常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 面積最值問(wèn)題
典例1．已知在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.
（1）求角C的大??；
（2）若，求△的面積S的最大值.
變式1-1．中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且
（1）求角B
（2）當(dāng)b=3時(shí)，求的面積的最大值．
變式1-2．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求面積的最大值.
變式1-3．△ABC中，角的對(duì)邊分別為，已知，且，
（1）若，求邊長(zhǎng)b的值；
（2）求△ABC的面積S的最大值．
考點(diǎn)二 周長(zhǎng)最值問(wèn)題
典例2．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
（1）求角的值；
（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
變式2-1．已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，.
（1）求角；
（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值.
變式2-2．在銳角中，向量與平行.
（1）求角A；
（2）若a=2，求周長(zhǎng)的取值范圍.
變式2-3．在中，已知內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別是a?b?c，且.
（1）求角C的大?。?br>（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
考點(diǎn)三 角的最值問(wèn)題
典例3．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，
.
（1）求C；
（2）求的取值范圍.
變式3-1．在中，??所對(duì)的邊分別為a?b?c，且，的面積為.
（1）求角C的大?。?br>（2）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角A?B的大小.
變式3-2．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，面積．
（1）求角的大?。?br>（2）求的最大值，及取得最大值時(shí)角的值．
變式3-3．在銳角中，角所對(duì)的邊分別是，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范圍．
考點(diǎn)四 邊的最值問(wèn)題
典例4．已知在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍.
變式4-1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，求的最大值．
變式4-2．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）求的取值范圍．
變式4-3．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角B的大?。?br>（2）設(shè)，若，且A，C都為銳角，求m的取值范圍．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 面積最值問(wèn)題
1．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
2．已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.
（1）求的值；
（2）若，求面積的最大值.
3．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足.
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值.
4．在中，、、的對(duì)邊分別為、、，其中邊最長(zhǎng)，并且．
（1）求證：是直角三角形；
（2）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．
練習(xí)二 周長(zhǎng)最值問(wèn)題
5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.
（1）求角A的大?。?br>（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
6．在①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并作答．
問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．
（1）求角A的大?。?br>（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
7．在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知
（1）求角的值；
（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
8．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為．
（1）求角C的大??；
（2）若．求周長(zhǎng)的最大值．
練習(xí)三 角的最值問(wèn)題
9．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足
（1）求角A的大??；
（2）求的取值范圍.
10．已知向量，，且，其中、、是的內(nèi)角，，，分別是角，，的對(duì)邊．
（1）求角的大??；
（2）求的最大值．
11．在中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，，且，為方程的兩個(gè)根，.
（1）求三角形的面積；
（2）求的值.
12．在中，角，，所對(duì)邊分別為，，，且.
（1）求角的大?。?br>（2）求的取值范圍.
練習(xí)四 邊的最值問(wèn)題
13．已知的內(nèi)角對(duì)邊分別為，且.
（1）求角的大?。?br>（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍.
14．在銳角中，角的對(duì)邊分別為a，b，c，.
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
15．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范圍.
16．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinB＋sin（A-C）＝csC．
（1）求角A的大??；
（2）當(dāng)時(shí)，求a2＋b2的取值范圍．
第一篇 解三角形
專題02 解三角形中的最值問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 面積最值問(wèn)題
典例1．已知在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面積S的最大值.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號(hào)成立條件.
（1）
由正弦定理知：，
∴，又，
∴，則，故.
（2）
由，又，則，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴△的面積S的最大值為.
變式1-1．中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且
（1）求角B
（2）當(dāng)b=3時(shí)，求的面積的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理角化邊可得，根據(jù)余弦定理結(jié)合角B的范圍，即可得答案.
（2）由題意，結(jié)合基本不等式，可得，代入面積公式，即可得答案.
（1）
由正弦定理得：，整理得，
所以，
因?yàn)椋?br>（2）
因?yàn)椋?br>所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以面積的最大值.
變式1-2．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】
（1）；
（2）最大值為.
【分析】
（1）利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，即可得A；
（2）利用余弦定理?三角形的面積公式以及基本不等式，即可求出ABC面積的最大值.
（1）
解：，
， ，
.
，，
，.
（2）
解：由余弦定理得，.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
， ，
面積的最大值為.
