常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 二項(xiàng)分布
典例1．溺水?校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對得1分，答錯(cuò)得0分.在競賽中，甲?乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)相遇，假設(shè)甲隊(duì)3人回答正確的概率均為，乙隊(duì)3人回答正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問題正確與否互不影響.
(1)求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率；
(2)求甲隊(duì)總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
變式1-1．黨的十九屆五中全會(huì)強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新”在我國現(xiàn)代化建設(shè)中的重要戰(zhàn)略地位，確保發(fā)展經(jīng)濟(jì)著力點(diǎn)放在實(shí)體經(jīng)濟(jì)上，為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活力，拉動(dòng)市場經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，必須大力推進(jìn)大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新．某幾位大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一家服務(wù)公司，該公司提供、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù)．記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為．
(1)求；
(2)記第二次來公司購買產(chǎn)品的個(gè)人中有個(gè)人購買產(chǎn)品，人是否購買產(chǎn)品相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式1-2．某通訊商場推出一款新手機(jī)，分為甲、乙、丙、丁4種不同的配置型號.該商場對近期售出的100部該款手機(jī)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制如下表格:
(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型號的手機(jī)可分別獲得利潤600元、400元、500元、450元，根據(jù)以上100名消費(fèi)者的購機(jī)情況，求該商場銷售一部該款手機(jī)的平均利潤；
(2)該商場某天共銷售了4部該款手機(jī)，每銷售一部該款手機(jī)的型號相互獨(dú)立，其中甲配置型號手機(jī)售出的數(shù)量為，將樣本頻率視為概率，求的概率分布列及期望.
變式1-3．某學(xué)習(xí)網(wǎng)按學(xué)生數(shù)學(xué)成績的水平由高到低分成甲?乙兩檔，進(jìn)行研究分析，假設(shè)學(xué)生做對每道題相互獨(dú)立，其中甲?乙檔學(xué)生做對每道題的概率分別為p，，現(xiàn)從甲?乙兩檔各抽取一名學(xué)生成為一個(gè)學(xué)習(xí)互助組合.
(1)現(xiàn)從甲檔中選取一名學(xué)生，該生5道題做對4道題的概率為，求出的最大值點(diǎn)；
(2)若以作為p的值，
①求每一個(gè)互助組合做對題的概率；
②現(xiàn)選取n個(gè)組合，記做對題的組數(shù)為隨機(jī)變量X，當(dāng)時(shí)，取得最大值，求相應(yīng)的n和.
考點(diǎn)二 超幾何分布
典例2．共享電動(dòng)車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車，這些電動(dòng)車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車中任意抽取3輛.
(1)求取出的3輛共享電動(dòng)車中恰好有一輛是橙色的概率；
(2)求取出的3輛共享電動(dòng)車中橙色的電動(dòng)車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
變式2-1．為了更好滿足人民群眾的健身和健康需求，國務(wù)院印發(fā)了《全民健身計(jì)劃（）》．某中學(xué)為了解學(xué)生對上述相關(guān)知識的了解程度，先對所有學(xué)生進(jìn)行了問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為、、、、，由此得到總體的頻率分布直方圖，再利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)研，已知頻率分布直方圖中、、成公比為的等比數(shù)列．
(1)若從得分在分以上的樣本中隨機(jī)選取人，用表示得分高于分的人數(shù)，求的分布列及期望；
(2)若學(xué)校打算從這名學(xué)生中依次抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查分析，求在第一次抽出名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間的概率．
變式2-2．十三屆全國人大四次會(huì)議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要．綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”．某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能、特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28nm，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案．此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn)．該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，該廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的芯片，第一批占60%，次品率為6%；第二批占40%，次品率為5%．為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批芯片混合，工作人員從中抽樣檢查．
(1)從混合的芯片中任取1個(gè)，求這個(gè)芯片是合格品的概率；
(2)若在兩批產(chǎn)品中采取分層抽樣方法抽取一個(gè)樣本容量為15的樣本，再從樣本中抽取3片芯片，求這3片芯片含第二批片數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式2-3．某班組織冬奧知識競賽活動(dòng)，規(guī)定首輪比賽需要從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題目進(jìn)行作答.假設(shè)在6道備選題中，甲正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，乙能正確完成其中4道題且另外2道題不能完成.
(1)求甲至少正確完成其中2道題的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示乙正確完成題目的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)規(guī)定至少正確完成其中2道題才能進(jìn)入下一輪比賽，請你根據(jù)所學(xué)概率知識進(jìn)行預(yù)測，誰進(jìn)入下一輪比賽的可能性較大，并說明理由.
