（1）證明：三點共線；
（2）求面積的最大值．
2．如圖，過橢圓的左右焦點分別做直線，交橢圓于四點，設(shè)直線的斜率為
（1）求（用k表示）；
（2）若直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
3．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上的一個動點（異于橢圓的左、右端點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作橢圓的切線，過點作的垂線，垂足為，求面積的最大值.
4．已知離心率為的橢圓的兩個焦點分別為、．過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點作圓的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．
5．已知橢圓的離心率為，且過點，設(shè)M．F分別是橢圓E的左、右焦點．
（1）是橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓E上至少有個不同11的點，使得，，，…組成公差為d的等差數(shù)列，求公差d的取值范圍
（3）若過右焦點F的直線交橢圓E于A，B兩點，過左焦點M的直線交橢圓E于C，D兩點，且，求的最小值．
6．已知橢圓的一個焦點為，且橢圓過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點分別為，，求面積的最大值．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點，且，其中為橢圓的離心率.若，分別是橢圓的上頂點與右頂點，動直線與橢圓交于，兩點，其中點在第一象限.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，的面積分別為，，求的最小值，并求出此時的值.
8．已知，是橢圓的左、右焦點，弦經(jīng)過點，若，，且的面積為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線，與軸交于點，與橢圓交于，兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．
9．已知橢圓經(jīng)過一點，左、右焦點分別為，P是橢圓上一動點，當(dāng)垂直于x軸時，.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點，斜率為k的直線l交橢圓于兩點，且為鈍角（O為坐標(biāo)原點），求k的取值范圍.
10．如圖所示，已知點、是橢圓的兩個焦點，橢圓經(jīng)過點、，點是橢圓上異于、的任意一點，直線和與橢圓的交點分別是、和、.設(shè)、的斜率分別為、.
（1）求證：為定值；
（2）求的最大值.
11．已知橢圓的離心率為，過點的直線與有兩個不同的交點，，線段的中點為，為坐標(biāo)原點，直線與直線分別交直線于點，.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段的最小值.
12．已知橢圓的一個焦點為，且經(jīng)過點，A，B是橢圓上兩點，．
（1）求橢圓方程；
（2）求的取值范圍．
13．如圖，橢圓（）的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與．當(dāng)直線的斜率為0時，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求使取最小值時直線的方程．
參考答案
1．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）將，代入橢圓方程，作差可求得，結(jié)合可求得；利用兩點連線斜率公式可求得，由此得到結(jié)論；
（2）由（1）可得直線方程，代入橢圓方程可得韋達(dá)定理的形式，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出，結(jié)合滿足橢圓方程化簡可得，利用得，由單調(diào)性可求得最大值.
【解析】（1）由題意知：點關(guān)于原點對稱，．
，都在上，
則，兩式作差得：．
即．
又，，，則．
又，，，
又，故，三點共線．
（2）由（1）得：直線的方程為，
將直線的方程代入橢圓的方程，消去整理得：，
．
，
，．
令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
．
函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值，
故面積的最大值為．
【點評】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題主要有兩種方法：
（1）幾何法：通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；
（2）代數(shù)法：把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)、不等式等方法進(jìn)行求解．
2．（1）；（2）.
【分析】（1）求出焦點坐標(biāo)，寫出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出、，利用弦長公式即可求解；
（2）設(shè)，，直線CD的方程為，利用點到直線的距離公式分別求到直線的距離，，利用，再利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【解析】（1）由可得：，，所以，所以，
設(shè)，．由已知得：直線的方程為，
由得，即，
所以，．
故．
（2）設(shè)，．由已知得，，
故直線CD的方程為，即．
設(shè)分別為點到直線AB的距離，
則．
又到直線在異側(cè)，則
由得，，即，
故．
所以，
從而，
因為，不妨令，令，可得，
令，因為，所以，
所以，
二次函數(shù)對稱軸為，開口向下，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，時， 單調(diào)遞減，
所以時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以，
所以，，
因此，．
【點評】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：
①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
3．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出，，再將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由可得出，求出點的坐標(biāo)，可計算得出點的軌跡方程，進(jìn)而可求得面積的最大值.
【解析】（1）由橢圓的離心率，可得：，即有.
再結(jié)合、、三者的關(guān)系可得.
橢圓的方程可化為，
將點代入上述橢圓方程可得.
求解得，所以，，.
橢圓的方程為；
（2）設(shè)直線，
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得.
若直線與橢圓相切，可得上述方程只有一個解，即有，化簡可得，（*）.
設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作的垂線為，
聯(lián)立與求得，.
由上式可得，
將（*）代入上式可得，故可知點的軌跡為以原點為圓心，以為半徑的圓.
是橢圓上的異于端點的動點，故該軌跡應(yīng)去掉點.
的面積為，即面積的最大值為.
【點評】 圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
4．（1）；（2）.
