專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量  【知識點總結(jié)】一、基本概念1、數(shù)列(1)定義.按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當自變量時,所對應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2、等差數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項公式.若等差數(shù)列的首項是,公差是,則其通項公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項.若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即或.在一個等差數(shù)列中,從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.(4)等差數(shù)列的前項和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)為且常數(shù)項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.3、等比數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項公式.等比數(shù)列的通項,是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).(5)等比數(shù)列的前項和二、基本性質(zhì)1、等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項的推廣.當時,則有,特別地,當時,則有.(2)等差數(shù)列線性組合.①設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.②設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特別地若,則有最大值(所有正項或非負項之和);若,則有最小值(所有負項或非正項之和).(4)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項和為,則為等差數(shù)列,公差為.2、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項的推廣.若時,則,特別地,當時,.(2)①設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.②設(shè)與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定).當或時,為遞增數(shù)列;當或時,為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項和為,則為等比數(shù)列,公比為(當時,不為偶數(shù)).3、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.【典型例題】例1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，，則數(shù)列的公差為（    ）A．2 B． C．4 D． 例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（    ）A．33 B．66 C．22 D．44 例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的通項公式為（    ）A． B． C． D．  例4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最后一天走的路程是（    ）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里 例5．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的通項公式為，則的值為（    ）A． B． C． D． 例6．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（    ）A． B．5 C． D． 例7．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，，且，，則的公比為（    ）A． B． C． D． 例8．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（    ）A．或 B．4 C． D． 例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為（    ）A． B． C． D． 例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，則Sn＝________. 例11．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知為等差數(shù)列的前項和，若，則______． 例12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列滿足，，則__________． 例13．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項的和為__________． 例14．（2023春·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項和，若則______． 例15．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________． 例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求數(shù)列的通項公式為；設(shè)為數(shù)列的前項和，求使成立的的取值集合.    例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知， ，.求和的通項公式.    例18．（2023春·河北承德·高三興隆縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)記，若數(shù)列的前項和.    【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1682年，英國天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星的運行曲線和1531年?1607年的彗星驚人地相似.他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年.請你預(yù)測它在本世紀回歸的年份（    ）A．2042 B．2062 C．2082 D．20922．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列中，“”是“”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足，，則的公差為（    ）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“二十四節(jié)氣”是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時，通過觀察天體運行，認知一歲中時令、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識體系.我國古代用日晷測量日影的長度，晷長即為所測量影子的長度，二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始，已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中立春到夏至的日晷長的和為（    ）A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺5．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（    ）A．16 B．18 C．20 D．226．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）已知是各項不相等的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前6項和（    ）A．84 B．144 C．288 D．1107．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）在遞增等比數(shù)列中，，且是和的等差中項，則（    ）A．256 B．512 C．1024 D．20488．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則的值為（    ）A． B． C． D．9．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（    ）A． B． C． D．10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和，若，則（      ）A．150 B．160 C．170 D．與和公差有關(guān)11．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第一天走的路程是（    ）A．224里 B．214里 C．112里 D．107里12．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和為（    ）A． B． C． D．13．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（    ）A． B．5 C． D．14．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是等比數(shù)列的前n項和，若，且，則（    ）A．96 B． C．72 D．15．（2023春·湖南湘潭·高三湘鋼一中校考開學(xué)考試）公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且，若，，，，依次成等比數(shù)列，則（    ）A．81 B．63 C．41 D．3216．（2023秋·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前三項和84，，則（    ）A．3 B．6 C．12 D．2417．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記公差不為0的等差數(shù)列的前項和為.若成等比數(shù)列，，則（    ）A．17 B．19 C．21 D．2318．（2023春·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比的值為（    ）A． B． C． D．二、多選題19．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項積為，若，則（    ）A． B．當時，C． D．20．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的公比為，前項和為，且，以下結(jié)論正確的是（    ）A．是等比數(shù)列B．數(shù)列，，成等比數(shù)列C．若，則是遞增數(shù)列D．若，則是遞增數(shù)列21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（    ）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．數(shù)列是等比數(shù)列22．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，，則下列說法正確的是（    ）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項C．數(shù)列中的最小項為 D．數(shù)列是等差數(shù)列23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記是數(shù)列的前n項和，且，則下列說法正確的有（    ）A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列是遞減數(shù)列C． D．當 時，取得最大值24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（    ）A．d＝2 B．C． D．的前n項和為三、填空題25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則________．26．（2023秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，，則______．27．（2023春·江蘇揚州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S3=4，S6=12，則S9=______.28．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）記等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則的通項公式為______.29．（2023春·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則______.30．（2023春·北京海淀·高三101中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列．為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．則___________．31．（2023春·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項等比數(shù)列的前項積為，若是中唯一的最小項，則滿足條件的的通項公式可以是_________（寫出一個即可）.32．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）記為等比數(shù)列的前項和.，，則______.33．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______．34．（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測）若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則__________.35．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學(xué)?？计谀┮阎缺葦?shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和等于___________36．（2023·高三課時練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項和，則常數(shù)k的值為______．四、解答題37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.    38．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．    39．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和的值．    40．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)數(shù)列與中的所有項分別構(gòu)成集合，，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前20項和    41．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知等差數(shù)列與正項等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，比較與的大小．    42．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項和.    43．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，.(1)求，的通項公式；(2)若，求的前項和.    44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項的和為且滿足，數(shù)列是兩個等差數(shù)列與的公共項組成的新數(shù)列.求出數(shù)列，的通項公式；     
 

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