如圖，在邊長(zhǎng)為a米的正方形上剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b米的小正方形，將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)此圖形變換，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
(3) (1+3a)(1-3a) = .
(1) (x+5)(x-5) = .
(2) (3x+y)(3x-y) = .
平方差公式：兩數(shù)和與兩數(shù)差的積,等于兩個(gè)數(shù)的平方差
(3)1-9a2 = .
(1) x2-25 = .
(2) 9x2-y2 = .
整式乘法公式的逆向變形得到分解因式的方法.這種分解因式的方法稱(chēng)為運(yùn)用公式法.
(3x+y)(3x-y)
(1+3a)(1-3a)
分式分解的方法：公式法—平方差公式
有兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，且符號(hào)異號(hào)
下列哪些多項(xiàng)式可以用平方差公式分解因式？
有兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，符號(hào)異號(hào)
例1:把下列各式分解因式：
解(1)原式= 52－(4x)2
=(5+4x)(5-4x)
找出a、b，將兩項(xiàng)寫(xiě)成平方的形式
例2:把下列各式分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
平方差公式中字母a、b可以表示數(shù)，還可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式或單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘積等。
例3： 把下列各式分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式時(shí)，通常先提出這個(gè)公因式，然后再進(jìn)一步因式分解
要把每一個(gè)因式分解到不能分解為止
用平方差公式法分解因式
★多項(xiàng)式特點(diǎn)：有兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，且符號(hào)異號(hào)
因式分解的一般步驟：1.先提：若多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式；2.再用：若還能運(yùn)用公式，應(yīng)再運(yùn)用公式進(jìn)行分解；3.三徹底：要把每一個(gè)因式分解到不能分解為止.
第一步，找出a、b,將兩項(xiàng)寫(xiě)成平方的形式；
第二步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式.
例1：因式分解：(1)1－x2＝______________；(2)a2－9＝______________．(3)x2－4y2＝________________；(4)4a2－9＝_________________．
(x＋2y)(x－2y)
(2a＋3)(2a－3)
知識(shí)點(diǎn)一：直接運(yùn)用平方差公式因式分解
例2： 因式分解：(1)m3－m＝ __________________；(2)am2－an2＝ ___________________ ；(3)5x2－5y2＝__________________；(4)a－ax2＝__________________．
m(m＋1)(m－1)
a(m＋n)(m－n)
5(x＋y)(x－y)
a(1＋x)(1－x)
知識(shí)點(diǎn)二：先提公因式再運(yùn)用平方差公式因式分解
解：原式=2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2)
(2)5m2a4－5m2b4；
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(2)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
例4. 利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）5352－4652 （2） 53.52×4-46.52×4.解：原式＝(535＋465)×(535－465) ＝1000×70 ＝70000
知識(shí)點(diǎn)三：平方差公式因式分解的應(yīng)用
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法總結(jié)：較為復(fù)雜的有理數(shù)運(yùn)算，可以運(yùn)用因式分解對(duì)其進(jìn)行變形，使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化.
例5 求證：當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多項(xiàng)式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
證明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
方法總結(jié)：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析能被哪些數(shù)或式子整除．
例6. 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
聯(lián)立①②組成二元一次方程組，
方法總結(jié)：在與x2－y2，x±y有關(guān)的求代數(shù)式或未知數(shù)的值的問(wèn)題中，通常需先因式分解，然后整體代入或聯(lián)立方程組求值.
1.下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．a(chǎn)2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋9
2. 分解因式：16－x2＝(　　)A．(4＋x)(4－x) B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2
3.將(a－1)2－1分解因式，結(jié)果正確的是(　　)A．a(chǎn)(a－1) B．a(chǎn)(a－2)C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
4. 分解因式(2x+3)2 -x2的結(jié)果是（　　）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
5.把x3－9x分解因式，結(jié)果正確的是(　　) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
6.若a+b=3，a-b=7，則b2-a2的值為（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
7. 把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________; (2) (a+b)2-(a-b)2=_________________; (3) 9xy3-36x3y=_________________; (4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
8.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
當(dāng)4m+n=40，2m-3n=5時(shí)，
9. (1)已知m＋n＝10，m－n＝2，求m2－n2的值；解：∵m＋n＝10，m－n＝2，∴m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝10×2＝20(2)已知a＋b－4＝0，a2－b2＝8，求a－b的值．解：由a＋b－4＝0，得a＋b＝4，∵a2－b2＝8，∴(a＋b)(a－b)＝8，即4(a－b)＝8，∴a－b＝2
10.如圖，在邊長(zhǎng)為6.8 cm正方形鋼板上，挖去4個(gè)邊長(zhǎng)為1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面積．
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
答：剩余部分的面積為36 cm2.
11. (1)992-1能否被100整除嗎？
解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∵n為整數(shù) ∴(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n為整數(shù),（2n+1)2-25能否被4整除？
∴992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
a2-b2=(a+b)(a-b)
1.先提：若多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式；2.再用：若還能運(yùn)用公式，應(yīng)再運(yùn)用公式進(jìn)行分解；3.三徹底：要把每一個(gè)因式分解到不能分解為止..
1.課本第100頁(yè)習(xí)題4.4第1，2，3題；

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3 公式法

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