【分析】（1）利用橢圓的定義可求得的值，結(jié)合橢圓的離心率可求得的值，進(jìn)一步可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，可得出，設(shè)點、，聯(lián)立直線與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計算出，然后利用基本不等式可求得的面積的最大值.
【解析】（1）因為的周長為，所以，由橢圓的定義可得，即，
又橢圓的離心率為，所以，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)、，
若直線與軸重合，則直線與圓相交，設(shè)直線的方程為，
因為直線與圓相切，所以，即，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
又點到直線的距離為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以的面積的最大值為．
【點評】 利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
5．（1）；（2）且；（3）．
【分析】（1）由，已知點的坐標(biāo)代入橢圓方程，同時結(jié)合可解得得橢圓方程；
（2）由橢圓焦半徑最小值為1，最大值為3，知，，，…中只要最小項為，數(shù)列的第11項不大于3，或最大項為，數(shù)列的第11項不小于1即可得．注意公差不可能為0．
（3）先計算出當(dāng)直線中有一個斜率為0（或不存在）時，的值，在直線的斜率存在且不為0時，直線方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理得，然后由弦長公式求出，同理得，觀察得為常數(shù)，利用基本不等式得的最小值，比較上面的值可得結(jié)論．
【解析】（1）由題意，由，故解得，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是；
（2）設(shè)是橢圓上的點，則，，
∵等差數(shù)列，，，…至少有11項，
若，則，解得，
若，則，解得，
若，則滿足條件的點最多有4個，不合題意．
∴所求的范圍是且；
（3）當(dāng)斜率為0時，，，，同理當(dāng)斜率不存在時，也有，
當(dāng)斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為，方程為，設(shè)，
由得，
∴，，
，
設(shè)，同理可得，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴．，
∴的最小值為．
【點評】 本題考查由離心率求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的焦半徑的概念，直線與橢圓相交中的最值．求最值問題的方法是“設(shè)而不求”的思想方法，應(yīng)用韋達(dá)定理求得弦長，從而得出一個常數(shù)后利用基本不等式求得最小值．解題時注意對直線的斜率分類討論．否則過程不完整，易出錯．
6．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意，將代入橢圓方程，聯(lián)立求解即可；
（2）由題意斜率存在設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程消元得到，將用斜率表示，進(jìn)而表示出面積，根據(jù)表達(dá)式換元，通過導(dǎo)數(shù)求出最值.
【解析】解：（1）由題意可得
解得：，，故橢圓的方程
（2）由題意可得直線，斜率均存在
設(shè)的斜率為，斜率為，設(shè)，
直線的方程為，由
得：，則，
可得點的橫坐標(biāo)為，代入，得點的縱坐標(biāo)為，
故點坐標(biāo)為，
則
將換為，得，
故面積
令，，故，
，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，故時，，所以面積的最大值
【點評】在運用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時，需要做到：
①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設(shè)而不求”；
②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多.
7．（1）；（2）的最小值為，此時的值為.
【分析】（1）根據(jù)題中條件，由橢圓的性質(zhì)列出方程組，求出，即可得出橢圓方程；
（2）先由（1）得到，，求出直線的方程，根據(jù)題意，設(shè)，得，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，再分別記點，到直線的距離為，，根據(jù)點到直線距離公式， 以及三角形面積公式，得到，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值時的值.
【解析】（1）因為橢圓過點，且，其中為橢圓的離心率，
所以，即，解得，所以橢圓的方程為；
（2）由（1）可得，，，
所以直線的方程為，即，
由題意，設(shè)，
因為直線與橢圓交于，兩點，所以；
由可得，則，所以
分別記點，到直線的距離為，，
則，
因為，所以，則，
因此，
同理，
又，的面積分別為，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即（負(fù)值舍去）時，等號成立.
故的最小值為，此時的值為.
【點評】求解圓錐曲線中三角形的面積問題時，一般需要聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及三角形面積公式表示出三角形的面積，再結(jié)合相關(guān)知識即可求解三角形面積的最值或面積之比的最值等.
8．（1）；（2）．
【分析】（1）設(shè)，得到，，在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而得到，然后在中，利用勾股定理得到．然后由的面積為2求解；
（2）聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理寫出線段的垂直平分線方程，令，得到與軸的交點，然后利用距離公式和弦長公式建立模型求解.
【解析】（1）設(shè)，
則，，
在中，由余弦定理得，
整理得，解得(負(fù)值舍)，
所以，，，
所以，
在中，，
即，解得．
又因為，
故，，故，
即，，，，
所以橢圓的方程是．
（2）由得．
設(shè)，，
則有，，，
所以線段的中點坐標(biāo)為，
則線段的垂直平分線方程為，
令，則，
于是線段的垂直平分線與軸的交點，
又點，所以．
又，
于是，
因為，所以，
所以的取值范圍為．
【點評】 1、解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．
2、解決直線與曲線的弦長時，往往設(shè)直線與曲線的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則 (k為直線斜率)．
注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．
9．（1）；（2）.
【分析】（1）由題得關(guān)于的方程組，解方程組即得橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線斜率時，顯然不合題意，當(dāng)時，設(shè)直線： ，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，由得到，把韋達(dá)定理代入化簡即得解.
【解析】（1）由題意有，
解得
所以由題得橢圓方程為
（2），
當(dāng)直線斜率時，顯然不合題意
當(dāng)時，設(shè)直線：
聯(lián)立直線與橢圓
有
設(shè)，，，

