考情分析:1.概率與統(tǒng)計(jì)在高考命題中常整體統(tǒng)籌,本章在高考中至少命制一道小題,而解答題則要么傾向于考查概率和分布列,要么側(cè)重成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,有時(shí)也把二者融合命題.2.從考查內(nèi)容上看,選擇、填空題中主要考查排列組合、古典概型、條件概率、正態(tài)分布等,解答題常以現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活、科技等真實(shí)情境為背景,考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差等,多與獨(dú)立事件、超幾何分布、二項(xiàng)分布等交匯,難度中高等.
復(fù)習(xí)策略:1.重視條件概率與全概率公式等知識(shí),在理解的基礎(chǔ)上能熟練運(yùn)用相關(guān)公式計(jì)算.2.本部分題目多以實(shí)際問(wèn)題為背景,一般閱讀量較大,需要重視閱讀理解訓(xùn)練,抓住材料本質(zhì),提煉關(guān)鍵內(nèi)容,通過(guò)數(shù)學(xué)建模達(dá)到處理題目信息的目的.3.提升運(yùn)算正確率,理清幾種特殊分布,尤其是二項(xiàng)分布和超幾何分布,平時(shí)多注意數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練,力求會(huì)的題目做對(duì).
1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”.2.能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
　　類類獨(dú)立,不重不漏　　　 步步相依,步驟完整
微點(diǎn)撥1.分類加法計(jì)數(shù)原理中,完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的.從集合角度看,如果完成一件事有A,B兩類方案,集合A與B的交集為空集,在A中有m1個(gè)元素(m1種方法),在B中有m2個(gè)元素(m2種方法),則完成這件事的不同方法的種數(shù)即為集合A∪B中元素的個(gè)數(shù),即m1+m2.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理中,必須且只需連續(xù)完成n個(gè)步驟后才能完成這件事,各個(gè)步驟之間不重復(fù)、不遺漏.
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(　　)2.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的每種方法都能直接完成這件事.(　　)3.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(　　)4.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(　　)
題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第三冊(cè)習(xí)題6.1第2題改編)如圖,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路;從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路.則從甲地到丁地不同的路線有(　　)
A.11條B.12條C.13條D.14條
解析 從甲到丁分為兩類,第一類,從甲過(guò)乙到丁分兩步,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,從甲到丁有6條路線;第二類,從甲過(guò)丙到丁分兩步,從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,從甲到丁有8條路線.再由分類加法計(jì)數(shù)原理得,從甲到丁共有6+8=14(條)路線.
6.(人教B版選擇性必修第二冊(cè)3.1.1節(jié)練習(xí)B第3題)已知n是一個(gè)小于10的正整數(shù),且由集合A={x|x∈N*,x≤n}中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共20個(gè),求n的值.
解 第一步:排十位上的數(shù),有n種方法.第二步:排個(gè)位上的數(shù),有(n-1)種方法.由n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去),故n的值是5.
題組三連線高考7.(2023·全國(guó)乙,理7)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(　　)A.30種B.60種C.120種D.240種
8.(2015·四川,理6)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　)A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)
解析 根據(jù)題意,符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4,5其中1個(gè),末位數(shù)字為0,2,4中其中1個(gè),分兩種情況討論:①首位數(shù)字為5時(shí),末位數(shù)字有3種情況,在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè),放在剩余的3個(gè)位置上,有 =24種情況,此時(shí)比40 000大的偶數(shù)有3×24=72(個(gè));②首位數(shù)字為4時(shí),末位數(shù)字有2種情況,在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè),放在剩余的3個(gè)位置上,有 =24種情況,此時(shí)比40 000大的偶數(shù)有2×24=48(個(gè)).綜上,比40 000大的偶數(shù)共有72+48=120(個(gè)).
考點(diǎn)一 分類加法計(jì)數(shù)原理
例1(1)甲、乙、丙三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過(guò)4次傳遞后,毽子又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有(　　)A.4種B.6種C.10種D.16種
解析 分兩類:甲第一次踢給乙時(shí),有3種滿足條件的傳遞方式(如圖);
同理,甲第一次踢給丙時(shí),滿足條件的也有3種傳遞方式,由分類加法計(jì)數(shù)原理,可知不同傳遞方式的種數(shù)為3+3=6.故選B.
(2)橢圓 1(m>0,n>0)的焦點(diǎn)在x軸上,且m∈{1,2,3,4,5}, n∈{1,2,3,4,5,6,7},則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為　　　　　.?
解析 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以m>n,以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類,分為四類.第一類:m=5時(shí),n有4種選擇;第二類:m=4時(shí),n有3種選擇;第三類:m=3時(shí),n有2種選擇;第四類:m=2時(shí),n有1種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理,符合條件的橢圓共有4+3+2+1=10(個(gè)).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·江蘇宿遷模擬)如圖,一條電路從A處到B處接通時(shí),可以有　　　　　種不同的線路(每條線路僅含一條通路).?
