常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 面積取值范圍問(wèn)題
典例1．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.
變式1-1．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線l是的外角平分線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.
變式1-2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，離心率，拋物線的焦點(diǎn)是是橢圓上的任意一點(diǎn)，且位于軸左側(cè)，過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)求面積的取值范圍.
變式1-3．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)左焦點(diǎn)且與x軸不重合的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.
考點(diǎn)二 其他取值范圍問(wèn)題
典例2．已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點(diǎn)滿足
(1)求橢圓的方程；
(2)若動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外時(shí)，求的取值范圍.
變式2-1．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.
變式2-2．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點(diǎn)為N，求的取值范圍.
變式2-3．已知拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段PF的中點(diǎn)，求直線OQ斜率的取值范圍.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 面積取值范圍問(wèn)題
1．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且的重心為拋物線焦點(diǎn)F.
(1)求m與t的關(guān)系式；
(2)求面積的取值范圍.
2．橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不在軸上)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
3．已知定點(diǎn)，圓（N為圓心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)Q為圓N上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)N的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求曲線C的方程；
(2)點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，求面積的取值范圍．
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓：相切，另外，橢圓：的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于C，D兩點(diǎn)．且．
(1)求圓的方程與橢圓的方程；
(2)經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求△OAB的面積的取值范圍．
練習(xí)二 其他取值范圍問(wèn)題
5．已知橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若、為上不同的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、滿足：，，且在上．
（i）求證：點(diǎn)在上；
（ii）若過(guò)焦點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
6．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若不過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線l的距離為1，求的取值范圍．
7．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，（點(diǎn)，異于點(diǎn)，），連接直線，交于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，求的取值范圍.
8．已知是拋物線上一點(diǎn)，是軸上的點(diǎn)，以為圓心且過(guò)點(diǎn)的圓與軸分別交于點(diǎn)、，且當(dāng)圓與軸相切時(shí)，到拋物線焦點(diǎn)的距離為．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)線段、長(zhǎng)度分別為、，求的取值范圍．
第五篇 解析幾何
專(zhuān)題06 解析幾何中的范圍問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 面積取值范圍問(wèn)題
典例1．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題知，，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；
（2）由題設(shè)直線的方程為，，，，
進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合題意得且，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，距離公式，面積公式得，再還原求解即可得答案.
(1)
解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程是，
所以，即
因?yàn)榻咕酁?，所以，即
因?yàn)椋?br>所以，
所以雙曲線的方程為
(2)
解：由題知雙曲線的右焦點(diǎn)為，
故設(shè)直線的方程為，
則聯(lián)立方程得，
設(shè)，，
所以，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，
所以，即且，
所以，解得：且
因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所?br>所以，
點(diǎn)到直線的方程為距離為，
所以面積為，
令，則，
所以，
因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞減函數(shù)，
所以，
所以.
所以面積的取值范圍為
變式1-1．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線l是的外角平分線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;
（2）由可得，進(jìn)一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長(zhǎng)，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.
(1)
由題意可知：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，
，,
又,故 ,
即,，
又，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)
由題意可知 ，，,
①當(dāng)過(guò)的直線與軸垂直時(shí)，， ,
②當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，
可設(shè)，，直線方程為,
聯(lián)立,可得：
.,,,
由弦長(zhǎng)公式可知 ，
到距離為,
故 ，
令，
則原式變?yōu)?，
令，
原式變?yōu)?
當(dāng) 時(shí)， 故 ，
由①②可知 .
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時(shí)的三角形的面積問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計(jì)算三角形面積時(shí)要理清運(yùn)算的思路，準(zhǔn)確計(jì)算.
變式1-2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，離心率，拋物線的焦點(diǎn)是是橢圓上的任意一點(diǎn)，且位于軸左側(cè)，過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)求面積的取值范圍.
【答案】(1)；；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由題意可得，解方程組求出，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；然后由拋物線的的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得到兩切線的斜率與的關(guān)系式，再由得直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離以及的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示三角形的面積，從而求出取值范圍.
(1)
由題意可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)椋?，故，因此拋物線的方程為；
(2)
顯然，過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線的斜率存在且不為0，
設(shè)切線的方程為，
由，聯(lián)立可得，
由題意可知，
設(shè)兩切線的斜率分別為，則，
設(shè)斜率為的直線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，斜率為的直線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，
方程的根，
因此，于是，
，直線上任意一點(diǎn)，，
由得，，
化簡(jiǎn)得，則直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離為，
，
則的面積為
，
因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
因此，所以，
因此面積的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：
①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程．
②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
變式1-3．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)左焦點(diǎn)且與x軸不重合的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)拋物線的方程可求，根據(jù)離心率可求，再求出后可得橢圓方程.
（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理得到面積的表達(dá)式，利用換元法和導(dǎo)數(shù)可求面積的最大值.
