件A,都有P(A)　　　;?性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=　　　,P(?)=　　　;?性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　;?性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=　　　　　,P(A)=　 ;?性質(zhì)5:如果A?B,那么　　　　　　,由該性質(zhì)可得,對于任意事件A,因為??A?Ω,所以0≤P(A)≤1;?性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,有P(A∪B)=　　　　　　　　.?
P(A)+P(B)-P(A∩B)
微思考概率與頻率有什么區(qū)別?
提示 (1)概率是一個確定的數(shù),是客觀存在的,與試驗次數(shù)無關(guān),它度量該事件發(fā)生的可能性;(2)頻率本身是隨機(jī)的,在試驗前不能確定,做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到的事件的頻率不一定相同;(3)頻率是概率的近似值,在實際問題中,僅當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時,頻率可近似地看作概率.
5.古典概型(1)具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有　　　　;?②等可能性:每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性　　　　.?
判斷一個試驗是否是古典概型的關(guān)鍵點(diǎn)
(2)古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個樣本點(diǎn),則定義事件A的概率P(A)=　　　　　　　　.其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù).?
常用結(jié)論如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥:(1)事件A1∪A2∪…∪An發(fā)生的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.對立事件一定互斥,但互斥事件不一定對立.(　　)2.“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(　　)3.擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個結(jié)果是等可能事件.(　　)4.從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5 g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量,屬于古典概型.(　　)
題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊習(xí)題10.1第3題改編)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”,事件B=“第二枚硬幣反面朝上”.下列結(jié)論中正確的是(　　)A.A與B互為對立事件B.A與B互斥C.A與B相等D.P(A)=P(B)
6.(人教A版必修第二冊10.1.3節(jié)例8改編)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是　　　　.?
解析根據(jù)題意可得,基本事件總數(shù)為6×6=36個,其中點(diǎn)數(shù)和為5的有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4個樣本點(diǎn).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為
7.(人教A版必修第二冊10.1.4節(jié)例11改編)從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張,設(shè)事件A=“抽到紅心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)= ,設(shè)C=“抽到紅花色”,則P(C)=　　　;設(shè)D=“抽到黑花色”,則P(D)=　　　.?
題組三連線高考8.(2020·全國Ⅰ,文4)設(shè)O為正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),則取到的3點(diǎn)共線的概率為(　　)
解析由題意知一共有10種取法,當(dāng)選A,O,C和B,O,D時符合要求,故
9.(2023·全國乙,文9)某學(xué)校舉辦作文比賽,共設(shè)6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為(　　)
解析甲、乙兩位同學(xué)各隨機(jī)抽取一個主題,共有6×6=36種結(jié)果,而甲、乙兩位同學(xué)抽到同一個主題的結(jié)果有6種,所以甲、乙兩位同學(xué)抽到不同主
考點(diǎn)一隨機(jī)事件(多考向探究預(yù)測)
考向1隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1(1)(多選題)對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)},B={兩次都沒擊中飛機(jī)},C={恰有一彈擊中飛機(jī)},D={至少有一彈擊中飛機(jī)},下列關(guān)系正確的有(　　)A.A?DB.B∩D=?C.A∪B=B∪DD.A∪C=D
解析用(x1,x2)表示試驗的射擊情況,其中x1表示第1次射擊的情況,x2表示第2次射擊的情況,1表示擊中,0表示沒擊中,則樣本空間Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由題意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.則A?D,A∪C=D,且B∩D=?.即A,B,D正確;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C錯誤.
(2)(多選題)(2024·山西朔州高三開學(xué)考試)從1,2,3,…,9中任取三個不同的數(shù),則在下述事件中,是互斥但不是對立事件的有(　　)A.“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)”B.“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”C.“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)”D.“一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”
解析從1~9中任取三個數(shù),按這三個數(shù)的奇偶性分類,有四種情況:①三個均為奇數(shù);②兩個奇數(shù)一個偶數(shù);③一個奇數(shù)兩個偶數(shù);④三個均為偶數(shù),所以選項A,D是互斥但不是對立事件,選項C是對立事件,選項B不是互斥事件.故選AD.
考向2計算簡單隨機(jī)事件的頻率與概率例2如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:
(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
解 (1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),用頻率估計相應(yīng)的概率為P= =0.44.
(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率為
(3)設(shè)事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.結(jié)合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲應(yīng)選擇L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)