常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 等差數(shù)列的基本量的計(jì)算
典例1．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列. 求
（1） a1和d.
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
變式1-1．已知是等差數(shù)列，其中，公差，
（1）求的通項(xiàng)公式.
（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和.
變式1-2．等差數(shù)列中，，.
（1）求；
（2）求通項(xiàng)和前項(xiàng)和.
變式1-3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
考點(diǎn)二 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題
典例2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
（1）求公差及的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值.
變式2-1．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值.
變式2-2．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)為負(fù)．
(1)求數(shù)列的公差；
(2)求前n項(xiàng)和Sn的最大值．
變式2-3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求當(dāng)取何值時(shí)有最小值.
考點(diǎn)三 含絕對(duì)值型求和問題
典例3．記數(shù)列中，，，.
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
(2)記，求.
變式3-1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

變式3-2．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，試求數(shù)列的前項(xiàng)和.

變式3-3．在①②若為等差數(shù)列，且③設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為的最小值及的值
(3)記，求

鞏固練習(xí)
練習(xí)一 等差數(shù)列的基本量的計(jì)算
1．在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個(gè)根．
(1)求，；
(2)求的通項(xiàng)公式．

2．已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．

3．已知等差數(shù)列中，公差.求：
（1）的值；
（2）該數(shù)列的前5項(xiàng)和.

4．已知等差數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

練習(xí)二 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題
5．已知數(shù)列中，且.
(1)求；
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值.

6．已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2=11，S5=45.
(1)求{an}的通項(xiàng)an；
(2)求{an}的前n項(xiàng)和為Sn的最大值.

7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，，.
（1）求；
（2）求的最大值，并求對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).

8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.

練習(xí)三 含絕對(duì)值型求和問題
9．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.

10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求的前項(xiàng)和.

11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的值.

12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前17項(xiàng)和.

