（1）求橢圓的方程；
（2）若直線過右焦點，問軸上是否存在點，使得三角形為正三角形，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.
2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一動點，當的面積最大時，其內切圓半徑為，橢圓的左、右頂點分別為，，且．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓相交于點，（不與頂點重合），過右頂點分別作直線，與直線相交于，兩點，以為直徑的圓是否恒過某定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
3．橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經過點A(－2，0)，且離心率為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點P(4，0)任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N.在x軸上是否存在點Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
4．已知、分別為橢圓的左頂點和下頂點，為直線上的動點，的最小值為．
（1）求的方程；
（2）設與的另一交點為，與的另一交點為，問：是否存在點，使得四邊形為梯形，若存在，求點坐標；若不存在，請說明理由．
5．已知橢圓的離心率為，且過點．
（1）求橢圓G的方程；
（2）過點斜率為的直線l交橢圓G于A，B兩點，在y軸上是否存在點N使得（點N與點M不重合），若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
6．已知橢圓的焦點在x軸上，且經過點，左頂點為D，右焦點為F．
（1）求橢圓C的離心率和的面積；
（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點，過點B作直線的垂線，垂足為G，判斷是否存在常數t，使得直線經過y軸上的定點？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
7．已知橢圓：.左焦點，點在橢圓外部，點為橢圓上一動點，且的周長最大值為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點?為橢圓上關于原點對稱的兩個點，為左頂點，若直線?分別與軸交于?兩點，試判斷以為直徑的圓是否過定點.如果是請求出定點坐標，如果不過定點，請說明理由.
8．已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為，離心率為．
（1）求橢圓C的方程及焦點的坐標；
（2）若點M為橢圓C上異于A，B的任意一點，過原點且與直線平行的直線與直線交于點P，直線與直線交于點Q，試判斷以線段為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
9．已知橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點，在第一象限，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）在軸上是否存在點，滿足對于過點的任一直線與橢圓的兩個交點，，都有為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
10．已知橢圓的離心率為為橢圓上一點，為橢圓上不同兩點，為坐標原點，
（1）求橢圓的方程；
（2）線段的中點為，當面積取最大值時，是否存在兩定點，使為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由．
11．已知橢圓的離心率為，短軸長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知，是橢圓上的兩個不同的動點，以線段為直徑的圓經過坐標原點.是否存在以為圓心的定圓恒與直線相切？若存在，求出定圓方程；若不存在，請說明理由.
12．已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點為，離心率，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點是線段上的一個動點，且，求m的取值范圍；
（3）設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．
13．已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點是線段上的一個動點，且，求m的取值范圍；
（3）設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．
14．已知動點到點的距離與到直線的距離之比為.
（1）求動點的軌跡的標準方程；
（2）過點的直線交于，兩點，已知點，直線，分別交軸于點，.試問在軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．（1）；（2）存在，點.
【分析】（1）由題意可得，設點，，利用點差法可得，即可求出，從而得解；
（2）設直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可表示出點，假設存在點D，求出MD的直線方程，從而得到點坐標，利用弦長公式求出、，由為等邊三角形，則，即可得到方程，即可判斷；
【解析】解：（1）由題意可知，，.
設點，，，在橢圓上，所以，，
所以，所以，
因為，所以，所以，所以，
所以橢圓方程為.
（2），設直線：，聯(lián)立方程得，
所以，，所以，
假設存在點，則的直線方程為，所以.
，，
若為等邊三角形，則，
即，解得，此時，
所以存在點，使得為等邊三角形.
【點評】 (1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
2．（1）；（2）以為直徑的圓恒過兩定點，．
【分析】（1）由可得的值，的面積最大時，由橢圓的性質可得當和三角形內切圓的性質可列方程，再結合 的關系，從而得出答案.
(2)設出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，由點坐標得出的方程進而得出點坐標，同理得出坐標，寫出以為直徑的圓的方程，從而得出圓過定點.
