2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線專題19：雙曲線的定直線問題9頁-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（2）若過的直線與雙曲線交于，兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由．
2．已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.
3．已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點的縱坐標(biāo)為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.
4．設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點，，與雙曲線交于不同兩點，，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．
參考答案
1．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）由離心率可得，，設(shè)直線的方程為，將直線與雙曲線方程聯(lián)立求出點，根據(jù)三角形的面積即可求解.
（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，直線的方程為，求出兩直線的交點的橫坐標(biāo)，將直線與雙曲線聯(lián)立，利用韋達定理代入的橫坐標(biāo)表達式，化簡即可求解.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
因為離心率為2，所以，，
聯(lián)立，得：，
所以點的坐標(biāo)為，
因為，所以的面積為，所以，
雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，直線的方程為，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，所以點的橫坐標(biāo)為，，
聯(lián)立，得：，
，，
所以
，
直線與直線的交點在直線上.
【點評】本題解題的關(guān)鍵是求出直線與直線的交點的橫坐標(biāo)，，考查了運算求解能力.
2．（1）或；（2）證明見解析.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為并聯(lián)立雙曲線根據(jù)韋達定理可得與關(guān)系，結(jié)合可得，從而求得值得直線方程；
（2）列出直線與方程，并求點坐標(biāo)得，故得證.
【解析】設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線
聯(lián)立方程組，，可得，
則，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直線的方程為或．
（2）直線的方程為，直線的方程為，
直線與的交點為，故，即，
進而得到，又，
故，解得
故點在定直線上．
【點評】直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達定理求解.
3．（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率列方程求出實數(shù)的值；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，利用條件確定與、之間的關(guān)系，再結(jié)合點在雙曲線上這一條件，以及斜率公式來證明直線與直線的斜率之積是定值；（3）證法一是先設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、，結(jié)合（2）得到，，引入?yún)?shù)，利用轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的條件，利用坐標(biāo)運算得到點的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，進而證明點恒在定直線上；證法二是設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，將條件進行等價轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理化簡為，最后利用點在直線上得到，從而消去得到
，進而證明點恒在定直線上.
【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為，由于，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，易知點，
則，，
，因此點的坐標(biāo)為，
故直線的斜率，直線的斜率為，
因此直線與直線的斜率之積為，
由于點在雙曲線上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）證法一：設(shè)點且過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、，由（2）知，，，
設(shè)，則，即，
整理得，
由①③，②④得，，
將，，代入⑥得，⑦，
將⑦代入⑤得，即點恒在定直線上；
證法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由，
消去得，
因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、，
則有，
設(shè)點，由，得，
整理得，
將②③代入上式得，
整理得，④
因為點在直線上，所以，⑤
聯(lián)立④⑤消去得，所以點恒在定直線.
考點：1.雙曲線的離心率；2.向量的坐標(biāo)運算；3.斜率公式；4.韋達定理
4．9
【解析】由消去化簡整理得
設(shè)，，則
①
由消去化簡整理得
設(shè)，，則
②
因為，所以，此時．
由得．
所以或．由上式解得或．當(dāng)時，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，，，，，，．當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以，，．于是滿足條件的直線共有9