常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線面垂直的判定
典例1．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面EAB．
變式1-1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，且，判斷直線AC與平面PBD是否垂直，并說明理由．
變式1-2．如圖，在中，M為邊BC的中點(diǎn)，沿AM將折起，使點(diǎn)B在平面ACM外．在什么條件下直線AM垂直于平面BMC？
變式1-3．如圖，在三棱柱中，為正三角形，，，為的中點(diǎn)，證明： 平面
考點(diǎn)二 面面垂直的判定
典例2．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面
變式2-1．如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；
變式2-2．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面，求證：平面平面．
變式2-3．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.
考點(diǎn)三 線面垂直的性質(zhì)
典例3．如圖，已知平面，D為的中點(diǎn)，求證：.
變式3-1．如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn).證明.
變式3-2．如圖，在三棱錐P-ABC中，，垂足為D，底面ABC，垂足為O,且O在CD上，求證：.
變式3-3．如圖，在空間四邊形PABC中，，，．求證：
考點(diǎn)四 面面垂直的性質(zhì)
典例4．在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
變式4-1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：AD∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥平面PAD
變式4-1．如圖所示，所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直．
(1)求證：平面；
(2)求證：．
變式4-2．如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：
(1)平面PAD；
(2)．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線面垂直的判定
1．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，求證：CD⊥平面PAD.
2．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).
(1)求證：平面PAB；
(2)求證：平面PAB.
3．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
4．如圖，矩形與梯形 所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
練習(xí)二 面面垂直的判定
5．如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,為的中點(diǎn).
(1)求證:面；
(2)求證:平面平面.
6．四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面PAD；
（2）求證：面PDC⊥面PAB；
7．如圖，在四棱柱中，平面底面，且.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
8．如圖所示，在四棱錐中，，，面面．
求證：（1）平面；
（2）平面平面．
練習(xí)三 線面垂直的性質(zhì)
9．P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求證：AE⊥PC．
10．如圖，已知在正方體中，E為的中點(diǎn)．求證：．
11．如圖，在三棱錐中，，．求證：．
12．如圖，正方體中，求證.
練習(xí)四 面面垂直的性質(zhì)
13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn).
求證:（1）AB 平面DEF ;
（2）BC⊥平面DEF .
14．如圖，矩形所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，是半圓弧上異于，的點(diǎn).
（1）證明：直線平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由.
15．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若為正三角形，且平面平面，求證：平面．
第三篇 立體幾何
專題02 垂直問題的證明
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線面垂直的判定
典例1．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面EAB．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
通過證明和，進(jìn)而可得證.
【詳解】
E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，
在Rt△和Rt△中，，
所以Rt△ Rt△，所以△，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又因?yàn)檎襟w中，平面,平面，
所以，和平面EAB內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面EAB.
變式1-1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，且，判斷直線AC與平面PBD是否垂直，并說明理由．
【答案】垂直，理由見詳解.
【解析】
【分析】
利用線面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】
設(shè)，連接，
底面ABCD是菱形，
則，且為的中點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
又因?yàn)?
所以平面PBD
變式1-2．如圖，在中，M為邊BC的中點(diǎn)，沿AM將折起，使點(diǎn)B在平面ACM外．在什么條件下直線AM垂直于平面BMC？
【答案】AB=AC
【解析】
【分析】
根據(jù)線面垂直的判斷定理分析即可求解.
【詳解】
解：由線面垂直的判斷定理有，要使直線AM垂直于平面BMC，
則應(yīng)有AM垂直于MC，且垂直于MB，即AM是BC上的高，
又因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，
所以AB=AC，即在AB=AC的條件下直線AM垂直于平面BMC．
變式1-3．如圖，在三棱柱中，為正三角形，，，為的中點(diǎn)，證明： 平面
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
按照線面垂直的判定，證明垂直平面內(nèi)的兩條相交線即可.
【詳解】
，得，
因?yàn)闉檎切?，所以為正三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn).所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋矫妫?br>所以平面
考點(diǎn)二 面面垂直的判定
典例2．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
利用面面垂直的判定定理即可得到證明
【詳解】
連接，
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以三角形為等邊三角形?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以
又，所以.
因?yàn)槠矫?，平面，所?br>因?yàn)?，所以平?
又平面，故平面平面
變式2-1．如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)定義，在平面中找一條線讓其垂直平面即可.
【詳解】
在正三棱柱中，平面，平面，則.
是棱的中點(diǎn)，為正三角形，則.
，平面， 平面，.
又，，， ，，
，則 和相似，故，
，則有，故.
，平面，且平面，平面平面.
變式2-2．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面，求證：平面平面．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
由面面垂直的性質(zhì)可得面，根據(jù)面面垂直的判定即可證平面平面．
【詳解】
證明：由底面為矩形，則，
∵面面，面面，面，
∴面，又平面，
∴平面平面．
變式2-3．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
先證直線平面，再證平面⊥平面.
【詳解】
證明: ∵是圓的直徑，是圓上任一點(diǎn)，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
【點(diǎn)睛】
本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單證明.