變式1-3．△ABC中，角的對(duì)邊分別為，已知，且，
（1）若，求邊長(zhǎng)b的值；
（2）求△ABC的面積S的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理可以求出∠A，再結(jié)合正弦定理，即可求出邊b；
(2)使用三角形面積公式結(jié)合余弦定理和基本不等式即可求出面積最大值﹒
（1）
由余弦定理可知
∵
又，
∴由正弦定理可知：，∴，．
（2）
由(1)可知
又
由余弦定理可知
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，bc有最大值為12
則△ABC面積最大值．
考點(diǎn)二 周長(zhǎng)最值問(wèn)題
典例2．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
（1）求角的值；
（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理把邊化為角，結(jié)合三角變換可得解；
（2）用正弦定理把邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的值域求解，即可得到答案.
（1）
由正弦定理可得：，
因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以，
所以，可得：，即，
因?yàn)椋傻?，可得?br>所以可得
（2）
由正弦定理得，
所以
，
因?yàn)?，所?br>從而，所以，所以，
故周長(zhǎng)的取值范圍是
變式2-1．已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，.
（1）求角；
（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，進(jìn)而得解；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求最值.
（1）
，
由正弦定理得：，
則.
即，
.
又，.
，
；
（2）
由余弦定理得：，即，
16=a2+c2?ac=a+c2?3ac，
由，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).
故的周長(zhǎng)的最大值為.
變式2-2．在銳角中，向量與平行.
（1）求角A；
（2）若a=2，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
(1)利用向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合銳角三角形條件計(jì)算作答.
(2)由(1)結(jié)合正弦定理用角B表示邊b，c，借助三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答.
（1）
因向量與平行，則，由正弦定理得：，
而是銳角三角形，即，從而有,即，又，
所以.
（2）
在銳角中，由正弦定理得：，即，
而，且，解得，
則，
而，即，則有，即，
所以周長(zhǎng)的取值范圍是.
變式2-3．在中，已知內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別是a?b?c，且.
（1）求角C的大??；
（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，即，得到答案.
（2）根據(jù)余弦定理得到，利用均值不等式得到，得到周長(zhǎng)最大值.
（1）
由已知得，即，
，所以，
，，，所以，即，
，故.
（2）
由余弦定理得，即，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等于號(hào)成立）.
所以，即，于是周長(zhǎng).
故周長(zhǎng)的最大值是.
考點(diǎn)三 角的最值問(wèn)題
典例3．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，
.
（1）求C；
（2）求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由得，由正弦邊化角可求C；
（2）將代換成，化簡(jiǎn)得，結(jié)合銳角三角形關(guān)系求出范圍，結(jié)合三角函數(shù)即可求解的取值范圍.
（1）
由得，由正弦邊化角得，因三角形中，故，或（舍去）；
（2）
，， ，解得，又，所以，，.
變式3-1．在中，??所對(duì)的邊分別為a?b?c，且，的面積為.
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角A?B的大小.
【答案】
（1）
（2）最大值為2，此時(shí)，
【分析】
（1）根據(jù)面積公式和余弦定理得到，結(jié)合角度范圍得到答案.
（2）利用三角恒等變換得到原式為，根據(jù)角度范圍得到最值.
（1）
，故，
，故，
即，即，又，故.
（2）
，故，
，
，故，
當(dāng)，即時(shí)，取最大值為2.，此時(shí)，.
變式3-2．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，面積．
（1）求角的大??；
（2）求的最大值，及取得最大值時(shí)角的值．
【答案】
（1）；
（2）取得最大值為，此時(shí).
【分析】
（1）由三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，求出角的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的角的值.
（1）
解：由及題設(shè)條件得，即，
又，，，．
（2）
解：因?yàn)?br>，
，則，，
故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.
變式3-3．在銳角中，角所對(duì)的邊分別是，且．
（1）求角的大??；
（2）求的取值范圍．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化角為邊，再由余弦定理變形可得求得角；
（2）求出角范圍，把用角表示，然后結(jié)合二倍角公式、兩角和的正弦公式變形，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得取值范圍．
（1）
，
由正弦定理得，
所以，，
，所以，又，所以；
（2）
三角形為銳角三角形，所以，，即．
，
，則，，
所以．即的范圍是．
考點(diǎn)四 邊的最值問(wèn)題
典例4．已知在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求角；
（2）由（1）知：，根據(jù)是銳角三角形可求出，利用正弦定理化角為邊，，，結(jié)合以及角的范圍，再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
（1）
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，，
因?yàn)椋?，所?br>可得：，所以.
