1. 掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；
2. 學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；
3. 能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、完全平方公式
完全平方公式：
兩數(shù)和 (差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.
特別說(shuō)明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：

要點(diǎn)二、添括號(hào)法則
添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).
特別說(shuō)明：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.
要點(diǎn)三、補(bǔ)充公式
；；
；.
【典型例題】
類型一、完全平方公式??運(yùn)算??化簡(jiǎn)求值
1．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；
（2）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案；
（3）根據(jù)完全平方公式，可得答案；
（4）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案．
解：（1）原式＝[（3x?5）＋（2x＋7）][（3x?5）?（2x＋7）]
＝（3x?5＋2x＋7）（3x?5?2x?7）
＝（5x＋2）（x?12）
＝；
（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）?1]
＝?1
＝；
（3）原式＝
＝?6（2x?y）＋9
＝；
（4）原式＝
＝．
【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用平方差公式或完全平方公式計(jì)算：
； (2)
【答案】(1)9801(2)
【分析】（1）應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）應(yīng)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
解：（1）原式；
（2）原式．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用平方差公式、完全平方公式計(jì)算：
; (2)
【答案】(1)9960.04； (2)
【分析】（1）將原式變形為完全平方公式求解即可；
（2）將原式變形為平方差公式的形式，然后利用平方差公式及完全平方公式求解即可．
（1）解：
；
（2）
．
【點(diǎn)撥】題目主要考查利用完全平方公式與平方差公式進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．
類型二、完全平方公式??完全平方公式的變形公式??運(yùn)算??化簡(jiǎn)求值
2．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用完全平方公式，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題．
例如：若，求的值．
解：圖為，
所以，
所以．
所以．
得．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：
若，求的值；
若，求的值．
【答案】(1)12(2)4046
【分析】（1）利用完全平方公式的變形計(jì)算求解；
（2）設(shè)2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的變形計(jì)算求解．
（1）解：∵x-y=4，
∴（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16．
又∵x2+y2=40，
∴40-2xy=16，
解得xy=12，
答：xy的值是12；
（2）解：設(shè)2022-x=a，x-2020=b，則a+b=2．
∵（2022-x）（x-2020）=-2021，
∴ab=-2021，
把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得，
（2022-x）2+（x-2020）2
=（a+b）2-2ab
=22-2×（-2021）
=4+4042
=4046．
【點(diǎn)撥】本題主要考查完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知m﹣n＝6，mn＝4．
求m2+n2的值．
求（m+2）（n﹣2）的值．
【答案】(1)44(2)-12
【分析】（1）利用完全平方公式變形計(jì)算可得；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則去括號(hào)，再代入計(jì)算．
（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4．
∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44；
（2）∵m﹣n＝6，mn＝4．
∴（m+2）（n﹣2）
=mn-2m+2n-4
=mn-2（m-n）-4
=4-2×6-4
=-12．
【點(diǎn)撥】此題考查了利用完全平方公式的變形計(jì)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則，正確掌握各計(jì)算法則和公式是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，．求下列式子的值：
； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）將化為，再代入求值即可；
（2）先求的值，再將化簡(jiǎn)，代入求值即可．
（1）解：
．
（2）由，可得．
即
．
＝
．
【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的變形的逆用，解題的關(guān)鍵是不求a，b的值，利用完全平方公式的整體變換求值．
類型三、完全平方公式??完全平方公式參數(shù)?運(yùn)算??求值
3．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是完全平方式，求m的值．
【答案】
【分析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)即可求出m的值．
解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
【點(diǎn)撥】本題考查完全平方式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式．
舉一反三：
【變式1】（2019秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）①已知a2-8a+k是完全平方式，試問(wèn)k的值.
②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值.
【答案】①k=16； ②m=±6.
【分析】①設(shè)m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，進(jìn)而得到k的值；
②先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值．
解：①設(shè)m2=k；因?yàn)閍2-8a+k是完全平方式，
所以a2-8a+m2=(a-m)2= a2-2ma+m2,
所以8a=2ma,
解得m=4,
所以k=16；
②因?yàn)閤2+mx+9是完全平方式，
所以x2+mx+9=(x±3)2,
所以m=±6.
【點(diǎn)撥】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．
【變式2】（2018秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如果多項(xiàng)式9x2＋1加上一個(gè)單項(xiàng)式M后能成為一個(gè)完全平方式，求這個(gè)單項(xiàng)式M.
【答案】M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【分析】先分完全平方式是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，再分9x2是平方項(xiàng)與乘積二倍項(xiàng)分情況討論，根據(jù)完全平方公式解答即可．
解：①當(dāng)這個(gè)完全平方式是一個(gè)單項(xiàng)式的平方時(shí)，
則9x2＋1＋M是一個(gè)單項(xiàng)式，所以M＝－1或M＝－9x2.
