高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題-34.卡根法應(yīng)用-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

例1．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）如果不等式恒成立，求整數(shù)k的最大值．
【答案】（1），；（2）3．
【解析】（1）∵，
∴，
由題意可得，，
解可得，，，
（2）由（1）可得，，
由恒成立可得，，
令，
則，
令，
則，
∴單調(diào)遞增，而，，
所以有唯一的實(shí)數(shù)根，且，
∴，
∴，，故k的最大值3．
例2．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
①當(dāng)時(shí)，由，解得；
②當(dāng)時(shí)，由，解得；
③當(dāng)時(shí)，由，解得；
④當(dāng)時(shí)，由，解得；
⑤當(dāng)時(shí)，由，解得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
時(shí)，的增區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，，所以，
而，
因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，
故為上的增函數(shù)，
而，，
故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
且且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因?yàn)椋裕?br>所以，而整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解，故，
故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.
例3．已知函數(shù)，.
（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.
【解析】（1）的定義域?yàn)?；且?br>因?yàn)榉匠痰模?br>①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
此時(shí)對(duì)于恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，故極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；
②當(dāng)，即時(shí)，
設(shè)方程的兩根分別為和，
則，，所以，，設(shè) ，
則，，
由即可得：或，
由即可得：
所以在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，故極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
（2）時(shí)，，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
而，，
所以存在，使，即，故，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
所以，因?yàn)椋吹淖畲笾禐?.
【點(diǎn)睛】由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，（1）可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，利用的單調(diào)性以零點(diǎn)存在定理可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得的最小值，只需，再結(jié)合是整數(shù)即可求解.
【針對(duì)訓(xùn)練】
1．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
2．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．
參考數(shù)據(jù)：，
3．已知函數(shù)，.
（Ⅰ）函數(shù)的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請(qǐng)求出整數(shù)的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由.
（參考數(shù)據(jù)：，,）.
【強(qiáng)化訓(xùn)練】
4．已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：.
5．已知函數(shù)，．
(1)函數(shù)的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案：
1．（1）具體見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得，根據(jù)正負(fù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）中可通過(guò)分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可求得的最值．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由題意得，
當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由，
得，
因?yàn)椋栽}等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立．
令，
則，
令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，有極大值，也為最大值，且，
所以，
又，所以,
所以，
因?yàn)椋?
故整數(shù)的最小值為2．
【點(diǎn)睛】本題屬于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題．第一問(wèn)中要合理確定對(duì)進(jìn)行分類的標(biāo)準(zhǔn)；第二問(wèn)利用分離參數(shù)的方法解題，但在求函數(shù)的最值時(shí)遇到了導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在但不可求的問(wèn)題，此時(shí)的解法一般要用到整體代換，即由可得，在解題時(shí)將進(jìn)行代換以使問(wèn)題得以求解．
2．（1）答案見(jiàn)解析；（2）3.
【分析】求得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)a進(jìn)行討論求解單調(diào)性；
由題設(shè)可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最小值，由即可求整數(shù)a的最大值．
【詳解】的定義域?yàn)榍遥?br>①當(dāng)時(shí)，由得：，
∴時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
②當(dāng)時(shí)，令得：或，
∴的增區(qū)間為和減區(qū)間為
③當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間：
④當(dāng)時(shí)，令得：或，
∴的遞增區(qū)間為和，減區(qū)間為．
，則恒成立．
令，則，
令，，知在上遞增且，，
∴，使，即在遞減，在遞增，
∴，
∴由知：整數(shù)a的最大值為3．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，將題設(shè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，求參數(shù).
3．（Ⅰ），（Ⅱ）1
【詳解】試題分析：（Ⅰ）函數(shù)圖象無(wú)公共點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)根，此方程可用分離參數(shù)法化為無(wú)實(shí)根，從而只要求出函數(shù)的值域即可，這可導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得；（Ⅱ）同樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“不等式對(duì)恒成立”，即對(duì)恒成立，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
求函數(shù)的最小值．
試題解析：（Ⅰ）函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程在無(wú)解
令，則令得
因?yàn)槭俏ㄒ坏臉O大值點(diǎn)，故
故要使方程在無(wú)解，
當(dāng)且僅當(dāng)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，則不等式對(duì)恒成立.
即對(duì)恒成立.
令，則，
令，則，
∵在上單調(diào)遞增，，，
且的圖象在上連續(xù)，
∴存在，使得，即，則，
∴ 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則取到最小值，
∴ ，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
，
∴存在實(shí)數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為.
考點(diǎn)：轉(zhuǎn)化與化歸思想．導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【名師點(diǎn)睛】命題“對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方”等價(jià)于不等式“不等式對(duì)恒成立”，從而轉(zhuǎn)化為“對(duì)恒成立”，最終轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最小值”．容易出錯(cuò)的地方是誤認(rèn)為函數(shù)的最大值小于或等于函數(shù)的最小值，解題時(shí)要注意．
4．(1)，；
(2)詳見(jiàn)解析.
【分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，通過(guò)解方程組使得問(wèn)題獲解；
（2）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性分析推證.
（1）
∵，
∴，且，
又在點(diǎn)處的切線方程為，
∴切點(diǎn)為，
∴
解得：，．
（2）
由（1）可知，，且的定義域?yàn)椋?br>令，定義域?yàn)?br>則，
令，顯然在為減函數(shù)，且，，
∴，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，∴，∴為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，∴，∴為減函數(shù)．
∴ ，
又∵，∴，，，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，設(shè)立了兩個(gè)問(wèn)題，旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值（極值）等方面的綜合運(yùn)用．求解第一問(wèn)時(shí)，依據(jù)題設(shè)條件借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，通過(guò)解方程組使得問(wèn)題獲解；求解第二問(wèn)時(shí)，先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析推證恒成立．
5．(1)
(2)存在，1
【分析】（1）將函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在無(wú)解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.
（2）將圖像位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)型即可求解.
（1）
函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程在無(wú)解，
令，則，令，得，
因?yàn)槭俏ㄒ坏臉O大值點(diǎn)，故
故要使方程在無(wú)解，當(dāng)且僅當(dāng)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；
（2）
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，則不等式對(duì)恒成立．
即對(duì)恒成立．
令，則，令，則，
∵在上單調(diào)遞增，，，且的圖象在上連續(xù)，
∴存在，使得，即，則，
∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則取到最小值，
∴，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
，
∴存在實(shí)數(shù)m滿足題意，且最大整數(shù)m的值為1．
＋
0
－
增
極大值
減
x
e
+
0
-
增
極大值
減

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