（2）
由正弦定理知：，
所以，，
所以
，
因?yàn)椋?，所以，?br>所以，
故的取值范圍為.
變式4-1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，求的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得，從而可得；
（2）由（1）和正弦定理化簡(jiǎn)得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍．
（1）
根據(jù)正弦定理，由得，
又因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)?，所?br>（2）
根據(jù)正弦定理
∴，
∴
故其中（）
又.當(dāng)時(shí)，取最大值
變式4-2．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）求的取值范圍．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理角化邊以及余弦定理即可求解.
(2) 由正弦定理邊化角，再由三角函數(shù)求最值.
（1）
由已知及正弦定理得，
即，由余弦定理得
，可得．
（2）
根據(jù)正弦定理得
，
又，則
故，則的取值范圍是．
變式4-3．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)，若，且A，C都為銳角，求m的取值范圍．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理角化邊，以及余弦定理，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理邊化角，三角恒等變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
（1）
根據(jù)題意，由已知及正弦定理，得，
即，故．
由余弦定理，得，
因?yàn)?，所以?br>（2）
根據(jù)題意，由，知，
即，，
故
．
由A，C都為銳角，，知，，
易得，故.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 面積最值問(wèn)題
1．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用輔助角公式可得，再根據(jù)的取值范圍，即可求出角；
（2）由三角形面積公式可得，再利用正弦定理可得，根據(jù)三角形為銳角三角形求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解；
（1）
解：由，即，所以.
又，所以，所以.
（2）
解：由題設(shè)及（1）知的面積.
由正弦定理得.
由于為銳角三角形，故，，
由（1）知，
所以，所以，所以，，所以，即，從而，
因此，面積的取值范圍是.
2．已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.
（1）求的值；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】
（1）2；
（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；
（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，即可求出面積的最大值.
（1）
解：由題意得，
由正弦定理得：，
即，
即，
因?yàn)椋?br>所以．
（2）
解：由余弦定理，即，
由基本不等式得：，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
，
所以面積的最大值為．
3．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足.
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）將，轉(zhuǎn)化為，再由余弦定理求解；
（2）根據(jù)△ABC的外接圓半徑為1，得到，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，再由求解.
（1）
解：因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，
因?yàn)椋?br>所以；
（2）
因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為1，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
故△ABC的面積S的最大值是.
4．在中，、、的對(duì)邊分別為、、，其中邊最長(zhǎng)，并且．
（1）求證：是直角三角形；
（2）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）利用同角關(guān)系，將已知條件變形，配合誘導(dǎo)公式，可以證明結(jié)論.（2）利用勾股定理知，利用基本不等式可得面積最大值
（1）
證明：由，得，即，
又邊最長(zhǎng)，則、均為銳角，所以，
解得，即，所以為直角三角形．
（2）
因?yàn)椋晒垂啥ɡ?因?yàn)?，所?
記面積為,則，由得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)時(shí)，面積取到最大值．
練習(xí)二 周長(zhǎng)最值問(wèn)題
5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.
（1）求角A的大??；
（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得結(jié)果；
（2）由余弦定理及均值不等式即可得到結(jié)果.
（1）
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴；
（2）
由余弦定理，
得，
即．
因?yàn)椋?
所以．即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．
所以．
故周長(zhǎng)的最大值.
6．在①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并作答．
問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．
（1）求角A的大?。?br>（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】
（1）條件選擇見(jiàn)解析，
（2）
【分析】
（1）選擇①，運(yùn)用正弦定理及輔助角公式可求解；選擇②運(yùn)用正弦定理及余弦定理可求解；選擇③，由三角形面積公式及余弦定理可求解.
（2）由正弦定理及輔助角公式可求解.
（1）
選擇①，由正弦定理可得，
又，所以，則，
則，故．
又因?yàn)?，所以，解得?br>選擇②，由正弦定理可得，
則，
則由余弦定理可得，故．
又因?yàn)?，所以?br>選擇③，由三角形面積公式可得，得．
又因?yàn)?，故?br>（2）
由正弦定理得，．
因?yàn)椋?br>所以
．
又，所以，從而．
7．在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知
（1）求角的值；
（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】
（1）
（2）9
【解析】
（1）
因?yàn)?br>由正弦定理可得，即
又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以；
（2）
由余弦定理得，
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以周長(zhǎng)的最大值為9.