解析 依題意按上、中、下三條線路可分為三類:上線路中有2種;中線路中只有1種;下線路中有2×3=6(種).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有2+1+6=9(種).
考點(diǎn)二 分步乘法計(jì)數(shù)原理
例2(1)(2024·遼寧大連模擬)某天的值日工作由4名同學(xué)負(fù)責(zé),且其中1人負(fù)責(zé)清理講臺(tái),另1人負(fù)責(zé)掃地,其余2人負(fù)責(zé)拖地,則不同的分工方法共有　　　　　種.?
解析 根據(jù)題意,分3步分析:
③剩下的2人負(fù)責(zé)拖地,有1種情況,則有4×3×1=12種不同的分工方法.
(2)有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目,每項(xiàng)恰好報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng),則共有　　　　　種不同的報(bào)名方法.?
解析 每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng),因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法,第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法,第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4=120(種).
變式探究1(換條件)本例(2)中若將條件“每項(xiàng)恰好報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每人恰好參加一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限”,則有多少種不同的報(bào)名方法?
解 每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng),各有3種不同的報(bào)名方法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的報(bào)名方法共有36=729(種).
變式探究2(換條件)本例(2)中若將條件“每項(xiàng)恰好報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)恰好報(bào)一人,但每人參加的項(xiàng)目不限”,則有多少種不同的報(bào)名方法?
解 每人參加的項(xiàng)目不限,因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參加,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的報(bào)名方法共有63=216(種).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](多選題)現(xiàn)安排高二年級(jí)A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠,且允許多人選擇同一個(gè)工廠,則下列說(shuō)法正確的是(　　)A.所有可能的方法有34種B.若甲工廠必須有同學(xué)去,則不同的安排方法有37種C.若同學(xué)A必須去甲工廠,則不同的安排方法有12種D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同,則不同的安排方法有24種
解析 A.三位同學(xué)依次選擇都有4種方法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理所有可能的方法有4×4×4=64(種),A錯(cuò)誤;B.因?yàn)樗锌赡艿姆椒ㄓ?4種,甲工廠沒(méi)有同學(xué)去有3×3×3=27(種),故甲工廠必須有同學(xué)去有64-27=37(種),B正確;C.同學(xué)A必須去甲工廠,另外兩名同學(xué)到工廠各有4種方法,故有4×4=16(種),C錯(cuò)誤;D.三名同學(xué)所選工廠各不相同,不同的安排方法有 =24(種),D正確.故選BD.
考點(diǎn)三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))
考向1與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題例3用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字.(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù);(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù);(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1 000的自然數(shù).
解 (1)若組成的數(shù)字為數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù),則首位數(shù)字不為零,個(gè)位和十位的數(shù)字無(wú)限制,所以組成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)個(gè)數(shù)為5×5×4=100(個(gè)).(2)若組成的數(shù)字為數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù),則首位數(shù)字不為零,個(gè)位和十位的數(shù)字無(wú)限制,所以組成數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×62=180(個(gè)).
(3)若組成的數(shù)字為數(shù)字不重復(fù)的小于1 000的自然數(shù),分以下三種情況討論:①數(shù)字為個(gè)位數(shù),共6個(gè);②數(shù)字為兩位數(shù),則首位不能為零,個(gè)位無(wú)限制,共5×5=25(個(gè));③數(shù)字為三位數(shù),由(1)知,共有100個(gè).綜上所述,數(shù)字不重復(fù)的小于1 000的自然數(shù)個(gè)數(shù)為6+25+100=131(個(gè)).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·河南新鄉(xiāng)模擬)用0,2,3,4,5五個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),則四位數(shù)共有　　　　個(gè),其中偶數(shù)共有　　　　個(gè).?
解析 由題可知,滿足條件的四位數(shù)共有4×4×3×2=96個(gè);其中偶數(shù)分為個(gè)位數(shù)是0和個(gè)位數(shù)不是0,若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,則有
考向2涂色(種植)問(wèn)題例4(2024·河北唐山模擬)如圖,某城區(qū)的一個(gè)街心花園共有五個(gè)區(qū)域,中心區(qū)域⑤是代表城市特點(diǎn)的標(biāo)志性塑像,要求在周圍①②③④四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植鮮花,現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花供選擇,要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同,則不同的種植方法共有(　　)A.48種B.60種C.84種D.108種
解析 由題意可知:四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花,最多種植四種,所以分以下三種情況討論:
綜上,不同的種植方法的種數(shù)為12+48+24=84(種).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·江蘇常州模擬)中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家,傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘,其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,…,8,現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色,要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同,對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇,則不同的涂色方案有(　　)A.1 050種B.1 260種C.1 302種D.1 512種

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