因為為鈍角，所以.

，且
綜上，k的取值范圍是.
【點評】 解答本題有兩個關(guān)鍵，關(guān)鍵一，是把為鈍角，轉(zhuǎn)化為解析幾何里角的問題一般轉(zhuǎn)化為傾斜角和向量的夾角；關(guān)鍵二，不要忘記了排除，因為時，為平角，不是鈍角.
10．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）求得橢圓的方程為，設(shè)點，可得出，利用斜率公式可證得為定值；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，可求得關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可得出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值.
【解析】（1）證明：點、是橢圓的兩個焦點，故、的坐標(biāo)是、，
而點、是橢圓上的點，將、的坐標(biāo)代入的方程，得，
設(shè)，直線和的斜率分別是、，
，
又點是橢圓上的點，故，則，
所以（定值）；
（2）直線的方程可表示為，
聯(lián)立方程組，得，
恒成立，
設(shè)、，則，，
，
同理可求得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值等于.
【點評】 利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
11．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的等式再求解即可.
（2）設(shè)直線方程為，再聯(lián)立直線與橢圓的方程,求得中點的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理可得，再分析與兩種情況分別利用基本不等式求解最值即可.
【解析】解：（1）依題意可知解得.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）顯然直線斜率存在，設(shè)過點點的直線方程為，（，否則直線與直線無交點.）
直線與橢圓的交點為.
由得，則，
，.
所以.
令，.
直線方程為，令，.
所以.
① 當(dāng)時，.
當(dāng)且僅當(dāng)時,即時等號成立；
② 當(dāng)時，.
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.此時.
綜上，線段的取值范圍為.
故線段的最小值為.
【點評】直線與橢圓的綜合問題的常見處理方法：
（1）對橢圓上兩點構(gòu)成的弦及其中點相關(guān)的題型，我們常用“點差法”，其中直線的斜率，中點的坐標(biāo)M為，點代入橢圓方程作差，就可以得到弦中點與直線斜率的關(guān)系式．
（2）對于弦長問題，我們常讓直線與橢圓方程組方程組，再利用韋達(dá)定理及弦長公式，建立關(guān)系式．其中弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或，斜率不存在時，解決相關(guān)問題.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程組即可求解.
（2）討論直線斜率不存在或存在，斜率存在時設(shè)，將直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求出，再由向量的數(shù)量積，令，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【解析】解：（1）由題意，，
（2）①當(dāng)直線斜率不存在時
②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)
，

，
得
令 得，
，.
【點評】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵根據(jù)弦長求出，考查了運算能力、分析能力.
13．（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【分析】（Ⅰ）由離心率及，可得出，，進(jìn)而寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）進(jìn)行分類討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，不滿足題意；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，分別將直線與的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出和的表達(dá)式，然后利用弦長公式求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出取得最小值時k的值，最后寫出直線的方程即可.
【解析】（Ⅰ）由題意知，，又，解得，，所以橢圓方程為；
（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在時，由題意知，不滿足條件；
②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為，
則直線CD的方程為，設(shè)，，
將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得 ，則，，
所以，
同理， ，
所以+=≥ ，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，上式取等號，所以直線AB的方程為或．
【點評】 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，對于第二問，應(yīng)該對斜率存在與否進(jìn)行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力和的分析計算能力，屬于中檔

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2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)圓錐曲線 專題9：橢圓中的定直線問題25頁

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓錐曲線專題10《橢圓中的范圍問題》（2份打包，解析版+原卷版）

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專題10：橢圓中的范圍問題29頁

專題10：橢圓中的范圍問題29頁
備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題10：橢圓中的范圍問題29頁（含解析）

備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題10：橢圓中的范圍問題29頁（含解析）
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