題型一 、展開問題
例1、（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
變式1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（ ）
A．
B．BE與平面DCE所成角的余弦值為
C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為
D．四面體ABCD的外接球表面積為
變式2、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.
，
題型二、折疊問題
例2、（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE所在的直線翻折，使A與重合，得到四棱錐，則在翻折的過程中（ ）
A．B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得D．存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1
變式1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（ ）
A．在該多面體中，
B．該多面體是三棱錐
C．在該多面體中，平面平面
D．該多面體的體積為
變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4 dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）
變式3、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.
題型三、折疊的綜合性問題
例3、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說法中正確的有（ ）
A．在翻折過程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BM
B．若，則在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61π
D．在翻折過程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為
變式1、（2021·山東濱州市·高三二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．四面體的外接球的表面積為
B．四面體體積的最大值為
C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為
D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為
變式2、【2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月】如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.
（1）求證：平面平面；
（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.
第57講 立體幾何中翻折問題（微專題）
一、題型選講
題型一 、展開問題
例1、（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將幾何體展開，利用兩點(diǎn)之間直線段最短即可求得截面最短周長(zhǎng)．
【詳解】
解：將長(zhǎng)方體展開，如圖所示：
當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形的周長(zhǎng)最小，
最小值為．
故選：B．
變式1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（ ）
A．
B．BE與平面DCE所成角的余弦值為
C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為
D．四面體ABCD的外接球表面積為
【答案】ACD
【分析】
幾何體內(nèi)各相關(guān)線段的計(jì)算即可.
【詳解】
由題意得，展開圖拼成的幾何體如下圖所示，
， ，
取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，MN中點(diǎn)O，連MN、OA，
過O作 于H，
則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑.
所以，

對(duì)于A：
，，，故 平面ABN，而平面ABN ，所以 ，故A正確；
對(duì)于B：
由于 平面ACD，故平面ABN平面ACD，故 是BE與平面DCE所成角，
故 ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：
，故C正確；
對(duì)于D：