考點(diǎn)三 二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分
典例3．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
變式3-1．2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；
(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在，，，，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在，的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在，的為等級，成績在，的為等級，其它為等級．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學(xué)競賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得等級的人數(shù)設(shè)為，記等級的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？
變式3-2．某學(xué)校為了解學(xué)生課后進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的情況，對該校學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得名學(xué)生一周進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間數(shù)據(jù)如表，其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生稱為運(yùn)動(dòng)達(dá)人．
（1）從上述抽取的學(xué)生中任取人，設(shè)為運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)，求的分布列；
（2）以頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中任取人，設(shè)為運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)，求的分布列．
變式3-3．袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．
(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的分布列．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 二項(xiàng)分布
1．電子科技公司研制無人機(jī)，每架無人機(jī)組裝后每周要進(jìn)行次試飛試驗(yàn)，共進(jìn)行次.每次試飛后，科研人員要檢驗(yàn)其有否不良表現(xiàn).若在這次試飛中，有不良表現(xiàn)不超過次，則該架無人機(jī)得分，否則得分.假設(shè)每架無人機(jī)次檢驗(yàn)中，每次是否有不良表現(xiàn)相互獨(dú)立，且每次有不良表現(xiàn)的概率均為.
(1)求某架無人機(jī)在次試飛后有不良表現(xiàn)的次數(shù)的分布列和方差；
(2)若參與試驗(yàn)的該型無人機(jī)有架，在次試飛試驗(yàn)中獲得的總分不低于分，即可認(rèn)為該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證.現(xiàn)有架無人機(jī)參與試飛試驗(yàn)，求該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證的概率是多少？
2．接種新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的幾率，某地區(qū)有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種，假設(shè)在某個(gè)時(shí)間段該地區(qū)集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應(yīng)都很充足，為了節(jié)省時(shí)間和維持良好的接種秩序，接種點(diǎn)設(shè)置了號碼機(jī)，號碼機(jī)可以隨機(jī)地產(chǎn)生A，B，C三種號碼（產(chǎn)生每個(gè)號碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機(jī)上取一張?zhí)柎a，然后去接種與號碼相對應(yīng)的疫苗（例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推）．若甲，乙，丙，丁四個(gè)人各自獨(dú)立的去接種第一針新冠疫苗．
（1）求這四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A種疫苗的概率；
（2）記甲，乙，丙，丁四個(gè)人中接種A種疫苗的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
3．足球比賽全場比賽時(shí)間為90分鐘，在90分鐘結(jié)束時(shí)成績持平，若該場比賽需要決出勝負(fù)，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是平局，則采取“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝：②如果在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5次可能射中的球數(shù)，則不需再踢，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比為2：0，則不需再踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝.
(1)已知小明在點(diǎn)球訓(xùn)練中射進(jìn)點(diǎn)球的概率是.在一次賽前訓(xùn)練中，小明射了3次點(diǎn)球，且每次射點(diǎn)球互不影響，記X為射進(jìn)點(diǎn)球的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)現(xiàn)有甲、乙兩校隊(duì)在淘汰賽中（需要分出勝負(fù)）相遇，120分鐘比賽后雙方仍舊打平，須互罰點(diǎn)球決出勝負(fù).設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為.每輪點(diǎn)球中，進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出的概率.
4．血液檢測是診斷是否患某疾病的重要依據(jù)，通過提取病人的血液樣本進(jìn)行檢測，樣本的某一指標(biāo)會(huì)呈現(xiàn)陽性或陰性.若樣本指標(biāo)呈陽性，說明該樣本攜帶病毒；若樣本指標(biāo)呈陰性，說明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)疑似病例的樣本呈陽性（即樣本攜帶病毒）的概率均為.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其進(jìn)行血液樣本檢測.多個(gè)樣本檢測時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽性.若混合樣本呈陽性，則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則該組各個(gè)樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組化驗(yàn).在該疾病爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.
(1)若，求這4例疑似病例中呈陽性的病例個(gè)數(shù)X的分布列；
(2)若將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且方案二比方案一更“優(yōu)”，求p的取值范圍，
練習(xí)二 超幾何分布
5．為迎接年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：.
(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概率；
(2)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取人，設(shè)表示這人中成績滿足的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由.
6．某校高三2班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中小學(xué)生對勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，學(xué)校提供了：除草?翻地?播種?澆水四個(gè)項(xiàng)目.規(guī)定女生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，男生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)或者3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，每參加1個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)獲得10分，求：
(1)在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率；
(2)記該小組得分為X，求X的期望.
7．某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后，擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．
(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大?。?br>(2)公司對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．
8．2021年2月25日，全國脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)在北京召開，充分肯定了脫貧攻堅(jiān)取得的重大歷史性成就，習(xí)近平總書記在大會(huì)上深刻闡述了偉大脫貧攻堅(jiān)精神，并對鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果、全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興提出了明確的要求，為了更高效地推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某市直單位欲從部門A，B，C的10人中選派4人與其下轄的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲對接相關(guān)業(yè)務(wù)，其中部門A，B，C可選派的人數(shù)分別為3，3，4，且每個(gè)人被選派的可能性一樣.
