常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線面平行的判定
典例1．如圖所示，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，求證：平面
變式1-1．如圖所示，平面五邊形可分割成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和一個(gè)直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，現(xiàn)將直角梯形ACDE沿邊AC折起，使得AE⊥AB，連接BE、BD，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為F．
求證：AF平面BDE；
變式1-2．如圖，四棱錐中，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足，求證：平面.
變式1-3．如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起.證明平面.
考點(diǎn)二 面面平行的判定
典例2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)，DC//AB，求證：平面PAB//平面EFG.
變式2-1．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是A1C1，A1D和B1A上任意一點(diǎn)．求證：平面平面.
變式2-2．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D， D1分別在AC， A1C1上，那么當(dāng)點(diǎn)D在什么位置時(shí)，平面BC1D∥平面AB1D1
變式2-3．如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.
考點(diǎn)三 線面平行的性質(zhì)
典例3．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，點(diǎn)在棱上，平面．
求證：為的中點(diǎn)；
變式3-1．四面體如圖所示，過(guò)棱的中點(diǎn)作平行于，的平面，分別交四面體的棱于點(diǎn)．證明：四邊形是平行四邊形．
變式3-2．如圖所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點(diǎn)，D'是B'C'的中點(diǎn)，設(shè)平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判斷直線a，b的位置關(guān)系，并證明．
變式3-3．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．
考點(diǎn)四 面面平行的性質(zhì)
典例4．如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接FN，求證：FN∥CM．
變式4-1．如圖，在棱錐中，，截面底面BDC．已知的周長(zhǎng)是18，求的周長(zhǎng)．
變式4-2．如圖，已知平面平面，點(diǎn)P是平面，外一點(diǎn)，且直線PB，PD分別與，相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．如果，，，求PD的長(zhǎng)．
變式4-3．如圖所示，兩條異面直線，與兩平行平面，分別交于點(diǎn)，和，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線面平行的判定
1．如圖，四棱錐中，O為底面平行四邊形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．求證：平面DCF．
2．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn).求證：EF平面ABC1D1.
3．如圖所示，在四棱錐中，，，，底面， 為的中點(diǎn)。求證：平面
4．如圖，四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)在線段上，且滿足.求證:平面.
練習(xí)二 面面平行的判定
5．如圖，在三棱柱中，、分別是棱、的中點(diǎn)，求證：平面平面．
6．如圖甲，在直角梯形中，，，，、、分別為、、的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，如圖乙.求證：平面平面.
7．如圖，在三棱錐中，，過(guò)A作，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：平面平面ABC.
8．如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，G是DE的中點(diǎn).求證：面面BEF.
練習(xí)三 線面平行的性質(zhì)
9．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明.
10．如圖，五面體中，四邊形為矩形，平面，，，為中點(diǎn)．求證：平面；
11．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和作平面，交平面于，點(diǎn)在線段上.求證：.
12．如圖所示，在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于.
證明：.
練習(xí)四 面面平行的性質(zhì)
13．如圖，已知，點(diǎn)P是平面外的一點(diǎn)，直線和分別與相交于B和D.
（1）求證：；
（2）已知，求的長(zhǎng).
14．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D為AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中，AP平面EFG.
15．如圖，在四棱錐中，，，，，、、分別為線段、、的中點(diǎn)，
證明：直線平面.
16．如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面與平面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分別為棱BE，DF的中點(diǎn)．
求證：PQ∥平面ABCD．
第三篇 立體幾何
專(zhuān)題01 平行問(wèn)題的證明
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線面平行的判定
典例1．如圖所示，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
連接交于，連接，則由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論
【詳解】
證明：如圖，連接交于，連接，
∵四邊形是平行四邊形．∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．
∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．
∵平面，平面，∴平面．
變式1-1．如圖所示，平面五邊形可分割成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和一個(gè)直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，現(xiàn)將直角梯形ACDE沿邊AC折起，使得AE⊥AB，連接BE、BD，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為F．
求證：AF平面BDE；
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG，利用平行四邊形證AFEG，由線面平行的判定可證AF面BDE.
【詳解】
證明：取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG，由F為BC的中點(diǎn)，
∴FGDC且FG＝CD，又AECD且CD＝2AE，
∴AEFG且AE＝FG，即四邊形AFGE為平行四邊形，
∴AFEG，又面BDE，面BDE，
∴AF平面BDE.
