1. 會進行單項式與單項式的乘法計算；
2. 掌握整式中單項式與單項式中加、減、乘、乘方中的較簡單的混合運算；
3. 能計算求單項式乘法運算中求字母的值。
【要點梳理】
單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.
特別說明：
（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.
（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.
（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.
（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.
【典型例題】
類型一、單項式乘以多項式??化簡??求值
1．計算
（1） （2）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）按照單項式乘以單項式的運算法則計算即可；
（2）先計算積的乘方運算，再計算單項式乘以單項式，最后合并同類項即可．
（1）解：
；


．
【點撥】本題考查的是積的乘方運算，單項式乘以單項式，合并同類項，掌握“單項式乘以單項式的運算法則”是解本題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】計算：．
【答案】
【分析】先算乘法和乘方，再相減即可．
解：原式
．
【點撥】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算順序及乘法公式是解答本題的關(guān)鍵．混合運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按從左到右的順序計算；如果有括號，先算括號里面的，并按小括號、中括號、大括號的順序進行；有時也可以根據(jù)運算定律改變運算的順序．
【變式2】計算：．
【答案】
【分析】先計算積的乘方，再根據(jù)單項式乘單項式的法則進行計算，最后合并同類項即可．
解：原式
【點撥】本題考查了整式的混合計算，熟練掌握積的乘方法則和單項式乘單項式的法則是解題的關(guān)鍵．
2．計算
（2）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則求解即可；
（2）先計算積的乘方，然后根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點撥】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】計算：
（1）； （2）．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先計算單項式的乘方，再計算乘法，最后合并同類項即可得；
（2）先計算單項式的乘方，再計算乘法，最后合并同類項即可得．
（1）解：原式=
（2）原式=
【點撥】本題主要考查單項式乘多項式以及單項式的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握單項式乘方和單項式乘多項式的運算法則．
【變式2】計算：（1）3a·a3－(2a2)2 ； （2） ；（3）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】(1)原式利用同底數(shù)冪的乘法,以及冪的乘方與積的乘方運算法則計算,合并即可得到結(jié)果;
(2)原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算,再利用單項式乘以單項式法則計算即可得到結(jié)果;
(3)原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算,再利用單項式乘以單項式法則計算即可得到結(jié)果.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
【點撥】此題考查單項式乘單項式和冪的乘方與積的乘方，掌握運算法則是解題關(guān)鍵
類型二、單項式乘以多項式??化簡求值??求參數(shù)??應(yīng)用
3．先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，-16．
【分析】先化簡，再把a=2，b=1代入求解即可．
解：原式．
當，時，原式．
【點撥】本題考查了整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是正確的化簡．
舉一反三：
【變式1】先化簡，后求值：，已知．
【答案】，
【分析】先計算單項式的乘方、單項式乘單項式，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
解：原式=，
當時，
原式=
【點撥】此題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】先化簡，再求值（3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2）?3a，其中a=－
【答案】-a2 ，-.
【分析】先運用整式四則混合運算法則化簡，最后將a=－代入計算即可．
解：（3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2）?3a
= -3a3+2a2－3a2+3a3
= -a2；
當a=時，-a2=-（－）2=-．
【點撥】本題考查了整式的化簡求值，正確的運用整式四則混合運算法則化簡是解答本題的關(guān)鍵．
4．已知單項式與的積與是同類項.求的值.
【答案】
【分析】根據(jù)同類項的定義列出方程，求出m，n的值．
解：，
∵與是同類項，
∴，
解得.
【點撥】本題考查了單項式乘法，同類項的定義、方程思想，是一道基礎(chǔ)題，比較容易解答．
舉一反三：
【變式1】已知和的積與是同類項，求、的值.
【答案】，
【分析】先計算和的積，然后根據(jù)積與是同類項，即可求出m、n的值.
解：，
∵與是同類項，則
，
解得：.
【點撥】本題考查了單項式與單項式相乘的運算法則，以及同類項的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則進行化簡.
【變式2】如果 ，m，n均為正整數(shù)，求m，n的值．
【答案】m=3，n=2
【分析】根據(jù)單項式的乘法把左邊化簡，然后根據(jù)左右兩邊相同字母的指數(shù)相等列方程組求解即可.
解：
=﹣x2m+n﹣1ym+2n﹣2
=﹣x7y5 ，
即 ，
解得m=3，n=2
【點撥】本題考查了二元一次方程組的解法及單項式的乘法，單項式與單項式的乘法法則是，把它們的系數(shù)相乘，字母部分的同底數(shù)的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
5．小王購買了一套房子，他準備將地面都鋪上地磚，地面結(jié)構(gòu)如圖所示，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：米），解答下列問題：
（1）用含x，y的代數(shù)式表示地面總面積；
（2）若x＝5，y＝1，鋪地磚每平方米的平均費用為100元，則鋪地磚的總費用為多少元？
【答案】（1）地面總面積為6x+2y+18（m2）；（2）鋪地磚的總費用為5000元．
【分析】（1）利用長方形面積公式，分塊計算各房間結(jié)構(gòu)的面積，再求和；
（2）將x＝5，y＝1，鋪地磚每平方米的平均費用為100元，代入（1）中式子計算即可
解：（1）地面總面積為：6x+2×（6﹣3）+2y+3×（2+2）＝6x+6+2y+12＝6x+2y+18（m2）；
（2）當x＝5，y＝1，鋪1m2地磚的平均費用為100元，
總費用＝（6×5+2×1+18）×100＝50×100＝5000元答：鋪地磚的總費用為5000元．
【點撥】本題考查代數(shù)式與圖形面積，是常見考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（1）探索：如圖1，在邊長為的正方形紙片的4個角都剪去1個邊長是的正方形.試用含的式子表示紙片剩余部分的面積為_______________________；
（2）變式：如圖2，在邊長為的正方形紙片的4個角都剪去一個相同的扇形，扇形的半徑為，用表示紙片剩余部分面積為______________________，剩余部分圖形的周長為_____________________；
（3）拓展：世博會中國國家館模型的平面圖如圖3所示，其外框是一個大正方形，中間四個全等的小正方形（陰影部分）是支撐展館的核心筒，標記字母的五個全等的正方形是展廳，展廳的邊長為，已知核心筒的邊長比展廳的邊長的一半多1米，用含有的式子表示外框的邊長
【答案】(1) (2) (3)
【分析】(1)剩余部分的面積=大正方形的面積-4個小正方形的面積；
(2)利用分割法、周長的定義求解即可；
(3)利用線段的和差定義計算即可；
解：(1)由題意得：
剩余部分的面積為，
故答案為；
(2) 剩余部分的面積為，剩余部分圖形的周長為；
故答案為，;
(3)外框的邊長為；
【點撥】本題主要考查對代數(shù)式的理解和應(yīng)用.
【變式2】某公園欲建如圖13-2-3所示形狀的草坪（陰影部分），求需要鋪設(shè)草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，則為修建該草坪需投資多少元？（單位：米）
【答案】平方米；2520元
解：根據(jù)題意可得：草坪的長為7a米，寬為3a米
則S=7a·3a=21（平方米）
21×120=2520 （元）

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