(1)求選派的4人中至少有1人來自部門C的概率；
(2)選派的4人中來自部門A，B，C的人數(shù)分別為x，y，z，記x，y，z中最大的數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
練習(xí)三 二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分
9．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
包裝質(zhì)量在克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品
（1）估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；
（2）從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列；試比較期望與則望的大小.(結(jié)論不要求證明)
10．2020年10月16日，是第40個(gè)世界糧食日．中國工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖耄称髽I(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分如表：
為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)．現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了10000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：
(1)若將頻率作為概率，從這10000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；
(2)若從質(zhì)量指標(biāo)值m不低于85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y（單位：元）的關(guān)系如表（）：
試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定t為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大（參考數(shù)值：，）．
11．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
（2）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，若表示抽到的精品果的數(shù)量，求的分布列.
12．袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機(jī)取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一個(gè)球，求取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率；
（Ⅱ）若無放回地取3次，每次取一個(gè)球，若取出每只紅球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．
配置
甲
乙
丙
丁
頻數(shù)
25
40
15
20
分組區(qū)間（單位：小時(shí)）
人數(shù)
分組區(qū)間(單位：克)
產(chǎn)品件數(shù)
3
4
7
5
1
質(zhì)量指標(biāo)值m
質(zhì)量指標(biāo)等級
良好
優(yōu)秀
良好
合格
廢品
質(zhì)量指標(biāo)值m
利潤y（元）
6t
8t
4t
2t
等級
標(biāo)準(zhǔn)果
優(yōu)質(zhì)果
精品果
禮品果
個(gè)數(shù)
10
30
40
20
概率與
專題02 二項(xiàng)分布與超幾何分布
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 二項(xiàng)分布
典例1．溺水?校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對得1分，答錯(cuò)得0分.在競賽中，甲?乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)相遇，假設(shè)甲隊(duì)3人回答正確的概率均為，乙隊(duì)3人回答正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問題正確與否互不影響.
(1)求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率；
(2)求甲隊(duì)總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【解析】
【分析】
（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率；
（2）由題意有，利用二項(xiàng)分布概率公式求各可能值對應(yīng)的概率，進(jìn)而寫出分布列，再根據(jù)分布列求期望即可.
(1)
由題設(shè)，甲隊(duì)得2分，即2人答對1人答錯(cuò)，概率為，
乙隊(duì)得1分，即1人答對2人答錯(cuò)，概率為，
所以甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.
(2)
由題設(shè)，，且，，，，
甲隊(duì)總得分X的分布列如下：
所以.
變式1-1．黨的十九屆五中全會(huì)強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新”在我國現(xiàn)代化建設(shè)中的重要戰(zhàn)略地位，確保發(fā)展經(jīng)濟(jì)著力點(diǎn)放在實(shí)體經(jīng)濟(jì)上，為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活力，拉動(dòng)市場經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，必須大力推進(jìn)大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新．某幾位大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一家服務(wù)公司，該公司提供、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù)．記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為．
(1)求；
(2)記第二次來公司購買產(chǎn)品的個(gè)人中有個(gè)人購買產(chǎn)品，人是否購買產(chǎn)品相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)概率公式求出；
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求得的各種取值所對應(yīng)的概率，再計(jì)算出期望即可.
(1)
某人第次來購買產(chǎn)品的概率為,即；
(2)
由題意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列為
的數(shù)學(xué)期望為
．
變式1-2．某通訊商場推出一款新手機(jī)，分為甲、乙、丙、丁4種不同的配置型號.該商場對近期售出的100部該款手機(jī)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制如下表格:
(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型號的手機(jī)可分別獲得利潤600元、400元、500元、450元，根據(jù)以上100名消費(fèi)者的購機(jī)情況，求該商場銷售一部該款手機(jī)的平均利潤；
(2)該商場某天共銷售了4部該款手機(jī)，每銷售一部該款手機(jī)的型號相互獨(dú)立，其中甲配置型號手機(jī)售出的數(shù)量為，將樣本頻率視為概率，求的概率分布列及期望.
【答案】(1)475
(2)分布列見解析，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)給定頻數(shù)表直接計(jì)算平均數(shù)作答.
（2）由題意，服從二項(xiàng)分布，即，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式和期望公式即得解
(1)
依題意，，
所以該商場銷售一部手機(jī)的平均利潤為475元.
(2)
該商場每銷售一部手機(jī)，該手機(jī)為甲配置型號手機(jī)的概率為，
由題意，甲配置型號手機(jī)售出的數(shù)量為服從二項(xiàng)分布，即，
則所有可能取值為，
，
故的分布列為：
由二項(xiàng)分布的期望公式：.