8．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為．
（1）求角C的大?。?br>（2）若．求周長(zhǎng)的最大值．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)的面積公式可得出，化簡(jiǎn)后利用正弦定理進(jìn)行角化邊可得出，然后運(yùn)用余弦定理可求出的值，從而可求出角C的大?。?；
（2）根據(jù)，，利用余弦定理得出，然后根據(jù)基本不等式即可求出，從而可求出周長(zhǎng)的最大值．
（1）
因?yàn)榈拿娣e為，
所以，
即，所以由正弦定理，得，
所以．又，所以．
（2）
因?yàn)椋?br>由余弦定理，得
，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立．
所以當(dāng)是正三角形時(shí)，的周長(zhǎng)取最大值．
練習(xí)三 角的最值問(wèn)題
9．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足
（1）求角A的大?。?br>（2）求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用三角恒等變換得到，得到角度.
（2）利用三角恒等變換得到，再根據(jù)角度的范圍得到答案.
（1）
由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，所?br>即，解得，
因?yàn)?，所?
（2）
，故，所以且，
.
因?yàn)椋?，所以?br>即的取值范圍為.
10．已知向量，，且，其中、、是的內(nèi)角，，，分別是角，，的對(duì)邊．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由，得，由余弦定理可得答案；
（2）利用，可得，再由的范圍可得答案．
（1）
由，得，
由余弦定理，又，則．
（2）
由（1）得，則，
可得：，
，，，
．
即最大值為．
11．在中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，，且，為方程的兩個(gè)根，.
（1）求三角形的面積；
（2）求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)韋達(dá)定理得到，，再由余弦定理得到，所以，根據(jù)三角形面積公式得到結(jié)果即可；（2）由正弦定理得到，進(jìn)而得到.
（1）
因?yàn)?，為方程的兩個(gè)根，所以，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以三角形的面積為
（2）
在三角形中，由正弦定理得，
所以，所以.
12．在中，角，，所對(duì)邊分別為，，，且.
（1）求角的大?。?br>（2）求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知，，則，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可.
（1）
由正弦定理可得：，
又∵
∴
∵
∴
（2）
由得，
且，
∵
∴.
所以的取值范圍是
練習(xí)四 邊的最值問(wèn)題
13．已知的內(nèi)角對(duì)邊分別為，且.
（1）求角的大??；
（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理得，進(jìn)而，再結(jié)合求解即可得答案.
（1）
解：由已知得，
故由正弦定理得
由余弦定理得，
因?yàn)?，所?
（2）
解：由（1）知，
∴，∴
∴
在銳角三角形中，，
∴，∴，
∴，
∴的取值范圍為.
14．在銳角中，角的對(duì)邊分別為a，b，c，.
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理對(duì)已知條件化簡(jiǎn)，可求的值，結(jié)合為銳角，可求的值；
（2）由正弦定理可得，再根據(jù)銳角三角形，可得，所以的范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問(wèn)題求解．
（1）
解：因?yàn)椋?br>所以，即，
因?yàn)闉殇J角，所以，所以，
又，所以；
（2）
解：在銳角中，，所以，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
，
又，所以，可得，
所以，即的取值范圍是．
15．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知且.
（1）求角的大?。?br>（2）求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，即可求解；
（2）利用正弦定理及三角恒等變換可得，再根據(jù)三角函數(shù)的值域求解.
（1）
∵，
∴.
即，
，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴.
（2）
由正弦定理可得，
，
其中，，，
為銳角
∵為銳角三角形，則，
從而，
得，
，
∴，
，
∴，
從而的取值范圍為.
16．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinB＋sin（A-C）＝csC．
（1）求角A的大小；
（2）當(dāng)時(shí)，求a2＋b2的取值范圍．
【答案】
（1）
（2）（12，20）
【分析】
（1）利用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，求得，即可得到答案；
（2）由正弦定理得，根據(jù)可得3＜b＜4，再利用二次函數(shù)的值域即可得到答案；
（1）
（1）中，由sinB＋sin（A-C）＝csC得sin（A＋C）＋sin（A-C）＝csC，
化簡(jiǎn)2sinAcsC＝csC，而為銳角三角形，即csC≠0，
得，又，故；
（2）
（2）由正弦定理得，得
又，即，，故有3＜b＜4，
由余弦定理得a2＝b2＋c2-2bccsA＝b2-6b＋12，
所以．

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