第二篇 數(shù)列
專題01 等差數(shù)列的基本量的計(jì)算
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 等差數(shù)列的基本量的計(jì)算
典例1．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列. 求
（1） a1和d.
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），，或，，（2）或
【解析】
【分析】
（1）由成等比數(shù)列，可得，結(jié)合，列出關(guān)于的方程組，可求出a1和d.
（2）直接利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可
【詳解】
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，
即，
因?yàn)椋?，即?br>所以，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，，或，，
（2）當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，
【點(diǎn)睛】
此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題
變式1-1．已知是等差數(shù)列，其中，公差，
（1）求的通項(xiàng)公式.
（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以直接求出；
（2）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可以直接求出.
【詳解】
（1）是等差數(shù)列，且，，
；
（2）.
【點(diǎn)睛】
本題考查已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.
變式1-2．等差數(shù)列中，，.
（1）求；
（2）求通項(xiàng)和前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）解方程組即得；（2）利用公式求解即可.
【詳解】
（1）由題得.
（2）由題得.
所以前項(xiàng)和.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法和前n項(xiàng)和的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
變式1-3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
【詳解】
設(shè)的公差為d，則由題意得，
解得：.
(1)的通項(xiàng)公式為，
即.
（2）的前n項(xiàng)和為.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查利用基本元的思想求等差數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.基本元的思想是在等差數(shù)列中有個(gè)基本量，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出方程組，通過解方程組即可求得數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列其它的一些量的值.
考點(diǎn)二 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題
典例2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
（1）求公差及的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1），；（2），最小值為.
【解析】
（1）設(shè)的公差為，由題意得，再由可得，從而可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，從而可求出其最小值
【詳解】
（1）設(shè)的公差為，由題意得.
由得.
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得.
所以時(shí)，取得最小值，最小值為
變式2-1．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）；（2），時(shí)，的最小值為.
【解析】
（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式求出，，代入通項(xiàng)公式即可求解.
（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，配方即可求解.
【詳解】
（1）設(shè)的公差為 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
變式2-2．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)為負(fù)．
(1)求數(shù)列的公差；
(2)求前n項(xiàng)和Sn的最大值．
【答案】（1）；（2）78
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)可得的范圍，再根據(jù)為整數(shù)得到的值.
（2）根據(jù)項(xiàng)的符號(hào)特征可得最大．
【詳解】
(1)由已知，得，
.
解得.
又，∴.
(2)∵，∴數(shù)列是遞減數(shù)列．
又∵，，
∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值，為.
【點(diǎn)睛】
一般地，等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值可以通過等差數(shù)列的通項(xiàng)的符號(hào)來確定，如果滿足，，則有最小值且最小值為；如果滿足，，則有最大值且最大值為.
變式2-3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求當(dāng)取何值時(shí)有最小值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)的公差為，構(gòu)建關(guān)于基本量的方程組，求出的值后可求的通項(xiàng)公式.
（2）求出的表達(dá)式，從而可求當(dāng)取何值時(shí)有最小值.
【詳解】
（1）設(shè)的公差為，由題意得得，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
【點(diǎn)睛】
本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及前項(xiàng)和的最值，此類問題，可根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于基本量的方程組，求出基本量的值后可討論與等差數(shù)列相關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.
考點(diǎn)三 含絕對(duì)值型求和問題
典例3．記數(shù)列中，，，.
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
(2)記，求.
【答案】(1)證明見解析，；
(2)且.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可證等差數(shù)列，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.
（2）由（1）有，討論、分別求即可.
(1)
∵，，，
∴，
∴，即數(shù)列為等差數(shù)列，
.
(2)
由（1）知：，
時(shí)，，
時(shí)，.
∴且.
變式3-1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；
（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為和，
∴，解得：
所以.
(2)
，所以.
當(dāng)；當(dāng)，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
.
綜上：.
變式3-2．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，試求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用的關(guān)系求通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明結(jié)論.
（2）由（1）得，討論的范圍，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.
(1)
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，也適合上式，故.
綜上，，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
(2)
由（1）知：，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴
變式3-3．在①②若為等差數(shù)列，且③設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為的最小值及的值
(3)記，求
【答案】(1)
(2)當(dāng)或時(shí)，取得最小值為.
(3)
【解析】
【分析】
（1）選①結(jié)合等差數(shù)列的定義求得；選②通過求來求得；選③利用求得.
（2）由求得的最小值以及對(duì)應(yīng)的值.
（3）結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.
(1)
選①，，
，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.
選②，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
.
選③，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)上式也符合，所以.
(2)
由得，
所以當(dāng)或時(shí)，最小，且最小值為.
(3)
，
結(jié)合（2）可知
.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 等差數(shù)列的基本量的計(jì)算
1．在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個(gè)根．
(1)求，；
(2)求的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)，或，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）求出方程的根即可.
（2）由（1）可解出等差數(shù)列的公差即可.
(1)
因?yàn)?，所以?4，
所以，；或，．
(2)
設(shè)公差為d，
若，，得，
所以通項(xiàng)公式為；
若，，則，
所以通項(xiàng)公式為．
故的通項(xiàng)公式：或.
2．已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
【答案】（1），；（2），.
【解析】
【分析】
（1）由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求、，寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）可得，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.
【詳解】
（1）由題意，，可得，若公差為，
∴，故，
∴的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）得，則，
∴.
3．已知等差數(shù)列中，公差.求：
（1）的值；
（2）該數(shù)列的前5項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得.
（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.
【詳解】
（1）依題意，
所以.
（2）.
4．已知等差數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）根據(jù)題中條件，先得出公差，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列中，首項(xiàng)為，公差為，
所以其通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）可得，數(shù)列的前項(xiàng)和.
練習(xí)二 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題
5．已知數(shù)列中，且.
(1)求；
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值.
【答案】(1)＝﹣4n+17；
(2)28.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷為等差數(shù)列即可求其通項(xiàng)公式；
(2)根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)即可求其最值.
(1)
由﹣4，可知，﹣＝﹣4，
∴數(shù)列{}是以13為首項(xiàng)，以﹣4為公差的等差數(shù)列，
∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；
(2)
由(1)可知，數(shù)列{}單調(diào)遞減，且a4＞0，a5＜0，
∴當(dāng)n＝4時(shí)，{}的前n項(xiàng)和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.
6．已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2=11，S5=45.
(1)求{an}的通項(xiàng)an；
(2)求{an}的前n項(xiàng)和為Sn的最大值.
【答案】(1)an=15-2n
(2)49
【解析】
【分析】
（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3=9，d=a3-a2=-2，從而寫出通項(xiàng)公式；
（2）由通項(xiàng)公式知a7=1>0，a8=-10，a8=-1

相關(guān)試卷

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題01解三角形中的角、邊、面積、周長計(jì)算問題(原卷版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題01解三角形中的角、邊、面積、周長計(jì)算問題(原卷版+解析)，共48頁。試卷主要包含了角的計(jì)算，邊的計(jì)算，面積的計(jì)算，周長的計(jì)算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)40天突破90分講義專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量 （原卷版+解析版）：

這是一份備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)40天突破90分講義專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量 （原卷版+解析版），共38頁。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量 （原卷版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量 （原卷版），共12頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題（含解析）
高考 第6講 等差數(shù)列基本量的計(jì)算

高考 第6講 等差數(shù)列基本量的計(jì)算
專題01 等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算（第二篇）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋

專題01 等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算（第二篇）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋
專題01 等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋

專題01 等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部