變式1-3．某學(xué)習(xí)網(wǎng)按學(xué)生數(shù)學(xué)成績的水平由高到低分成甲?乙兩檔，進(jìn)行研究分析，假設(shè)學(xué)生做對每道題相互獨(dú)立，其中甲?乙檔學(xué)生做對每道題的概率分別為p，，現(xiàn)從甲?乙兩檔各抽取一名學(xué)生成為一個(gè)學(xué)習(xí)互助組合.
(1)現(xiàn)從甲檔中選取一名學(xué)生，該生5道題做對4道題的概率為，求出的最大值點(diǎn)；
(2)若以作為p的值，
①求每一個(gè)互助組合做對題的概率；
②現(xiàn)選取n個(gè)組合，記做對題的組數(shù)為隨機(jī)變量X，當(dāng)時(shí)，取得最大值，求相應(yīng)的n和.
【答案】(1)
(2)①；②答案見解析
【解析】
【分析】
（1）由題可知，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最大值點(diǎn)，
（2）①記事件A為一個(gè)互助組合做對題，事件B為一個(gè)互助組合中甲檔中的學(xué)生做對題，事件C為一個(gè)互助組合中乙檔中的學(xué)生做對題，根據(jù)題意求出，然后利用對立事件的概率公式求解即可，
②由題意知隨機(jī)變量，然后根據(jù)題意利用二項(xiàng)分布的概率公式列不等式組可求得結(jié)果
(1)
由題可知，
，令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值點(diǎn)
(2)
①記事件A為一個(gè)互助組合做對題，事件B為一個(gè)互助組合中甲檔中的學(xué)生做對題，事件C為一個(gè)互助組合中乙檔中的學(xué)生做對題，
則，，
.
②由題意知隨機(jī)變量，
因?yàn)樽畲螅?br>所以，解得，
因?yàn)閚是整數(shù)，所以或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
考點(diǎn)二 超幾何分布
典例2．共享電動(dòng)車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車，這些電動(dòng)車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車中任意抽取3輛.
(1)求取出的3輛共享電動(dòng)車中恰好有一輛是橙色的概率；
(2)求取出的3輛共享電動(dòng)車中橙色的電動(dòng)車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.
【解析】
【分析】
（1）先求出兩種顏色的電動(dòng)車各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；
（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.
(1)
因?yàn)閺?0輛共享電動(dòng)車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動(dòng)車有4輛，熒光綠的電動(dòng)車有6輛.
記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.
(2)
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列為
數(shù)學(xué)期望.
變式2-1．為了更好滿足人民群眾的健身和健康需求，國務(wù)院印發(fā)了《全民健身計(jì)劃（）》．某中學(xué)為了解學(xué)生對上述相關(guān)知識的了解程度，先對所有學(xué)生進(jìn)行了問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為、、、、，由此得到總體的頻率分布直方圖，再利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)研，已知頻率分布直方圖中、、成公比為的等比數(shù)列．
(1)若從得分在分以上的樣本中隨機(jī)選取人，用表示得分高于分的人數(shù)，求的分布列及期望；
(2)若學(xué)校打算從這名學(xué)生中依次抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查分析，求在第一次抽出名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間的概率．
【答案】(1)分布列見解析，期望為；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出的值，分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值；
（2）記事件第一次抽出名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)，記事件后兩次抽出的名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：由題意得，，因?yàn)?，所以?br>由分層抽樣，抽出的名學(xué)生中得分位于區(qū)間內(nèi)有人，
位于內(nèi)有人，位于內(nèi)有人，
位于內(nèi)有人，位于區(qū)間學(xué)生有人，
這樣，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，，，，
所以的分布列為：
所以.
(2)
解：記事件第一次抽出名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)，
記事件后兩次抽出的名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)，
則，，
由條件概率公式可得.
變式2-2．十三屆全國人大四次會(huì)議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要．綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”．某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能、特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28nm，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案．此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn)．該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，該廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的芯片，第一批占60%，次品率為6%；第二批占40%，次品率為5%．為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批芯片混合，工作人員從中抽樣檢查．
(1)從混合的芯片中任取1個(gè)，求這個(gè)芯片是合格品的概率；
(2)若在兩批產(chǎn)品中采取分層抽樣方法抽取一個(gè)樣本容量為15的樣本，再從樣本中抽取3片芯片，求這3片芯片含第二批片數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)0.944
(2)分布列見解析，
【解析】
【分析】
（1）設(shè)事件 “任取一個(gè)芯片是合格品”，事件“產(chǎn)品取自第一批”，事件“產(chǎn)品取自第二批”，則且、互斥，由全概率公式可得答案；
（2）求出X的可取值和概率可得分布列.
(1)
設(shè)事件 “任取一個(gè)芯片是合格品”，事件“產(chǎn)品取自第一批”，
事件“產(chǎn)品取自第二批”，則且、互斥；
由全概率公式可知：，
所以.