考點(diǎn)三 線面垂直的性質(zhì)
典例3．如圖，已知平面，D為的中點(diǎn)，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
通過線面垂直證明線線垂直即可.
【詳解】
證明：因?yàn)?，D為的中點(diǎn)，所以,
又平面，平面，所以，
又,且、平面，
所以平面，
又平面,
所以.
變式3-1．如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn).證明.
【答案】證明見解析
【解析】
連結(jié)，則易知與的交點(diǎn)為，利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即可得證.
【詳解】
證明：連結(jié)，則易知與的交點(diǎn)為，如圖所示：
由正六邊形的性質(zhì)可得，
∵，，，
∴平面，
∵平面，
∴.
變式3-2．如圖，在三棱錐P-ABC中，，垂足為D，底面ABC，垂足為O,且O在CD上，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】
通過線面垂直證得，結(jié)合得平面POC，即可得證.
【詳解】
證明：底面ABC，底面ABC，.
∵O在CD上,.
又，
平面POC.平面POC，.
【點(diǎn)睛】
此題考查線面垂直的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，利用線面垂直得線線垂直.
變式3-3．如圖，在空間四邊形PABC中，，，．求證：
【答案】見詳解
【解析】
【分析】
先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直推出線線垂直.
【詳解】
取中點(diǎn)，連結(jié)．
，．，
．，平面．
平面，．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題型.
考點(diǎn)四 面面垂直的性質(zhì)
典例4．在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由中位線定理，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果．
（2）由題意可證，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證平面，由此即可證明結(jié)果．
(1)
證明:因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
(2)
證明：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，，
又平面平面
平面平面，
所以平面
又平面.
所以.
變式4-1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：AD∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥平面PAD
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【解析】
【分析】
（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，進(jìn)而證明AD∥平面PBC；
（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)定理證明．
【詳解】
（1）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又AD平面PBC，BC平面PBC，
∴AD∥平面PBC；
（2）證明：∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥AD，
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
變式4-1．如圖所示，所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直．
(1)求證：平面；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件利用線面平行的判定推理作答.
(2)由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)推理得證.
(1)
因四邊形是長(zhǎng)方形，則， 而平面，平面，
所以平面.
(2)
長(zhǎng)方形中，則，平面平面，平面PDC平面，
平面，則有平面，又平面，
所以.
變式4-2．如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：
(1)平面PAD；
(2)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)利用面面得到平面；
(2)證明面，從而得．
(1)
四邊形是的菱形，
∴為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面；
(2)
，為的中點(diǎn)，∴，
又，，平面，
∴平面，又∵面，
∴．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線面垂直的判定
1．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，求證：CD⊥平面PAD.
【答案】證明見解析
【解析】
由PA⊥CD，AD⊥CD即可得出.
【詳解】
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因?yàn)锳D⊥CD，
所以CD⊥平面PAD.
2．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).
(1)求證：平面PAB；
(2)求證：平面PAB.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行即可；
（2）根據(jù)線面垂直得線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直.
【詳解】
（1）證明：取PA中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，
所以，且.
又因?yàn)?，且?br>所以，且.
所以四邊形BCEF為平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB
所以平面PAB.
（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD
所以
又因?yàn)椋?br>所以，
又，?平面PAB
所以平面PAB.
3．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用線面平行的判定定理即可證得；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即可證得.
(1)
由底面是正方形，
又平面，平面，平面
(2)
平面，平面，
又底面是正方形，
又，平面，平面
4．如圖，矩形與梯形 所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明四邊形為平行四邊形，從而可證平面；
（2）先證明平面，可得，再利用勾股定理，證明，利用線面垂直的判定定理，證明平面．
(1)
證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．
在中，，分別為，的中點(diǎn)，
所以，且．
由已知，，
所以，且．
所以四邊形為平行四邊形．
所以．
又因?yàn)槠矫妫移矫妫?br>所以平面．
(2)
證明：在矩形中，．
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>且平面平面，
所以平面．
因?yàn)槠矫妫?br>所以．
在直角梯形中，，，可得．
在中，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面．
練習(xí)二 面面垂直的判定
5．如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,為的中點(diǎn).
(1)求證:面；
(2)求證:平面平面.
【答案】（1）要證明線面平行，則可以根據(jù)線面平行的判定定理來證明．
（2）對(duì)于面面垂直的證明，要根據(jù)已知中的菱形的對(duì)角線垂直，以及面來加以證明．
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）由題意得只需在平面AEC內(nèi)找一條直線與直線PD平行即可．設(shè)，連接EO，由三角形中位線可得即得；（2）連接PO，由題意得PO⊥AC，又底面為菱形，則AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．
試題解析：（1）證明：設(shè)，連接EO，因?yàn)镺，E分別是BD，PB的中點(diǎn)，所以
而，所以面

（2）連接PO，因?yàn)?，所以，又四邊形是菱形，所?br>而面，面，，所以面
又面，所以面面

考點(diǎn)：1．線面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；
6．四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面PAD；
（2）求證：面PDC⊥面PAB；
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)線面平行的判定定理，只需在面PAD內(nèi)找到一條線與EF平行，由中點(diǎn)想到中位線，即可證出；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，只需在其中一個(gè)面內(nèi)找到一條直線垂直于另一個(gè)平面即可．
【詳解】
（1）連接AC，∵ABCD為矩形，且F是BD的中點(diǎn)，∴AC必經(jīng)過F
又E是PC的中點(diǎn)，所以，EF∥AP.
