（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若在（1）的條件下，當取最大值時，求證：．
【解析】（1）法一：（分類討論法）．因為，．
①當時，，所以，
故在，上單調(diào)遞增，
所以，所以．
②當時，令，
若，；若，，
所以在上單減，在上單增；
所以，
解得，此時無解，
綜上可得．
法二：（分離參數(shù)法）．恒成立在，上恒成立．
令，則，
所以在，上單增，
故，所以．
（2）證明：由題意可知，．
要證，
先證明：時，．
令．
當時，，所以在，上單減，
所以（1），所以．
所以要證明式成立，只需要證明． （8分）
令，則，，
令
又在，上單調(diào)遞增，則在，上，，
在，，．
所以，在，上單減，在，上單增，
所以，
所以在，上單調(diào)遞增，所以（1）．
所以成立，也即是式成立．故．
2．已知函數(shù)，，且曲線在處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）求函數(shù)在，上的最小值：
（3）證明：當時，．
【解析】（1），
，
（1），（1），
，．
（2）由（1）得：，
，，
在上遞減，在上遞增．
，
在，上遞增，
，
在，上的最小值為1．
（3）證明：，由（2）得過
且在處的切線方程為，
故可猜測，時，的圖象恒在切線的上方，
下面證明當時，
設(shè)，，
，
，
由（2）知：在上遞減，在上遞增，
，（1），，
，
存在，使得，
，，時，；
，時，，
故在上遞增，在，上遞減，在上遞增，
又（1），
當且僅當時等號成立．
故，，
令，則，
時，，時，，
在上遞增，在上遞減，
（1），
，
即．
，
，
即成立，
時，，
綜上所述，時，．
3．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．
（1）求實數(shù)、的值；
（2）且時，證明：曲線的圖象恒在切線的上方；
（3）證明不等式：．
【解析】（1），由曲線在處的切線方程為，
由（1），（1），
解得，；
（2）由題意只需證：當且時，，
設(shè)，則，，
易知在單調(diào)遞增；且（1），，
必定存在，使得，
則在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，其中，（1），即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
（1），即當且時，成立；
所以當且時，曲線的圖象在切線的上方；
（3）要證：，只需證，
由（2）知時，，
故只需證，即證，
設(shè)，則，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
（1）；
即不等式：成立．
4．已知，曲線在，（1）處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）求在，上的最大值；
（3）證明：當時，．
【解析】（1），
（1），（1），
解得：，；
（2）由（1）得：，
，，
在遞減，在遞增，
，
在，遞增，
（1）；
（3），由（2）得過，
且在處的切線方程是，
故可猜測，時，的圖象恒在切線的上方，
下面證明時，，
設(shè)，，
，，
由（2）得：在遞減，在遞增，
，（1），，
，
存在，使得，
，，時，，
，時，，
故在遞增，在，遞減，在遞增，
又（1），當且僅當時取“”，
故，，
由（2）得：，故，
，當且僅當時取“”，
，
即，
，
即成立，
當且僅當時“”成立．
5．設(shè)函數(shù)，已知在處有極值．
（1）求實數(shù)的值；
（2）當（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：；
（3）證明：對任意的，，不等式恒成立．
【解析】（1）由題意函數(shù)，已知在處有極值，
所以（1）解得：．
（2），
，
由，
，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．，單調(diào)的減區(qū)間為，
，又（e），
（e）（1）
即：
即：
；
（3），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
當時，函數(shù)在處取得最小值，
，
由于以上各式并不都能取等號，所以把以上各式相加，變形得：
．

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