(2)
由條件可知：第一批芯片數(shù)：9，第二批芯片數(shù)：6；
X的可取值為0，1，2，3；
；
；
；
所以X的分布列為：
所以．
變式2-3．某班組織冬奧知識競賽活動(dòng)，規(guī)定首輪比賽需要從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題目進(jìn)行作答.假設(shè)在6道備選題中，甲正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，乙能正確完成其中4道題且另外2道題不能完成.
(1)求甲至少正確完成其中2道題的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示乙正確完成題目的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)規(guī)定至少正確完成其中2道題才能進(jìn)入下一輪比賽，請你根據(jù)所學(xué)概率知識進(jìn)行預(yù)測，誰進(jìn)入下一輪比賽的可能性較大，并說明理由.
【答案】(1)
(2)分布列見詳解；
(3)乙；理由見詳解
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式即可求解；
（2）判斷，結(jié)合超幾何分布公式求出對應(yīng)概率，寫出分布列，求出期望；
（3）比較兩人正確完成題目數(shù)大于等于2對應(yīng)概率，即可做出判斷.
(1)
設(shè)隨機(jī)變量表示甲正確完成題目的個(gè)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則甲至少正確完成其中2道題的概率為；
(2)
由題可知，，，則的分布列為：
；
(3)
由（1）（2）可知，，因?yàn)?，所以乙進(jìn)入下一輪比賽的可能性較大.
考點(diǎn)三 二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分
典例3．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案見解析；（3）答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合頻率分布直方圖求解(1)；
（2）結(jié)合超幾何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服從二項(xiàng)分布，再利用公式求解．
【詳解】
（1）質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．
（2）重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列為
變式3-1．2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；
(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在，，，，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在，的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在，的為等級，成績在，的為等級，其它為等級．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學(xué)競賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得等級的人數(shù)設(shè)為，記等級的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？
【答案】(1)，68
(2)分布列見解析，
(3)，，1，3，，40，40
【解析】
【分析】
（1）利用頻率之和為列方程，化簡求得的值，根據(jù)由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)的方法，計(jì)算出中位數(shù).
（2）結(jié)合超幾何分布的知識計(jì)算出的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識求得，由此列不等式，解不等式來求得的最大值時(shí)對應(yīng)的的值.
(1)
由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，
解得，
設(shè)中位數(shù)為，
，解得．
(2)
，，，，，的三組頻率之比為，
從，，，，，中分別抽取7人，3人，1人，
所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列為：
故．
(3)
等級的概率為，等級為，
，，1，3，，40，
令①，②，
由①可得，，解得，由②可得，，解得，
故時(shí)，取得最大．
變式3-2．某學(xué)校為了解學(xué)生課后進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的情況，對該校學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得名學(xué)生一周進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間數(shù)據(jù)如表，其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生稱為運(yùn)動(dòng)達(dá)人．
（1）從上述抽取的學(xué)生中任取人，設(shè)為運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)，求的分布列；
（2）以頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中任取人，設(shè)為運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)，求的分布列．
【答案】（1）分布列見解析；（2）分布列見解析.
【解析】
【分析】
（1）題目考查超幾何分布，任取2人中，運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)可能為0，1，2，分別求概率即可
（2）題目考查二項(xiàng)分布，每個(gè)人是否是運(yùn)動(dòng)達(dá)人的概率是不變的，從而可求分布列
【詳解】
解：（1）的可能取值為，，，
，
，
，
的分布列為：
（2）由表中數(shù)據(jù)可得，抽到運(yùn)動(dòng)達(dá)人的頻率為，
將頻率視為概率，則隨機(jī)變，
，
，
，
的分布列為：
變式3-3．袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．
(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的分布列．
【答案】(1)分布列見解析
(2)分布列見解析
【解析】
【分析】
（1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的次數(shù)，可能的取值為0，1，2，3，分別求出對應(yīng)的概率，即可得的分布列．
（2）不放回抽樣時(shí)，取到的黑球個(gè)數(shù)，可能的取值為0，1，2，分別求出對應(yīng)的概率，即可得的分布列．
(1)
解：若每次抽取后都放回，則每次抽到黑球的概率均為．
而3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此，所以
，，
，．
因此X的分布列為：
(2)
解：若每次抽取后都不放回，則隨機(jī)抽取3次可看成隨機(jī)抽取1次，但1次抽取了3個(gè)，因此黑球數(shù)Y服從參數(shù)為10，3，2的超幾何分布，即，
因此，，．
因此，Y的分布列為：
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 二項(xiàng)分布
1．電子科技公司研制無人機(jī)，每架無人機(jī)組裝后每周要進(jìn)行次試飛試驗(yàn)，共進(jìn)行次.每次試飛后，科研人員要檢驗(yàn)其有否不良表現(xiàn).若在這次試飛中，有不良表現(xiàn)不超過次，則該架無人機(jī)得分，否則得分.假設(shè)每架無人機(jī)次檢驗(yàn)中，每次是否有不良表現(xiàn)相互獨(dú)立，且每次有不良表現(xiàn)的概率均為.