【解析】解：（1）由題意及三角形內切圓的性質可得
，化簡得①
又，
所以，，，
所以橢圓的標準方程為．
（2）由（1）知，，
由題意，直線的斜率不為，
設直線的方程為，
代入橢圓的方程，
整理得．
設，，
則 ，，②
直線．
令，得，
同理可得，
所以以為直徑的圓的方程為
，
即，③
由②得：
代入③得圓的方程為．
若圓過定點，則
解得或
所以以為直徑的圓恒過兩定點，．
【點評】關鍵點睛：本題考查求橢圓方程和根據直線與橢圓的為關系求圓過定點問題，解答本題的關鍵是先求出點，坐標，進一步得出為直徑的圓的方程為，再由韋達定理化簡方程，得出答案，屬于中檔題.
3．（1）；（2）存在，Q(1，0).
【分析】（1）由頂點得，結合離心率求得，然后可求得，得橢圓方程；
（2）存在點Q(m，0)滿足題意，題意說明直線QM和QN的斜率存在，分別設為k1，k2．等價于k1＋k2＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，設直線l的方程為y＝k(x－4)，與橢圓方程聯(lián)立消元后應用韋達定理得，代入求得參數，得定點．
【解析】（1）由條件可知，橢圓的焦點在x軸上，且a＝2，又e＝，得c＝.
由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.
∴所求橢圓的方程為；
（2）若存在點Q(m，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
則直線QM和QN的斜率存在，分別設為k1，k2．等價于k1＋k2＝0.
依題意，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y＝k(x－4)．
由，
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.
因為直線l與橢圓C有兩個交點，所以＞0.
即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
令k1＋k2＝＋＝0，
(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，
當k≠0時，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
，
化簡得，＝0，
所以m＝1.
當k＝0時，也成立．
所以存在點Q(1，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.
【點評】本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交中的定點問題．解題方法是“設而不求”的思想方法，即設交點坐標為，設直線方程，代入橢圓方程后應用韋達定理得（需要根據方便性，可能得），代入定點對應的表達式，利用恒等式知識求得定點坐標．
4．（1）；（2）存在；．
【分析】（1）設，求出取得最小值，，由求出，從而可得的方程；
（2）假設存在點滿足題設，設，．聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，聯(lián)立直線與橢圓方程求出，利用得到，代入，可求出即可得解.
【解析】（1）由題設得，．設，
則，．
所以，
于是當時，取得最小值，所以，解得．
所以的方程為．
（2）假設存在點滿足題設，設，．
所以直線的方程為，直線的方程為．
將代入得，
可得，所以．
將代入得，
可得．
若四邊形為梯形，則，所以，
因為，，
所以，所以，
所以，整理可得，
即，解得．
故當時，四邊形為梯形．
【點評】關鍵點點睛：分別聯(lián)立直線、與橢圓方程求出的橫坐標，再將梯形轉化為的橫坐標進行求解是解題關鍵.
5．（1）；（2），證明詳見解析.
【分析】（1）由條件列式，利用待定系數法求解橢圓方程；（2）首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得根與系數的關系，將條件轉化為，代入坐標，利用根與系數的關系化簡求定點.
【解析】（1）由條件可知 ，解得：，，
所以橢圓的方程是；
（2）設直線，，，，
聯(lián)立 ，得，
，，
，，
即
，
即，
，得，
即存在定點.
【點評】思路點睛：定點問題解決步驟：
（1）設直線代入二次曲線方程，整理成一元二次方程；
（2）韋達定理列出兩根和及兩根積；
（3）寫出定點滿足的關系，整體代入兩根和及兩根積；
（4）整理（3）所得表達式探求其恒成立的條件.
6．（1），的面積；（2）存在；．
【分析】（1）根據點在橢圓上求出，進而求出，最后求出離心率及三角形的面積；（2）先根據兩種特殊情況求出定點，從而可以獲得，再證明實數時，使得直線經過y軸上定點.