(1)
易知拋物線的焦點(diǎn)為，所以，
又因?yàn)殡x心率，所以，
又因?yàn)樗詸E圓C的方程為
(2)
由題意設(shè)直線方程為，設(shè)，
與橢圓方程聯(lián)立消去得：，易知
所以，
所以
因?yàn)榈街本€的距離為
所以
設(shè)，則，
設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，
所以，即三角形面積的取值范圍為
考點(diǎn)二 其他取值范圍問(wèn)題
典例2．已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點(diǎn)滿足
(1)求橢圓的方程；
(2)若動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外時(shí)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由已知計(jì)算可得即可得出方程.
（2）由已知可得聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得出結(jié)果.
(1)
依題得解得：
橢圓的方程為.
(2)
由已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、，設(shè)
聯(lián)立 得：
解得：，即：或
（*）
坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外
則：,
即 將（*）代入此式，
解得：，即
或
或
變式2-1．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依題意得到方程組，求出、、，即可求出橢圓方程；
（2）首先求出過(guò)且與軸垂直時(shí)、的坐標(biāo)，即可得到，當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，將韋達(dá)定理代入得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍；
(1)
解：由題意可列方程組，解得，所以橢圓方程為：.
(2)
解：①當(dāng)過(guò)的直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)，，，則， .
②當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為
聯(lián)立得：.
所以，
=
將韋達(dá)定理代入上式得：
.
，，
，
由①②可知.
變式2-2．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點(diǎn)為N，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出后可得橢圓的方程.
（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理可用表示，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.
(1)
由題意可得，解得，.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)
設(shè)，，.
聯(lián)立，整理得，
則，解得，
從而，.
因?yàn)镸是線段PQ的中點(diǎn)，所以，
則，故.
直線的方程為，即.
令，得，則，
所以.
設(shè)，則，
故.
因?yàn)?，所以，所?
變式2-3．已知拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段PF的中點(diǎn)，求直線OQ斜率的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）令，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)m，再將點(diǎn)代入拋物線求p，即可得拋物線方程.
（2）令，應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率的兩點(diǎn)式求直線OQ的斜率，討論分別求出對(duì)應(yīng)k的范圍，最后取并.
(1)
由題意，設(shè)，，則，解得.
將點(diǎn)A或點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線方程得：，所以.
所以拋物線C的方程為.
(2)
由拋物線C的方程可知：，不妨設(shè).
因?yàn)镼是線段PF的中點(diǎn)，則.
所以直線OQ的斜率.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又，
所以.
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又，
所以.
綜上，直線OQ斜率的取值范圍是.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 面積取值范圍問(wèn)題
1．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且的重心為拋物線焦點(diǎn)F.
(1)求m與t的關(guān)系式；
(2)求面積的取值范圍.
【答案】(1)且
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，再根據(jù)的重心為拋物線的焦點(diǎn)，可得，求得代入拋物線方程，即可得解；
（2）結(jié)合（1）利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)C到的距離，再利用導(dǎo)數(shù)求得范圍即可.
(1)
解：設(shè)，
由得，
，
，所以，
因?yàn)榈闹匦臑閽佄锞€的焦點(diǎn)，
所以，解得，
又因點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，
所以，即，
所以求m與t的關(guān)系式為且；
(2)
解：由（1）得，
結(jié)合判別式得，
因?yàn)椴唤?jīng)過(guò)點(diǎn)F（否則三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形），所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
，
點(diǎn)C到的距離，
所以，
設(shè)，則，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
，
所以，
所以面積的取值范圍為.
2．橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不在軸上)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得曲線的方程.
（2）利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式求得的表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.
(1)
，
橢圓方程為.
(2)
設(shè)，線段的中點(diǎn)為，
，，
以為直徑的圓的半徑為，
以為直徑的圓的方程為，
即，又圓，
兩式相減，
由 ，消去并化簡(jiǎn)得，
，，
，
，
，
由于，所以，，
對(duì)于函數(shù)，在上遞增.
，
所以，
，
，
.
【點(diǎn)睛】
求解橢圓中三角形面積的取值范圍，關(guān)鍵步驟有兩個(gè)，一個(gè)是利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形面積的表達(dá)式.二個(gè)是利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)來(lái)求面積的取值范圍.
3．已知定點(diǎn)，圓（N為圓心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)Q為圓N上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)N的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求曲線C的方程；
(2)點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義求解；
（2）先表示出的面積，再聯(lián)立直線和橢圓方程，換元后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性，進(jìn)而求出范圍.
(1)
由中垂線的性質(zhì)得，所以，
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，則，，
因此，曲線C的方程為：．
(2)
由題意知直線l的斜率不為0，可設(shè)
，，，則，
由題意可知，
，
聯(lián)立，整理得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以
．
令，則．
令，，所以在上是增函數(shù)，所以，所以面積的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵在于聯(lián)立直線和橢圓方程表示出面積后，換元構(gòu)造函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出面積的范圍.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓：相切，另外，橢圓：的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于C，D兩點(diǎn)．且．
(1)求圓的方程與橢圓的方程；
(2)經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求△OAB的面積的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由直線與圓的相切關(guān)系及點(diǎn)線距離公式求參數(shù)r，即可得圓的方程，根據(jù)橢圓離心率、及橢圓參數(shù)關(guān)系求出a、b、c，即可得橢圓的方程.