②當(dāng)這個(gè)完全平方式是一個(gè)二項(xiàng)式的平方時(shí),
a. 當(dāng)這個(gè)完全平方式形如M＋9x2＋1時(shí)，即9x2為兩數(shù)乘積為2倍，
因?yàn)?x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4,
b. 當(dāng)這個(gè)完全平方式形如9x2＋M＋1時(shí)，即M為兩數(shù)乘積的2倍，因?yàn)?x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x,
c. 當(dāng)這個(gè)完全平方式形如9x2＋1＋M時(shí)，即1為兩數(shù)乘積的2倍，此時(shí)M不是一個(gè)整式，所以這種情況不存在．
綜上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【點(diǎn)撥】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是要分情況討論求解．
類型三、完全平方公式??圖形問(wèn)題?運(yùn)算??化簡(jiǎn)求值
4．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)?？计谀﹫D1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形．
圖2中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是______；（用含a、b的式子表示）
觀察圖2，用一個(gè)等式表示下列三個(gè)整式：、、ab之間的等量關(guān)系；
根據(jù)（2）問(wèn)中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，求的值．
【答案】(1) (2) (3) 4或
【分析】（1）根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)即可求得圖乙中陰影部分正方形邊長(zhǎng)；
（2）用兩種不同方式求得陰影部分面積可得關(guān)于、、ab的等式；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可解題．
解：（1）圖中陰影部分邊長(zhǎng)為，
故答案為：；
（2）用兩種不同的方法表示陰影的面積：
方法一：陰影部分為邊長(zhǎng)的正方形，故面積；
方法二：陰影部分面積為邊長(zhǎng)的正方形面積四個(gè)以為長(zhǎng)、b為寬的個(gè)長(zhǎng)方形面積；
∴；
（3）∵；
∴，
∴，
∴或．
【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的計(jì)算，考查了正方形面積計(jì)算，本題中求得是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（2020春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的方法拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．
請(qǐng)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積．
方法： ；
方法： ．
觀察圖寫出，，三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系： ．
根據(jù)（）中你發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）一種方法是先用m、n表示出陰影部分邊長(zhǎng)，再用正方形面積公式表示；另一種方法是先表示出大正方形面積和四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，用大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積表示出陰影部分面積；
（2），，三個(gè)代數(shù)式別表示大正方形，小正方形和長(zhǎng)方形面積，由圖知大正方形面積-四個(gè)長(zhǎng)方形面積=小正方形面積，可得它們之間的關(guān)系；
（3）由（2）得出的關(guān)系式變形，再代入求值即可得結(jié)果．
解：（1）根據(jù)圖形可得：
方法：；
方法：．
故答案為：，．
（2）由陰影部分的兩個(gè)面積代數(shù)式相等，
可得： ．
故答案為：．
（3）∵，，
．
【點(diǎn)撥】本題主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的聯(lián)系，會(huì)用代數(shù)式表示圖形面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；兩數(shù)的完全平方和比它們的完全平方差多了兩數(shù)積的4倍，該結(jié)論經(jīng)常用到．
【變式2】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；
若要拼出一個(gè)面積為的矩形，則需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片________張；
根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)；(2) 3；(3) ①7；②．
【分析】（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關(guān)系；
（2）計(jì)算的結(jié)果為，因此需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片3張；
（3）①根據(jù)題（1）公式計(jì)算即可；②令，從而得到，，代入計(jì)算即可．
（1）解：大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；
；
（2）解：，
需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片3張，
故答案為：3；
（3）解：①，，，
，
，
即的值為7；
②令，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)撥】本題考查完全平方公式的意義和應(yīng)用，用不同的方法表示面積是得出等量關(guān)系的關(guān)鍵．
中考真題專練
【1】（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，將長(zhǎng)為，寬為的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．
用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．
當(dāng)時(shí)，該小正方形的面積是多少？
【答案】(1)(2)36
【分析】（1）分別算出直角三角形較長(zhǎng)的直角邊和較短的直角邊，再用較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可得到小正方形面積；
（2）根據(jù)（1）所得的小正方形邊長(zhǎng)，可以寫出小正方形的面積代數(shù)式，再將a的值代入即可．
（1）解：∵直角三角形較短的直角邊，
較長(zhǎng)的直角邊，
∴小正方形的邊長(zhǎng)；
（2）解：，
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)撥】本題考查割補(bǔ)思想，屬性結(jié)合思想，以及整式的運(yùn)算，能夠熟練掌握割補(bǔ)思想是解決本題的關(guān)鍵．
【2】（2018·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長(zhǎng)增加b厘米，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：
小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗(yàn)證過(guò)程．
方案二：
方案三：
【答案】見(jiàn)分析
【分析】根據(jù)題目中的圖形可以分別寫出方案二和方案三的推導(dǎo)過(guò)程，本題得以解決．
解：由題意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．
【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的推導(dǎo)過(guò)程．
【3】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2； (2) x4+．
【答案】(1)5 (2) 47
【分析】（1）由＝、＝，進(jìn)而得到﹣4x?即可解答；
（2）由＝可得=7，又＝，進(jìn)而得到＝﹣2即可解答．
（1）解：∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x?
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【點(diǎn)撥】本題主要考查通過(guò)對(duì)完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．

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