(1)求某架無人機(jī)在次試飛后有不良表現(xiàn)的次數(shù)的分布列和方差；
(2)若參與試驗(yàn)的該型無人機(jī)有架，在次試飛試驗(yàn)中獲得的總分不低于分，即可認(rèn)為該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證.現(xiàn)有架無人機(jī)參與試飛試驗(yàn)，求該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證的概率是多少？
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意得X服從二項(xiàng)分布，代入公式，分別求得，寫出分布列，代入公式，即可求得方差.
（2）由題意得獲得分的架數(shù)可取3、4、5、6，先求得該型無人機(jī)獲得6分的概率，再求得通過安全認(rèn)證的概率，即可得答案.
(1)
由題意得，
則，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以，；
(2)
當(dāng)時(shí)，設(shè)該型架無人機(jī)獲得分的架數(shù)為，則獲得分的架數(shù)為，
由題意可得，解得，，則的取值有、、、，
記“某架無人機(jī)獲得分”為事件A，則，
記“架無人機(jī)參與試飛試驗(yàn)，該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證”為事件，
則.
2．接種新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的幾率，某地區(qū)有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種，假設(shè)在某個(gè)時(shí)間段該地區(qū)集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應(yīng)都很充足，為了節(jié)省時(shí)間和維持良好的接種秩序，接種點(diǎn)設(shè)置了號碼機(jī)，號碼機(jī)可以隨機(jī)地產(chǎn)生A，B，C三種號碼（產(chǎn)生每個(gè)號碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機(jī)上取一張?zhí)柎a，然后去接種與號碼相對應(yīng)的疫苗（例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推）．若甲，乙，丙，丁四個(gè)人各自獨(dú)立的去接種第一針新冠疫苗．
（1）求這四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A種疫苗的概率；
（2）記甲，乙，丙，丁四個(gè)人中接種A種疫苗的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為．
【解析】
【分析】
（1）記四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A疫苗的事件為M，則；
（2），然后算出答案即可.
【詳解】
（1）記四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A疫苗的事件為M，
則，
所以四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A疫苗的概率為．
（2）由題意可知，的取值依次為0，1，2，3，4．
且，
故隨機(jī)變量的分布列為
．
3．足球比賽全場比賽時(shí)間為90分鐘，在90分鐘結(jié)束時(shí)成績持平，若該場比賽需要決出勝負(fù)，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是平局，則采取“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝：②如果在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5次可能射中的球數(shù)，則不需再踢，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比為2：0，則不需再踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝.
(1)已知小明在點(diǎn)球訓(xùn)練中射進(jìn)點(diǎn)球的概率是.在一次賽前訓(xùn)練中，小明射了3次點(diǎn)球，且每次射點(diǎn)球互不影響，記X為射進(jìn)點(diǎn)球的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)現(xiàn)有甲、乙兩校隊(duì)在淘汰賽中（需要分出勝負(fù)）相遇，120分鐘比賽后雙方仍舊打平，須互罰點(diǎn)球決出勝負(fù).設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為.每輪點(diǎn)球中，進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出的概率.
【答案】(1)分布列見解析，期望為；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，即可計(jì)算分布列及期望；
（2）“甲VS乙：3:0”記為事件， “甲VS乙：3:1”記為事件，此兩互斥事件的和即為所求事件，分別計(jì)算兩事件的概率，求和即得解.
(1)
依題意，，的可能取值為：0,1,2,3，
；
.
X的分布列為：
.
(2)
記“在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出”為事件A.
依題意知：在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出，甲乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)比為:“甲VS乙：3:0”記為事件，或“甲VS乙：3:1”記為事件，則，且與互斥.
依題意有：，
，
.
4．血液檢測是診斷是否患某疾病的重要依據(jù)，通過提取病人的血液樣本進(jìn)行檢測，樣本的某一指標(biāo)會(huì)呈現(xiàn)陽性或陰性.若樣本指標(biāo)呈陽性，說明該樣本攜帶病毒；若樣本指標(biāo)呈陰性，說明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)疑似病例的樣本呈陽性（即樣本攜帶病毒）的概率均為.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其進(jìn)行血液樣本檢測.多個(gè)樣本檢測時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽性.若混合樣本呈陽性，則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則該組各個(gè)樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組化驗(yàn).在該疾病爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.
(1)若，求這4例疑似病例中呈陽性的病例個(gè)數(shù)X的分布列；
(2)若將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且方案二比方案一更“優(yōu)”，求p的取值范圍，
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意知，，利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求解；
（2）方案一中，期望為4；方案二中，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y的所以可能取值為2，4，6，計(jì)算出Y的取值對應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出，從而即可求解.