變式1-2．如圖，四棱錐中，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足，求證：平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
通過(guò)線線平行來(lái)證得平面.
【詳解】
連接BD，
∵，∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴平面.
變式1-3．如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起.證明平面.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
通過(guò)證明，證得平面.
【詳解】
、分別為正方形的邊、的中點(diǎn)，
∴，且，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∵平面，而平面，∴平面.
考點(diǎn)二 面面平行的判定
典例2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)，DC//AB，求證：平面PAB//平面EFG.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行證明.
【詳解】
由于分別是的中點(diǎn)，
所以是三角形的中位線，
所以，
由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
由于分別是的中點(diǎn)，
所以是三角形的中位線，
所以，
由于平面，平面，
所以平面.
由于，
所以平面PAB//平面EFG.
變式2-1．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是A1C1，A1D和B1A上任意一點(diǎn)．求證：平面平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
通過(guò)證明平面平面來(lái)證得平面平面.
【詳解】
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，
由于平面，平面，
所以平面.
同理可證得平面，
由于,
所以平面平面，
所以平面平面.
百世2-2．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D， D1分別在AC， A1C1上，那么當(dāng)點(diǎn)D在什么位置時(shí)，平面BC1D∥平面AB1D1
【答案】D為AC的中點(diǎn)
【解析】
【分析】
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可求解．
【詳解】
連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
因此BC1∥D1O．同理AD1∥DC1，
所以＝， ＝．
又因?yàn)椋?，所以＝1，即D為AC的中點(diǎn)．
變式2-3．如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
由正方形的性質(zhì)得出，可得出平面，由線面垂直的性質(zhì)定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論.
【詳解】
由于四邊形是正方形，，
平面，平面，平面，
平面，平面，，
平面，平面，平面，
，平面平面.
【點(diǎn)睛】
本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.
考點(diǎn)三 線面平行的性質(zhì)
典例3．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，點(diǎn)在棱上，平面．
求證：為的中點(diǎn)；
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，結(jié)合正方形的性質(zhì)易知是的中點(diǎn)，即是中位線，即可證結(jié)論.
【詳解】
證明：連接，交于點(diǎn)，連接．
∵面，面面，面，面，
∴．
∵四邊形是正方形，，即是的中點(diǎn)．
∴△中是中位線，故為的中點(diǎn)．
變式3-1．四面體如圖所示，過(guò)棱的中點(diǎn)作平行于，的平面，分別交四面體的棱于點(diǎn)．證明：四邊形是平行四邊形．
【答案】見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得，所以，同理證得.根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得結(jié)論.
【詳解】
由題設(shè)知，∥平面，
又平面 平面，平面 平面，
∥，∥，∥．
同理∥，∥，∥．
故四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查平行四邊形的判定，屬于基礎(chǔ)題.
變式3-2．如圖所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點(diǎn)，D'是B'C'的中點(diǎn)，設(shè)平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判斷直線a，b的位置關(guān)系，并證明．
【答案】直線a，b的位置關(guān)系是平行，證明見(jiàn)試題解析．
【解析】
【分析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得，再證得，利用平行公理，可證得.
【詳解】
∵平面ABC//平面A'B'C'，平面A'D'B∩平面ABC=a，平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'，
∴A'D'//a，同理可得AD//b．
又D是BC的中點(diǎn)，D'是B'C'的中點(diǎn)，∴ ，而 ，∴ ，
∴四邊形AA'D'D為平行四邊形，∴A'D'//AD，因此a//b．
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查線面平行的性質(zhì)定理和平行公理的應(yīng)用.要證明線線平行，可以先證兩條直線和第三條直線平行，利用公理，即平行公理可證得兩直線平行.屬于基礎(chǔ)題.
變式3-3．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證
【詳解】
因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，
所以平面BCD，
又因?yàn)槠矫鍭CD，且平面平面BCD，
所以，
又因?yàn)槠矫鍱FGH，平面EFGH，
所以平面EFGH
考點(diǎn)四 面面平行的性質(zhì)
典例4．如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接FN，求證：FN∥CM．
【答案】見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
先通過(guò)中位線，通過(guò)線線平行，證得平面平面，在根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證得.