所以外接球的表面積為 ，故D正確.
故選：ACD
變式2、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：.
題型二、折疊問題
例2、（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE所在的直線翻折，使A與重合，得到四棱錐，則在翻折的過程中（ ）
A．B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得D．存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1
【答案】AB
【分析】
過作，垂足為，證得平面，可判定A正確；取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在平面上的投影在上時(shí)，可判定B正確；連接，由直線與是異面直線，可判定C錯(cuò)誤；求得，結(jié)合體積公式求可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】
對(duì)于A中，如圖所示，過作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
因?yàn)?，且，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確；
對(duì)于B中，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在平面上的投影在上時(shí)，此時(shí)平面，從而得到，所以B正確；
對(duì)于C中，連接，因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以直線與是異面直線，所以不存在某個(gè)位置，使得，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由，解得，
由作，可得，
即此時(shí)四棱錐的高，此時(shí)，
所以不存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB.
變式1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（ ）
A．在該多面體中，
B．該多面體是三棱錐
C．在該多面體中，平面平面
D．該多面體的體積為
【答案】BCD
【分析】
利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，利用線面垂直，判定面面垂直，以及棱錐的體積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】
由于長(zhǎng)、寬分別為，1，
分別是其四條邊的中點(diǎn)，
現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，
使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，
從而得到一個(gè)多面體，
所以該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確；
，，，故A不正確；
由于，所以，
，可得平面，
則三棱錐的體積為，故D正確；
因?yàn)?，，所以平面?br>又平面，可得平面平面，故C正確.
故選：BCD
變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4 dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）
【答案】4
【分析】
設(shè)E為BD的中點(diǎn)，由題可得AE⊥平面BCD，進(jìn)而可求，再結(jié)合條件可得△DAB的中心為棱錐的外接球的球心，即求.
【詳解】
∵ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4 dm．
∴△DAB為等邊三角形，，
設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，
∴AE⊥平面BCD，CE平面BCD，
∴AE⊥CE，又CE=2 dm，，
∴，
設(shè)△DAB的中心為O，則OE⊥平面BCD，又E為BD的中點(diǎn)，△BCD為直角三角形，
∴OB=OC=OD=OA，即O為三棱錐的外接球的球心，
又，
故球形防護(hù)罩的表面積的最小值為.
故答案為：4，.
變式3、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.
【答案】
【分析】
求出四邊形外接圓的圓半徑，再設(shè)四棱錐外接球的球心為，由求出半徑，代入球的表面積公式即可.
【詳解】
如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，.
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，
所以，
所以，
則四邊形外接圓的圓心為，半徑.
設(shè)四棱錐外接球的球心為，連接，過點(diǎn)作，垂足為.
易證四邊形是矩形，則，.
設(shè)四棱錐外接球的半徑為，
則，
即，解得，
故四棱錐外接球的表面積是.
故答案為：
題型三、折疊的綜合性問題
例3、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說法中正確的有（ ）
A．在翻折過程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BM
B．若，則在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61π
D．在翻折過程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為
【答案】BCD
【分析】
通過直線相交來判斷A選項(xiàng)的正確性；通過面面垂直的判定定理判斷B選項(xiàng)的正確性；通過求四棱錐外接球的表面積來判斷C選項(xiàng)的正確性；利用導(dǎo)數(shù)來求得四棱錐體積的最大值.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，過作，交于，則無論點(diǎn)P在A′N上什么位置，都存在CP與BQ相交，折疊后為梯形BCQP，
則CP不與平面A′BM平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)分別是的中點(diǎn)，
若，則AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，
又因?yàn)镸N⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，
，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)分別是的中點(diǎn)，
若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則△AMN為正三角形，
∠BMN＝120°，∠C＝60°，則BCNM四點(diǎn)共圓，圓心可設(shè)為點(diǎn)G，其半徑設(shè)為r，
DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以點(diǎn)G即為點(diǎn)D，所以r＝3，
二面角A′－MN－B的平面角即為∠A′ED＝120°，過點(diǎn)A′作A′H⊥DE，垂足為點(diǎn)H，
EH＝，DH＝，A′H＝，，
設(shè)外接球球心為，由，解得R2＝，
所以外接球的表面積為S＝4πR2＝61π，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)分別是的中點(diǎn)，設(shè)是四棱錐的高.
S△AMN＝?6λ?6λ?＝9λ2，
S△ABC＝?6?6?＝9，
所以S四邊形BCNM＝9（1－λ2），則VA′－BCNM＝?9（1－λ2）?h≤3（1－λ2）?A′E
＝3（1－λ2）?3λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
可設(shè)f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
則＝27（－3λ2＋1），令＝0，
解得λ＝，則函數(shù)f（λ）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，
所以f（λ）max＝f（）＝6，
則四棱錐A′－BCN體積的最大值為，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD
變式1、（2021·山東濱州市·高三二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．四面體的外接球的表面積為
B．四面體體積的最大值為
C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為
D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為
【答案】ACD
【解析】
對(duì)ABCD各選項(xiàng)逐一分析即可求解.
【詳解】
解：對(duì)A：，
AC中點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑，
，
，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)B：當(dāng)平面平面時(shí)，四面體體積的最大，此時(shí)高為，
，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)C：設(shè)方形對(duì)角線AC與BD交于O，
由題意，翻折后當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
此時(shí)，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，
所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)D：結(jié)合C的分析知，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點(diǎn)，
底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的，
即所求曲面的面積為，故選項(xiàng)D正確.
故選: ACD.
變式2、【2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月】如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.
（1）求證：平面平面；
（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再計(jì)算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，.
∵，∴.
∵，，
∴，同理.
又，∴，
∴.∵，，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面；
（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系可知，，，，，∴，.
∵三棱錐和的體積比為，
∴，∴，∴.
設(shè)平面的法向量為，則，令，得.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
∴直線與平面所成角的正弦值為.

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