(1)
解：由題意知，，
則；；
；；
.
則這4例疑似病例中呈陽性的病例個(gè)數(shù)X的分布列為：
(2)
解：方案一中，逐個(gè)化驗(yàn)，化驗(yàn)次數(shù)為4，期望為4；
方案二中，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y的所以可能取值為2，4，6，
每組兩個(gè)樣本化驗(yàn)呈陰性的概率為，設(shè)，
則；；.
所以，
若方案二比方案一更“優(yōu)”，則，解得，
即，解得.
所以當(dāng)時(shí)，方案二比方案一更“優(yōu)”.
練習(xí)二 超幾何分布
5．為迎接年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：.
(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概率；
(2)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取人，設(shè)表示這人中成績滿足的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)有效，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；
（2）分析可知變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值；
（3）求出滿足的成績有人，求出，即可得出結(jié)論.
(1)
解：設(shè)該名學(xué)生的考核成績優(yōu)秀為事件，
由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，名同學(xué)中，有名同學(xué)的考核成績?yōu)閮?yōu)秀，故.
(2)
解：由可得，
所以，考核成績滿足的學(xué)生中滿足的人數(shù)為，
故隨機(jī)變量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
因此，.
(3)
解：由可得，由莖葉圖可知，滿足的成績有個(gè)，
所以，因此，可認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.
6．某校高三2班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中小學(xué)生對勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，學(xué)校提供了：除草?翻地?播種?澆水四個(gè)項(xiàng)目.規(guī)定女生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，男生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)或者3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，每參加1個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)獲得10分，求：
(1)在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率；
(2)記該小組得分為X，求X的期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)“至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件A，“恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件B.
根據(jù)超幾何分布原理分別求得，，直接利用條件概率的計(jì)算公式即可求得；
（2）設(shè)恰有Y人女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，則男生2-Y人參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，求出Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，由即可求出.
(1)
設(shè)“至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件A，“恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件B.
根據(jù)超幾何分布原理得：，
有條件概率的計(jì)算公式得：
所以，在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率為；
(2)
根據(jù)題意女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)可獲得：（分）；
男生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)可獲得：（分）.
設(shè)恰有Y人女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，則男生2-Y人參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，則
；；.
所以Y的分布列為：
則有：.
又，
∴.
7．某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后，擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．
(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大?。?br>(2)公司對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．
【答案】(1)員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等
(2)應(yīng)選擇第二種方案；理由見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)超幾何分布求出員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率即可；
(2)根據(jù)題意可知有兩種方案、，分別求出對應(yīng)的分布列，進(jìn)而求出對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差，從而得出結(jié)論.
(1)
用X表示員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．
因?yàn)?，?br>所以，
故員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等．
(2)
第一種方案為，
設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為，
的方差為；
第二種方案為，
設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為，
的方差為，
又因?yàn)椋ㄔ?br>所以兩種方案獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，
故應(yīng)選擇第二種方案．
8．2021年2月25日，全國脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)在北京召開，充分肯定了脫貧攻堅(jiān)取得的重大歷史性成就，習(xí)近平總書記在大會(huì)上深刻闡述了偉大脫貧攻堅(jiān)精神，并對鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果、全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興提出了明確的要求，為了更高效地推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某市直單位欲從部門A，B，C的10人中選派4人與其下轄的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲對接相關(guān)業(yè)務(wù)，其中部門A，B，C可選派的人數(shù)分別為3，3，4，且每個(gè)人被選派的可能性一樣.
(1)求選派的4人中至少有1人來自部門C的概率；
(2)選派的4人中來自部門A，B，C的人數(shù)分別為x，y，z，記x，y，z中最大的數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】
【分析】
（1）記“選派的4人中至少有1人來自部門C”為事件D，求出，進(jìn)而由對立事件的性質(zhì)得出事件的概率；
（2）先得出X的所有可能取值，并求出其概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
(1)
記“選派的4人中至少有1人來自部門C”為事件D.
則，故.
(2)
由題意可知X的所有可能取值為2，3，4.
，
，
，
則X的分布列為
故.
