常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 等比數(shù)列的基本量的計(jì)算
典例1．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
變式1-1．已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
變式1-2．已知等差數(shù)列中，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若等比數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
變式1-3．已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和．
(1)求的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和．
考點(diǎn)二 由等比數(shù)列求參數(shù)的值或最值
典例2．設(shè)是等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，且，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求的最小值.
變式2-1．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的的最大值.
變式2-2．在等比數(shù)列中，a2＝1，a5＝8，n∈N*．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若＜100，求n的最大值．
變式2-3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 等比數(shù)列的基本量的計(jì)算
1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.
2．設(shè)是公比不為的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
3．已知等差數(shù)列中，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
4．等差數(shù)列滿足，.
（1）求的通項(xiàng)公式.
（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
練習(xí)二 由等比數(shù)列求參數(shù)的值或最值
5．在等差數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，的前n項(xiàng)和，求使得成立的n的最小值．
6．已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，求滿足的n的最大值．
7．已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，．
（1）求；
（2）求滿足的最小整數(shù)．
8．在各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列中，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求正整數(shù)m的值．
第二篇 數(shù)列
專題02 等比數(shù)列的基本量的計(jì)算
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 等比數(shù)列的基本量的計(jì)算
典例1．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，數(shù)列的公差為d．依題意求出，即可求出公比，從而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，得到方程組，求出和，即可求出；
（2）由（1）可得，再利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；
(1)
解：設(shè)數(shù)列的公比為q，數(shù)列的公差為d．
由，，得，∴．∴．
由得解得
∴．
(2)
（2）由（1）知，，
∴，
∴數(shù)列的前項(xiàng)和．
變式1-1．已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)條件列公差與公比方程組，解得結(jié)果，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，
因?yàn)椋?br>所以
因此；
（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和
【點(diǎn)睛】
本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
變式1-2．已知等差數(shù)列中，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若等比數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由，可得，解得，求出. （2）設(shè)等比數(shù)列的公比為求出利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則
由，可得，解得
從而.
即數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則
由， ，
解得，
所以的前項(xiàng)和公式．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
變式1-3．已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和．
(1)求的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)與求出進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）求出，進(jìn)而求出公比，通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.
(1)
，
解得：
故通項(xiàng)公式，即．
(2)
由（1）得．
設(shè)的公比為q，則，從而．
故的前n項(xiàng)和
．
考點(diǎn)二 由等比數(shù)列求參數(shù)的值或最值
典例2．設(shè)是等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，且，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題意易得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可求出的公比為，由此即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可求，進(jìn)而求出的表達(dá)式，再根據(jù)，列出關(guān)于不等式，解不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）設(shè)的公比為q，因?yàn)?，所以，所以?br>又，所以，所以.
（2）因?yàn)?，所以?br>由，得，即，解得，
所以n的最小值為6.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
變式2-1．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可得解.
(1)
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由，
故.
(2)
解：，則，
整理得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合乎題意；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，可得，可得.
因此，的最大值為.
變式2-2．在等比數(shù)列中，a2＝1，a5＝8，n∈N*．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若＜100，求n的最大值．
【答案】(1)an＝2n﹣2；
(2)n＝7.
【解析】
【分析】
（1）由已知結(jié)合等比數(shù)控的性質(zhì)可求公比q，然后結(jié)合通項(xiàng)公式即可求解；
（2）結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解n.
(1)
因?yàn)閍2＝1，a5＝8，
所以q3＝＝8，故q＝2，則
(2)
Sn＝＝＜100，
則2n＜201，
由于27＝128，28＝256
滿足條件的n＝7.
變式2-3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得首項(xiàng)和公比，由此求得的通項(xiàng)公式.
（2）利用列方程，化簡(jiǎn)求得的值.
(1)
設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，
，
所以.
(2)
.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 等比數(shù)列的基本量的計(jì)算
1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等差中項(xiàng)可得，進(jìn)而求出公差，由此即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由題意可知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.
(1)
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以,
所以，即；
(2)
解：由（1）可知，，
所以，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以的前項(xiàng)和.
2．設(shè)是公比不為的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）設(shè)公比為，由題意可得，解得，可得；（Ⅱ）根據(jù)以及，可得，可得.
【詳解】
解：（Ⅰ）設(shè)的公比為．
因?yàn)闉?，的等差中?xiàng)，
所以，即，
又因?yàn)椋?br>所以，
即，
因?yàn)椋?br>所以．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以．
3．已知等差數(shù)列中，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，?br>所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.
4．等差數(shù)列滿足，.
（1）求的通項(xiàng)公式.
（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）根據(jù)條件計(jì)算，從而求出，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求出.
【詳解】
解：()∵是等差數(shù)列，
，
∴解出，，
∴
.
()∵，
，
是等比數(shù)列，
，
∴b1=4
練習(xí)二 由等比數(shù)列求參數(shù)的值或最值
5．在等差數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，的前n項(xiàng)和，求使得成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【解析】
【分析】
（1）已知數(shù)列類型，待定系數(shù)列式求解即可.
（2）新數(shù)列，通項(xiàng)已知，可以求和，是定值，直接解不等式即可.
(1)
設(shè)公差為d，
由已知得，
解得，
所以，
即的通項(xiàng)公式為．
(2)
，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以成立的n的最小值為3．
6．已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，求滿足的n的最大值．
【答案】(1)
(2)10
【解析】
【分析】
(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件列關(guān)于和d的方程組即可求解；
(2)設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)已知條件求出和q，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出，再解關(guān)于n的不等式即可.
(1)
由題意得，解得，
∴．
(2)
∵，，
又，∴，公比，∴，
令，得，
令，所以n的最大值為10．
7．已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，．
（1）求；
（2）求滿足的最小整數(shù)．
【答案】（1）；（2）最小整數(shù).
【解析】
【分析】
（1）由可得，結(jié)合已知求通項(xiàng)(注意判斷是否可以合并)，進(jìn)而求.
（2）由題設(shè)有有成立，理解指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異，應(yīng)用枚舉的方法寫出最小整數(shù)．
【詳解】
（1）由題設(shè)，，則，即，
∴，即，
∴，故，
∴.
（2）有，
∴，故滿足的最小整數(shù)．
8．在各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列中，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求正整數(shù)m的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】
（Ⅰ）是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公式為，則，
由，則，
又，則，
（Ⅱ），解得.

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