【解析】解：（1）依題意，，解得．
因為，即，
所以，，
所以離心率，
的面積．
（2）由已知，直線的方程為，
當時，
直線的方程為，交y軸于點；
當時，
直線的方程為，交y軸于點．
若直線經過y軸上定點，則，
即，直線交y軸于點．
下面證明存在實數，使得直線經過y軸上定點．
聯(lián)立消y整理，得，
設，．
則，．
設點，所以直線的方程：．
令，得
．
因為，
所以．
所以直線過定點．
綜上，存在實數，使得直線經過y軸上定點．
【點評】求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
7．（1）；（2）是，定點為和.
【分析】（1）的三邊有一邊已經確定，問題轉化為，何時另外兩邊之和最大，結合橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊即可確定思路；
（2）分直線斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點，存在時，可以設出斜率，再聯(lián)立橢圓方程，求出坐標，最后求出以為直徑的圓的方程，方程里面含有，再令即可.
【解析】（1）設右焦點為，則
即點為與橢圓的交點時，周長最大
所以
所以橢圓的標準方程為
（2）由（1）知，設，則
當直線斜率存在時，設其方程為
聯(lián)立得
令，得
同理得
設中點為，則
所以以為直徑的圓得方程為
即
即
令，得
所以過點和，且為定點.
當直線斜率不存在時，容易知道
此時
所以以為直徑的圓是以原點為圓心，為半徑的圓，顯然也過定點 和
綜上，此圓過定點和
【點評】 對于過定點的問題，可以先通過特殊情況得到定點，再去證明一般得情況.
8．（1）（2）.
【分析】（1）根據題目橢圓過短軸端點，以及離心率，可以求出橢圓方程為.
（2）利用直線MA的斜率以及直線MB的斜率，的方程，得出點P,Q的坐標，
那么就可以設出圓的方程，
再進行轉化變形，就可以求出定點的坐標.
【解析】（1）設橢圓方程為，因為橢圓短軸的兩個端點為，所以b=1，且橢圓的離心率為，所以，并且，得出，所以橢圓方程為.
（2）設點M),則,所以過原點與MA平行的直線方程為：,
令,得,;
, 所以直線MB方程為：,
令,得,;
設過點P,Q的圓的方程為
展開后得：
即：;
令,y=9或y=-3，
故定點為.
【點評】（1）求橢圓的方程就是利用題目的信息求解;
（2）要注意過兩點的圓的方程可以設為:
，這樣求解比較方便，
特別要明確圓過定點就是與點M的位置無關，中，令x=0，即可得解.
9．（1）；（2）存在點，滿足為定值．.
【分析】（1）根據題意得出，及，直線與橢圓聯(lián)立解出即可得出橢圓方程；
（2）設出直線方程（要分類討論），聯(lián)立直線與橢圓，將向量的數量積用的形式表示，再利用韋達定理整理并分析出得到定值的條件即可求解.
【解析】（1）由，及，得，設橢圓方程為，聯(lián)立方程組得．則，
所以．所以．
所以橢圓的方程為．
（2）當直線不與軸重合時，設，聯(lián)立方程組
得．
設，，，則有，．
于是
，
若為定值，則有，得，．
此時：當直線與軸重合時，，，
也有．
綜上，存在點，滿足為定值．
【點評】 解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設交點為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達定理；
（4）將所求問題或題中關系轉化為（或）形式；
（5）代入韋達定理求解.
10．（1）；（2）存在；．
【分析】（1）由離心率公式以及將點代入方程，列出方程組，進而得出方程；
（2）當直線的斜率存在時，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求出，再由二次函數的性質得出的坐標，消去，得出點在橢圓上，結合定義得出平面內存在兩點使得，當直線的斜率不存在時，設出坐標，由三角形面積公式以及正弦函數的性質求出的坐標，進而得出平面內存在兩點使得.
