求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
【解析】（Ⅰ）的定義域是，，
時，，遞增，
時，令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在，遞減；
（2）恒成立，可得恒成立，
等價為 在恒成立．
令，只需，
，令，可得，
設(shè)，，
在遞減，設(shè)的根為，當(dāng)，，
當(dāng)，時，，
在遞增，在，遞減，
即有，
由，（1），則，
此時，即，
即，
則有整數(shù)的最小值為2．
2．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，，求在，上的最小值（結(jié)果用表示）；
（Ⅲ）關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
【解析】（Ⅰ），，
令，解得：，令，解得：，
故函數(shù)在遞減，在，遞增；
（Ⅱ）函數(shù)，，，
令，由（Ⅰ）得：在，上單調(diào)遞增，
所以，，
的圖象的對稱軸，若，，
則，
在，上遞增，
，
即在，上的最小值是；
（Ⅲ）由恒成立，
化為：，
只需，．
，
令，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
令，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
當(dāng)時，函數(shù)取得極大值即最大值，（e），
．
整數(shù)的最小值為1．
3．已知函數(shù)，曲線在，（1）處的切線方程為．
（1）求實數(shù)，的值；
（2）如果不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1），
，
由題意可得，，
解可得，，，
（2）由可得，，
由恒成立可得，，
令，
則，
令，
則，
單調(diào)遞增，而（2），（3），
所以有唯一的實數(shù)根，且，
，
，，
故的最大值3．
4．已知函數(shù)在，（1）處的切線方程為．
（Ⅰ）求實數(shù)、的值；
（Ⅱ）設(shè)，若，且對任意的恒成立，求的最大值．
【解析】（Ⅰ），
故且，解得：，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：對任意恒成立，
設(shè)，則，
令，，則，
故函數(shù)為上的增函數(shù)，
（8），，
故在上有唯一零點，即成立，
故，
當(dāng)時，，即，
時，，即，
故在遞減，在，遞增，
故，
故，，，
，
故的最大值是4．
5．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）函數(shù)與的圖象無公共點，試求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得對任意的，，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)的值；若不存在，請說理由．
（參考數(shù)據(jù)：，，，．
【解析】設(shè)與的圖象相切，切點為，，
則，解得，．
函數(shù)與的圖象無公共點，
．
假設(shè)存在實數(shù)滿足題意，
則不等式在，上恒成立．
即在，上恒成立．
令，則，
，
在，上單調(diào)遞增，且，（1），
存在，，使得，即，，
當(dāng)，時，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，單調(diào)遞增，
的最小值，
，在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增．
，
存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為1．
6．已知函數(shù)，，，為自然對數(shù)的底數(shù)），且在點，（e）處的切線方程為
（Ⅰ）求實數(shù)，的值；
（Ⅱ）求證：
【解析】（Ⅰ），
（e），且（e），
又在點，（e）處的切線方程為，
切點為，
，
解得：；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，，且的定義域為，
令，
則，
令，可知在上為減函數(shù)，且，（1），
，使得，即，
當(dāng)時，，，則為增函數(shù)；
當(dāng)，時，，，則為減函數(shù)．
，
又，，即，
，即，
．
7．已知函數(shù)，，，為自然對數(shù)的底數(shù)），且在點，（e）處的切線方程為
（1）求實數(shù)，的值；
（2）求證：
【解析】（1），
（e），且（e），
又在點，（e）處的切線方程為，
切點為，，
解得：；
（2）證明：由（1）可知，，且的定義域為，
令，
則，
令，可知在上為減函數(shù)，且，（1），
，，使得，即，即，
當(dāng)時，，，則為增函數(shù)；
當(dāng)，時，，，則為減函數(shù)．
，
，即，
．
8．已知函數(shù)，．
（1）函數(shù)的圖象與的圖象無公共點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)的最大值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）函數(shù)與無公共點，
等價于方程在無解（2分）
令，則，令，得
因為是唯一的極大值點，故（4分）
故要使方程在無解，
當(dāng)且僅當(dāng)故實數(shù)的取值范圍為（5分）
（2）假設(shè)存在實數(shù)滿足題意，則不等式對恒成立．
即對恒成立．（6分）
令，則，
令，則，（7分）
在上單調(diào)遞增，，（1），
且的圖象在上連續(xù)，
存在，使得，即，則，（9分）
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)，時，單調(diào)遞增，
則取到最小值，
，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．（11分），
存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為1．（12分）
0
增
極大值
減

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