（2）設(shè)、、，討論直線PA，PB斜率存在性，則直線PA為、直線PB為，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合所得一元二次方程求、，進(jìn)而得直線PA為、直線PB為，結(jié)合在直線PA，PB上有AB為，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式，結(jié)合三角形面積公式得求面積范圍.
(1)
由題設(shè)，圓：的圓心為，
因?yàn)橹本€與圓相切，則，
所以圓的方程為，
因?yàn)闄E圓的離心率為，即，即，
由，則，又，
所以，解得，，
所以橢圓的方程為．
綜上，圓為，橢圓為.
(2)
設(shè)點(diǎn)，，．
當(dāng)直線PA，PB斜率存在時(shí)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則直線PA為，直線PB為．
由，消去y得：．
所以．
令，整理得，則，
所以直線PA為，化簡(jiǎn)得：，即．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線PA斜率不存在時(shí)，直線PA為或也滿足．
同理，可得直線PB為．
因?yàn)樵谥本€PA，PB上，所以，．
綜上，直線AB為．
由，消去y得：．
所以，．
所以．
又O到直線AB的距離．
所以．
令，，則，又，
所以△OAB的面積的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)點(diǎn)及直線PA，PB的方程，聯(lián)立橢圓結(jié)合相切關(guān)系求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而確定PA，PB的方程，由在直線PA，PB上求直線的方程，再聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式求三角形面積的范圍.
練習(xí)二 其他取值范圍問(wèn)題
5．已知橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若、為上不同的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、滿足：，，且在上．
（i）求證：點(diǎn)在上；
（ii）若過(guò)焦點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件可得出、，可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（i）設(shè)點(diǎn)、，可得出，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得出，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)也代入橢圓的方程，證得即可證得結(jié)論成立；
（ii）對(duì)直線是否與軸重合進(jìn)行分類(lèi)討論，在直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合（i）中的等式可得出關(guān)于的不等式，可求出的取值范圍；在直線與軸重合時(shí)，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值.綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
解：由已知可得，可得，則，
故橢圓的方程為.
(2)
解：（i）設(shè)點(diǎn)、，則，，
因?yàn)?，則點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，
整理可得，
所以，，
故點(diǎn)也在橢圓上.
（ii）若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
，
由可得，
整理可得，
解得或；
若直線與軸重合，可設(shè)、，則，
由題意可得，解得或.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
6．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若不過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線l的距離為1，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得出a與b的方程，結(jié)合離心率的定義即可得出橢圓方程；
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在易得；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，
利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
(1)
由題意知，，
解得，，
橢圓C的方程為；
(2)
若直線l的斜率不存在，不妨設(shè)其方程為，
此時(shí)A、B的坐標(biāo)為，則
若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，
聯(lián)立，
消y整理得：
因?yàn)橹本€與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，故，解得
設(shè)，，則，，
原點(diǎn)O到直線AB的距離得，
代入知恒成立．
又點(diǎn)P不在直線l上，所以，且得
因，故，
綜上知，的取值范圍是
7．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，（點(diǎn)，異于點(diǎn)，），連接直線，交于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意確定a、b、c的值，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)，聯(lián)立PQ直線方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AQ、PB的斜率，結(jié)合兩角差的正切公式和基本不等式即可求得的取值范圍.
(1)
由題意知，，又，
所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)
設(shè)直線PB傾斜角為，斜率為，直線AQ傾斜角為，斜率為，
直線PQ的方程為：，
則，消去x，得，
，設(shè)，
，有，
所以，
即，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)P位于第二象限，則，
所以，故.
8．已知是拋物線上一點(diǎn)，是軸上的點(diǎn)，以為圓心且過(guò)點(diǎn)的圓與軸分別交于點(diǎn)、，且當(dāng)圓與軸相切時(shí)，到拋物線焦點(diǎn)的距離為．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)線段、長(zhǎng)度分別為、，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意圓A與軸相切，A到拋物線焦點(diǎn)的距離為，得到A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，從而求出及拋物線方程；
（2）設(shè)A的坐標(biāo)，由垂徑定理可知，設(shè)，，求得，，，分、討論可得答案．
(1)
解：當(dāng)軸時(shí)，圓A與軸相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，
由題意可知此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，
因?yàn)锳到拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，
故準(zhǔn)線與軸之間的距離為，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)
解：設(shè)A的坐標(biāo)，由垂徑定理可知，，
設(shè)，，
所以，．
所以，
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)．
綜上所述，．

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