練習(xí)三 二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分
9．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
包裝質(zhì)量在克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品
（1）估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；
（2）從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列；試比較期望與則望的大小.(結(jié)論不要求證明)
【答案】（1）；（2）分布列見解析；（3）分布列見解析，
【解析】
【分析】
（1）直接利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；
（2）依題意的可能取值為、、，求出所對應(yīng)的概率，列出分布列；
（3）依題意，即可求出的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望，即可得解；
【詳解】
解：（1）樣本中一共有件產(chǎn)品，包裝質(zhì)量在克的產(chǎn)品有件，故從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率
（2）依題意的可能取值為、、；
，，
故的分布列為：
（3）由（2）可得
依題意，則的可能取值為，，
，，
故的分布列為：
所以
所以
10．2020年10月16日，是第40個(gè)世界糧食日．中國工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖耄称髽I(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分如表：
為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)．現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了10000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：
(1)若將頻率作為概率，從這10000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；
(2)若從質(zhì)量指標(biāo)值m不低于85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y（單位：元）的關(guān)系如表（）：
試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定t為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大（參考數(shù)值：，）．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(3)生產(chǎn)該產(chǎn)品能盈利，當(dāng)時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大
【解析】
【分析】
（1）計(jì)算出抽取一件是廢品的概率為0.3，由題意Y服從二項(xiàng)分布求解即可；
（2）根據(jù)分層抽樣可知每層分別抽取4,2,1件，根據(jù)超幾何分布求分布列、期望即可；
（3）計(jì)算每件產(chǎn)品的平均利潤，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可得解.
(1)
設(shè)事件A的概率為，抽取到的非廢品數(shù)為Y，則由頻率分布直方圖可得，任取1件產(chǎn)品是廢品的概率為：，不是廢品的概率為：．
則
則
（或者）
(2)
由頻率分布直方圖得指標(biāo)值大于或等于85的產(chǎn)品中，
的頻率為，
的頻率為，
的頻率為，
∴利用分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中，的有4件，的有2件，的有1件，
從這7件產(chǎn)品中，任取3件，質(zhì)量指標(biāo)值的產(chǎn)品件數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，則：
，，，
∴X的分布列為：
∴X的數(shù)學(xué)期望為：．
(3)
由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y（元）的關(guān)系如表所示（），
∴每件產(chǎn)品的平均利潤：
，（），
則，
令，解得，
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值為，
∴生產(chǎn)該產(chǎn)品能夠?qū)崿F(xiàn)盈利，
當(dāng)時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大．
11．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
（2）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，若表示抽到的精品果的數(shù)量，求的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列見解析.
【解析】
(1)先求出從個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè),抽到禮品果的事件的概率,則抽到禮品果的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布,利用二項(xiàng)分布的概率公式可得答案；
(2)通過分層抽樣的方法可以求出從個(gè)水果中抽取個(gè),精品果、非精品果的個(gè)數(shù),由題意可知：服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的公式列出的分布列．
【詳解】
（1）設(shè)從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè)，其為禮品果的事件為，則，
現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則，
∴恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率為.
（2）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，其中精品果有4個(gè)，非精品果有6個(gè)，
再從中隨機(jī)抽取3個(gè)，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為0,1，2,3，
則.
的分布列為
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)分布、超幾何分布，考查了離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟是：
1.首先確定隨機(jī)變量的所有可能取值；
2.計(jì)算取得每一個(gè)值的概率，可通過所有概率和為來檢驗(yàn)是否正確；
3.進(jìn)行列表，畫出分布列的表格；
4.最后扣題，根據(jù)題意求數(shù)學(xué)期望或者其它．
12．袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機(jī)取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一個(gè)球，求取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率；
（Ⅱ）若無放回地取3次，每次取一個(gè)球，若取出每只紅球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）實(shí)驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解；
（2）由題中的無放回，先分析出的可能取值3、4、5、6，求分別對應(yīng)的概率，寫出分布列，再求期望.
【詳解】
（1）依題意得，看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)取出紅球的概率為 ，取出黑球的概率為 ，設(shè)事件A=“取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球”，則
（2）的取值有4個(gè)：3、4、5、6，分布列為：


從而得分的數(shù)學(xué)期望為 .
【點(diǎn)睛】
注意區(qū)分兩問分別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)服從二項(xiàng)分布，以及超幾何分布，并會(huì)求出概率和數(shù)學(xué)期望.
0
1
2
3
配置
甲
乙
丙
丁
頻數(shù)
25
40
15
20
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
1
2
3
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
0
1
2
3
分組區(qū)間（單位：小時(shí)）
人數(shù)
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
2
P
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P
Y
0
1
2
P
40
120
200
P
80
120
160
P
X
2
3
4
P
分組區(qū)間(單位：克)
產(chǎn)品件數(shù)
3
4
7
5
1
質(zhì)量指標(biāo)值m
質(zhì)量指標(biāo)等級
良好
優(yōu)秀
良好
合格
廢品
質(zhì)量指標(biāo)值m
利潤y（元）
6t
8t
4t
2t
X
0
1
2
P
質(zhì)量指標(biāo)值m
利潤y（元）
6t
8t
4t
2t
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
等級
標(biāo)準(zhǔn)果
優(yōu)質(zhì)果
精品果
禮品果
個(gè)數(shù)
10
30
40
20
0
1
2
3
3
4
5
6
P

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