∵EF在面PAD外，PA在面內(nèi)∴EF∥面PAD．
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD
又AP面PAB，所以，面PAB⊥面PDC
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的應(yīng)用，牢記定理?xiàng)l件是解題關(guān)鍵．
7．如圖，在四棱柱中，平面底面，且.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
【答案】（1）見解析;（2）見解析.
【解析】
【詳解】
（1）立體幾何中線面平行的證明，可根據(jù)線面平行的判定定理來進(jìn)行證明，只需證明直線與該平面內(nèi)的某一直線平行即可，一般常用的方法是平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)或者是三角形中位線與底邊平行的性質(zhì)；（2）可根據(jù)面面垂直的判定定理來進(jìn)行證明，一般思路是“面面垂直線面垂直線線垂直”的過程.
試題解析：（1）在四棱柱中，.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面.
（2）因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，底面?br>且由知，
所以平面.
又，
故平面.
而平面，
所以平面平面.
8．如圖所示，在四棱錐中，，，面面．
求證：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）由題可得根據(jù)線面平行的判斷定理可證平面；
（2）由題，易得，再利用面面可得面，即得證.
【詳解】
(1) 面,面,∴平面
(2) ∵ ∴
∵面面,面面,面, ∴面,
又面 ,∴面面
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了空間幾何中平行以及垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，熟悉定理是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.
練習(xí)三 線面垂直的性質(zhì)
9．P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求證：AE⊥PC．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
由已知中P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，結(jié)合正方形的幾何特征，我們易得到BC⊥平面PAB，由線面垂直的性質(zhì)得到BC⊥AE，結(jié)合已知中AE⊥PB，及線面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由線面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．
【詳解】
證明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AD
又∵BC∥AD
∴PA⊥BC
又由AB⊥BC，PA∩AB＝A
∴BC⊥平面PAB
又AE?平面PAB
∴BC⊥AE
又由AE⊥PB，BC∩PB＝B
∴AE⊥平面PBC
又∵PC?平面PBC
∴PC⊥AE
【點(diǎn)睛】
本題考查知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握正方形的幾何特征及線面垂直的判定定理和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知在正方體中，E為的中點(diǎn)．求證：．
【答案】證明見解析.
【解析】
【分析】
由正方體性質(zhì)知且面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，由線面垂直的判定及性質(zhì)即可證結(jié)論.
【詳解】
連接，在正方體中且面，
又面，則，且，、面，
所以面，又面，即.
11．如圖，在三棱錐中，，．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)論.
【詳解】
如圖：取的中點(diǎn)，連接、.
因?yàn)?，，所以?又，平面，平面，所以平面.又平面，所以.
12．如圖，正方體中，求證.
【答案】證明見解析．
【解析】
【分析】
證明與平面垂直后可得線線垂直．
【詳解】
證明：如圖，連接，
是正方形，則，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>練習(xí)四 面面垂直的性質(zhì)
13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn).
求證:（1）AB 平面DEF ;
（2）BC⊥平面DEF .
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的定義，可得，又因?yàn)?，利用線面垂直的判定定理可得命題成立．
【詳解】
證明：（1）因?yàn)?，，為的中點(diǎn).，
所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以
又因?yàn)槠矫妫矫?br>所以平面.
（2）因?yàn)槠矫嫫矫?br>平面平面
，平面
所以平面.
因?yàn)槠矫?
所以
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以， 所以
因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面.
14．如圖，矩形所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，是半圓弧上異于，的點(diǎn).
（1）證明：直線平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的性質(zhì)可得⊥平面，繼而得⊥，結(jié)合⊥可證；
（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面，連結(jié)交于，連結(jié)，由∥可證.
【詳解】
（1）由題設(shè)知，平面⊥平面，交線為.
因?yàn)椤?，平面，所以⊥平面，故?
因?yàn)闉榘雸A弧上異于，的點(diǎn)，且為直徑，所以⊥.
又=，所以⊥平面.
（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面.
證明如下：連結(jié)交于.因?yàn)闉榫匦危詾橹悬c(diǎn).
連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以∥.
平面，平面，所以∥平面.
15．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；
（2）根據(jù)已知條件可證，再由線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論.
【詳解】
（1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，
且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.
（2）因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，
所以AB∥DE，且AB＝DE，
所以四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE∥AD.
又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若為正三角形，且平面平面，求證：平面．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，可證明面，再結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面，再結(jié)合線面垂直的判斷定理，即可證明.
【詳解】
（1）∵底面是正方形，∴
∵面，面，∴面
∵面面，∴
（2）由（1）可知，，∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，∴點(diǎn)是棱的中點(diǎn)
∵為正三角形，∴
∵平面平面，，∴平面
∵面，∴
∵，面，面，∴平面．

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