【講通練透】重難點(diǎn)突破11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破精講-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題
目錄
方法技巧總結(jié)一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像
方法技巧總結(jié)二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題
1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式
2、同構(gòu)式的應(yīng)用：
（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根
（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．
①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；
③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．
（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程
（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解
3、常見的指數(shù)放縮：
4、常見的對(duì)數(shù)放縮：
5、常見三角函數(shù)的放縮：
6、學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個(gè)這樣的恒等式：
（1）且時(shí)，有
（2）當(dāng) 且時(shí)，有
再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再結(jié)合常用的切線不等式lnxx-1，等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進(jìn)行引申：
（7）；
（8）；
7、同構(gòu)式問題中通常構(gòu)造親戚函數(shù)與，常見模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同構(gòu)、加法同構(gòu)
（1）乘法同構(gòu)，即乘同構(gòu)，如；
（2）加法同構(gòu)，即加同構(gòu)，如，
（3）兩種構(gòu)法的區(qū)別：
= 1 \* GB3 ①乘法同構(gòu)，對(duì)變形要求低，找親戚函數(shù)與易實(shí)現(xiàn)，但構(gòu)造的函數(shù)與均不是單調(diào)函數(shù)；
= 2 \* GB3 ②加法同構(gòu)，要求不等式兩邊互為反函數(shù)，構(gòu)造后的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可直接由函數(shù)不等式求參數(shù)范圍；
題型一：不等式同構(gòu)
例1．（2023·四川達(dá)州·高二校考階段練習(xí)）已知，且，，，則（）
A．B．
C．D．
例2．（2023·湖北黃石·高二?？计谥校┮阎?，，，則（）
A．B．
C．D．
例3．（2023·陜西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
變式1．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則，，的大小順序是（）
A．B．
C．D．
變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
變式3．（2023·江西贛州·高二江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足對(duì)恒成立，且實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（）
A．B．C．D．
題型二：同構(gòu)變形
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
題型三：零點(diǎn)同構(gòu)
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，滿足，則（）
A．B．C．D．6
例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程，則的值為（）
A．B．eC．D．1
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
變式4．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.
（1）求的值；
（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：.
變式5．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄆ渲?，則稱為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.
(1)證明：函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”；
(2)若存在，使函數(shù)為上的“倍縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
變式7．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
變式9．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題
例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）完成下列各問
（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；
（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；
（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；
（4）已知不等式對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；
（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是_______；
（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；
（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；
（8）已知不等式，對(duì)恒成立，則k的最大值為_______；
（9）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；
例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.
例10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.
變式10．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為
A．B．C．D．
變式11．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，，不等式恒成立，則的最大值為
A．B．C．D．
變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答（注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分）.
①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型五：利用同構(gòu)求最值
例11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“朗博變形”是借助指數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（）
A．B．C．D．
例12．（2023·全國(guó)·高二期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．
例13．（2023·江西·臨川一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的最大值為（）
A．B．C．D．
變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（）
A．7B．8C．5D．11
變式16．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)實(shí)數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么
A．B．C．D．
題型六：利用同構(gòu)證明不等式
例14．已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明．
例15．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，．
例16．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）證明：．
變式17．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：．
變式18．已知函數(shù)，函數(shù)，，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
（3）證明：當(dāng)時(shí)，．
函數(shù)表達(dá)式
圖像
函數(shù)表達(dá)式
圖像
函數(shù)極值點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)
過定點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)
函數(shù)極值點(diǎn)

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