【詳解】
因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB．
又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC．
又平面PCM∩平面DEF＝FN，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以FN∥CM．
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查線線平行的證明、線面平行的證明和面面平行的證明，其中涉及到了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，還有面面平行的性質(zhì)定理.在平行轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，已知和求之間，用判定定理還是性質(zhì)定理，要看清楚題目所給的條件來(lái)判斷.
變式4-1．如圖，在棱錐中，，截面底面BDC．已知的周長(zhǎng)是18，求的周長(zhǎng)．
【答案】6
【解析】
【分析】
由面面平行可得線線平行，然后由相似三角形可解.
【詳解】
因?yàn)榻孛娴酌鍮DC，且面面，面面
所以，
所以
又
所以
同理可得，
所以，即
所以，，即的周長(zhǎng)等于6.
變式4-2．如圖，已知平面平面，點(diǎn)P是平面，外一點(diǎn)，且直線PB，PD分別與，相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．如果，，，求PD的長(zhǎng)．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可
【詳解】
由題意可知：平面，平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>因此有.
變式4-3．如圖所示，兩條異面直線，與兩平行平面，分別交于點(diǎn)，和，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，，即可得到平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面。
【詳解】
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，
連接，，，，，，如圖所示：
因?yàn)?，所以，確定平面.
則平面，平面，因?yàn)椋?
又分別為，的中點(diǎn)，
所以，，，所以.
又分別為，的中點(diǎn)，
所以，且，
所以，因?yàn)椋?br>所以平面.
又平面，所以平面.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線面平行的判定
1．如圖，四棱錐中，O為底面平行四邊形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．求證：平面DCF．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
以線面平行判定定理去證明即可.
【詳解】
連接OF
O為底面平行四邊形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn)，則
△中，，，則
又平面，平面，則平面DCF．
2．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn).求證：EF平面ABC1D1.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
由E為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，得EF為△BDD1的中位線，所以EFBD1，從而可證明線面平行.
【詳解】
如圖，連接BD1，在△BDD1中，
因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，
所以EF為△BDD1的中位線，所以EFBD1，
又BD1?平面ABC1D1，EF?平面ABC1D1，
所以EF平面ABC1D1.
3．如圖所示，在四棱錐中，，，，底面， 為的中點(diǎn)。求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
取的中點(diǎn)，連接，由三角形的中位線定理可得∥,，而已知∥，，從而得∥，，所以四邊形為平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證明
【詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以∥,，
因?yàn)椤危?br>所以∥，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
4．如圖，四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)在線段上，且滿足.求證:平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
連結(jié)，連結(jié)，可證，結(jié)合已知可證，即可證明結(jié)論.
【詳解】
連結(jié)，∵，
，,在中，連結(jié)，
∵，∴，
又面，面，∴面.
【點(diǎn)睛】
本題考查線線垂直的證明，注意空間垂直之間互相轉(zhuǎn)化，考查線面線平行，屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)二 面面平行的判定
5．如圖，在三棱柱中，、分別是棱、的中點(diǎn)，求證：平面平面．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，證明，再由線面平行的判定可得平面；由為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，證得四邊形為平行四邊形，得到，進(jìn)一步得到平面．再由平面，結(jié)合面面平行的判定可得平面平面．
【詳解】
證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，
四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，是三角形的中位線，則，
又平面，平面，
平面；
為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
且，則四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面．
又平面，，且平面，平面，
平面平面．
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與平面，平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．
6．如圖甲，在直角梯形中，，，，、、分別為、、的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，如圖乙.求證：平面平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
分別證明出平面，平面，然后利用面面平行的判定定理可得出平面平面.
【詳解】
翻折前，在圖甲中，，，，
翻折后，在圖乙中，仍有，
、、分別為、、的中點(diǎn)，，，，
平面，平面，平面.
平面，平面，平面.
又，平面平面.
【點(diǎn)睛】
本題考查面面平行的證明，證明時(shí)要注意線線位置關(guān)系在翻折前后的變化，考查推理能力，屬于中等題.
7．如圖，在三棱錐中，，過(guò)A作，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：平面平面ABC.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
由已知可得為中點(diǎn)，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)，可得，證得
平面ABC，同理平面ABC，即可證明結(jié)論.