【解析】（1）由，可設，則方程化為
又點在橢圓上，則，解得
因此橢圓的方程為．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
聯(lián)立直線和橢圓的方程消去得，
化簡得：
當時，取得最大值，即此時
又，則
即
令，則
因此平面內存在兩點使得．
當直線的斜率不存在時，設，則
，即當取得最大值．
此時中點的坐標為，滿足方程
即．
【點評】關鍵點睛：解決問題二時，關鍵是由弦長公式以及點到直線的距離公式表示三角形的面積，進而由韋達定理、二次函數的性質進行求解.
11．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）由題意可得，再利用離心率求出，即可求解.
（2）設，，分情況討論，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，將直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，求出，從而可得，再利用點到直線的距離公式即可求出半徑，再求出直線的斜率不存在時圓的半徑，從而得出圓的方程.
【解析】解：由題意知，
又
橢圓的方程為
設，
當直線的斜率存在時，
設直線的方程為，
由
得
，
以線段為直徑的圓過坐標原點
，且
坐標原點到直線的距離
當直線的斜率不存在時，由題知，
坐標原點到直線的距離
綜上所述，存在以為圓心的定圓恒與直線相切，定圓的方程為.
【點評】關鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是根據，得出，考查了運算求解能力、分析能力.
12．（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）根據頂點坐標及橢圓離心率求，寫出橢圓方程；
（2）由題意，可設直線l為且，，聯(lián)立橢圓方程應用韋達定理得關于k的表達式，根據向量垂直的坐標表示，列方程得，即可求m的范圍；
（3）由（2）設且，結合向量共線的坐標表示，可列方程，進而可求t值并確定C的坐標.
【解析】（1）由橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點為，知：，而，
∴由，可得：，即橢圓的標準方程為；
（2）由（1）知：，則可設直線l為且，令，
∴聯(lián)立直線與橢圓方程，有，整理得，，則，
∵，且，
∴，而，，
∴整理可得：，又，
∴，即；
（3）由（2），有，若存在使C、B、N三點共線，
∴，由知：，
∴，由（2）可知：，
整理可得：，而且，故僅當時，有C、B、N三點共線.
∴
【點評】關鍵點點睛：
（1）根據橢圓頂點坐標、離心率求橢圓方程；
（2）由直線與橢圓的位置關系，聯(lián)立方程結合韋達定理、向量垂直的坐標表示列方程，得到m關于k的函數關系，進而求其范圍；
（3）假設點存在，根據向量平行的坐標表示列方程，求點坐標即可.
13．（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）先算出拋物線焦點坐標，得出，再結合離心率即可求出橢圓標準方程；
（2）設直線方程，代入橢圓方程，并利用韋達定理求出和，設中點為,將轉化為，表示出，即可得到的范圍；
（3）求出點坐標，再設點，由C、B、N三點共線得到，利用向量平行的坐標形式表示出，再利用（2）中的韋達定理化簡即可得到定點的坐標.
【解析】（1）設橢圓方程，
拋物線的焦點為，所以
又解得
所以橢圓標準方程為
（2）由題意，點，
因為點在線段上，所以，
設過點的直線方程為，
代入橢圓方程并整理得，，
設點，點，則，，
，
設中點，
由，可得，
所以，即，
，
整理得，，
所以的取值范圍為.
（3）由（2）知，點和點關于軸對稱，所以，
設點，則，，
當C、B、N三點共線時，即，
所以，
整理得，，
由（2）知，，，，
所以，
所以定點.
【點評】本題需要強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系和向量平行的坐標表示，另外對于定點問題，也可以采取先猜后證的方法.
14．（1）；（2）存在，點.
【分析】（1）由直譯法列出方程化簡即可；
（2）設出直線方程，以及，,,，,通過代換用表示，化簡得到一個常數即可.
【解析】（1）設點，則，
化簡得
故動點的軌跡的標準方程為
（2）設直線的方程為
聯(lián)立方程組，得，
得: 或
，.
設 ，定點存在，其坐標為
.
則
令，求出與軸的交點
即有:
即
即
當直線與軸重合時，
解得
所以存在定點，的坐標為.
【點評】本題中這一步是為了湊出，然后作整體替

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