【詳解】
證明：因?yàn)?，，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn).
又E是SA的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以平面ABC.
同理平面ABC.又，平面，
所以平面平面ABC.
【點(diǎn)睛】
本題考查面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.
8．如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，G是DE的中點(diǎn).求證：面面BEF.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
根據(jù)已知條件可證面BEF，面BEF，即可證明結(jié)論.
【詳解】
如圖所示，
連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OG，
易知O是BD的中點(diǎn)，故.
又面BEF，面BEF，所以面BEF.
因?yàn)?，面BEF，所以面BEF.
又AC與OG相交于點(diǎn)O，AC，OG面，
所以面面BEF.
【點(diǎn)睛】
本題考查面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)三 線面平行的性質(zhì)
9．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明.
【答案】平面，證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
利用線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，最后再次根據(jù)線面平行的判定定理可得平面.
【詳解】
直線平面，證明如下：
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.
又平面，且平面，
所以平面.
而平面，且平面平面，
所以.
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
【點(diǎn)睛】
本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，解題時(shí)注意兩類(lèi)平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，本題屬于基礎(chǔ)題.
10．如圖，五面體中，四邊形為矩形，平面，，，為中點(diǎn)．求證：平面；
【答案】詳見(jiàn)解析.
【解析】
取中點(diǎn)，連，由平面，可證，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結(jié)論.
【詳解】
取中點(diǎn)，連，
平面，平面，
平面平面
為中點(diǎn)，，
且，
四邊形為平行四邊形，，
平面平面，
平面.
【點(diǎn)睛】
本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明直線與平面平行，要注意直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
11．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和作平面，交平面于，點(diǎn)在線段上.求證：.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
連接交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出．從而平面．由線面平行的性質(zhì)定理可證明．
【詳解】
證明：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，連接．
∵四邊形是平行四邊形，
∴是的中點(diǎn)
又是的中點(diǎn)，∴.
又平面，平面BDM，
∴平面
又平面，平面平面，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查線線平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．如圖所示，在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于.
證明：.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
通過(guò)四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；
【詳解】
證明： 且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面
平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>；
【點(diǎn)睛】
本題考查線面平行的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)四 面面平行的性質(zhì)
13．如圖，已知，點(diǎn)P是平面外的一點(diǎn)，直線和分別與相交于B和D.
（1）求證：；
（2）已知，求的長(zhǎng).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由面面平行的性質(zhì)定理得證線線平行；
（2）由平行線的性質(zhì)可求得線段長(zhǎng)．
【詳解】
（1），所以確定一個(gè)平面，
由題意平面，平面，
所以；
（2）由（1），所以，所以，
所以．
14．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D為AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中，AP平面EFG.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
通過(guò)證明平面平面來(lái)證得平面.
【詳解】
在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EFCD.
∵ABCD，∴EFAB.∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF平面PAB.
同理EG平面PAB.
又EF∩EG=E，∴平面EFG平面PAB.
∵AP?平面PAB，
∴AP平面EFG.
15．如圖，在四棱錐中，，，，，、、分別為線段、、的中點(diǎn)，
證明：直線平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
連接、，與相交于點(diǎn)，連接，則由已知結(jié)合三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得平面，由三角形中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得平面，由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論
【詳解】
如圖，連接、，與相交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?，為線段的中點(diǎn)，，
所以四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)?、分別為線段、的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫矫?，?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫?，所以平?
16．如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面與平面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分別為棱BE，DF的中點(diǎn)．
求證：PQ∥平面ABCD．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
通過(guò)作的中點(diǎn)，連，結(jié)合中位線定理進(jìn)一步證明，，從而得證平面平面，推出PQ∥平面ABCD，即通過(guò)面面平行來(lái)證線面平行
【詳解】
取的中點(diǎn)，連，
在中，所以，
又平面，平面，
所以平面；
在梯形中，，
所以，同理平面；
又平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面
【點(diǎn)睛】
本題考查通過(guò)面面平行來(lái)證線面平行，采用面面平行來(lái)證線面平行，一般都是都過(guò)證另外兩條直線和另一平面平行，得出面面平行，進(jìn)而推出線面平行

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