浙教版七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題3.1 同底數(shù)冪的乘法（知識講解）

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1.掌握正整數(shù)冪的同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)；
2.理解“底數(shù)不變，指數(shù)相加”的意義；
3.能用代數(shù)式和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算.
【要點梳理】
運(yùn)算法則：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
特別說明：
（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.
（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)， 即（都是正整數(shù)）.
（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.或
【典型例題】
類型一、同底數(shù)冪的乘法??直接運(yùn)用法則計算
1．計算
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）
【分析】運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則和整式的加減法法則計算即可得解.
解：（1）
（2）
；
（3）
=；
（4）
【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，熟練掌握計算法則是解題關(guān)鍵.
舉一反三：
【變式1】計算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法性質(zhì):同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,逐一計算即可.
解：（1）
（2）
（3）
（4）.
【點撥】此題主要考查同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.
【變式2】計算：
(x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3； （2）(a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3.
【答案】(1)－(x－y)10；(2)－(a－b－c)6.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加即可.
解：(1) (x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3
＝－(x－y)2＋3＋2＋3
＝－(x－y)10.
(2) (a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3
＝－(a－b－c)·(a－b－c)2·(a－b－c)3
＝－(a－b－c)6.
【點撥】本題考查的知識點是同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握同底數(shù)冪的乘法.
類型二、同底數(shù)冪的乘法??運(yùn)用法則逆運(yùn)算計算
2．已知，，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法將其變形展開即可得；
（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法將其變形展開即可得；
（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法將其變形展開即可得；
解：（1）；
（2）；
（3）．
【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，能將同底數(shù)冪的乘法逆運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】(1)已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
(2)已知3x＋1＝81，求x.
【答案】(1) 6， (2) x＝3.
【分析】(1)用同底數(shù)冪的乘法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加；
(2)逆用同底數(shù)冪的乘法法則，將3x＋1轉(zhuǎn)化為3x×3，再求解.
解：(1) am＋n＝am·an＝2×3＝6.
(2) 因為3x＋1＝3x×3＝81，
所以3x＝27＝33.
所以x＝3.
【變式2】用簡便方法計算：
（）； （）．
【答案】（）; （）．
分析：(1)先轉(zhuǎn)化為同指數(shù)的冪相乘,再根據(jù)積的乘方的性質(zhì)的逆用計算即可.(2)先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行立方運(yùn)算，即可得出結(jié)果.
解：(1)=;
(2)=(-9) ×(-9) ×(-9) ×(-)×=9×9×9××=8.
類型三、同底數(shù)冪的乘法??科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的乘法
3．計算（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）：
（1）8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）．
【答案】(1)﹣3.96×； (2) 1.3×
【分析】（1）逆用乘法分配律進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)乘法的交換律和結(jié)合律進(jìn)行計算，然后將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示出來即可．
（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×；
（2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×．
【點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】1千克鐳完全蛻變后，放出的熱量相當(dāng)于3.75×105千克煤放出的熱量，據(jù)估計地殼里含1×1010千克鐳，試問這些鐳完全蛻變后放出的熱量相當(dāng)于多少千克煤放出的熱量？
【答案】這些鐳完全蛻變后放出的熱量相當(dāng)于3.75×1015千克煤放出的熱量．
試題分析：用每1千克鐳完全蛻變后放出的熱量相當(dāng)于3.75×105千克煤放出的熱量乘以地殼里含鐳的總量即可.
解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：這些鐳完全蛻變后放出的熱量相當(dāng)于3.75×1015千克煤放出的熱量．
【變式2】已知的氫氣的質(zhì)量用科學(xué)記數(shù)法表示約為，一塊橡皮的質(zhì)量為．
（1）用小數(shù)表示的氫氣質(zhì)量；
（2）這塊橡皮的質(zhì)量是的氫氣質(zhì)量的多少倍？
【答案】（1）； （2）倍
【分析】（1）絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10?n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定；
（2）利用有理數(shù)除法運(yùn)算法則求出答案即可．
解：（1）．
（2）．
故這塊橡皮的質(zhì)量是的氫氣質(zhì)量的倍．
【點撥】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)以及有理數(shù)除法等知識，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
類型四、同底數(shù)冪的乘法??綜合運(yùn)算
4．（1）已知，求n的值．
（2）已知，其中a、b、c為正整數(shù)，求的值．
【答案】（1）1 （2）1024
【分析】（1）將變形為，將分別變形為，然后可計算，即可確定n的值；
（2）將3996分解質(zhì)因數(shù)，分別求出a、b、c的值，然后代入計算的值即可．
解：（1）∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，，
∴
．
【點撥】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算以及代數(shù)式代入求值的知識，熟練掌握冪的乘方的逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】規(guī)定．求：
（1）；
（2）如果，求的值．
【答案】(1)9；(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，計算有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)題意利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算得出方程求解即可．
（1）解：
；
（2）∵，
∴，
即，
∴．
【點撥】題目主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算及解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【變式2】愛動腦筋的小明在學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》時發(fā)現(xiàn)：若，且，、都是正整數(shù)），則，例如：若，則．小明將這個發(fā)現(xiàn)與老師分享，并得到老師確認(rèn)是正確的，請您和小明一起用這個正確的發(fā)現(xiàn)解決下面的問題：
如果，求x的值；
如果，求x的值．
【答案】(1)x=5；(2)x=2
【分析】（1）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對式子進(jìn)行整理，從而可求解；
（2）利用同底數(shù)冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對式子進(jìn)行整理，即可求解．
解：（1）因為2×4x×32x=236，
所以2×22x×25x=236，
即21+7x=236，
所以1+7x=36，
解得：x=5；
（2）因為3x+2+3x+1=108，
所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，
即3x+1=33，
所以x+1=3，
解得：x=2．
【點撥】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．
中考真題專練
1．（2022·江蘇淮安·中考真題）計算，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法直接計算即可求解．
解：原式＝．
故選C．
【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若，則m的值為（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算計算，即可求解．
解，
，
故選：B．
【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，即（m、n為正整數(shù)），熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江麗水·中考真題）計算的正確結(jié)果是（ ）
A．B．a(chǎn)C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，即可判定．
解：，
故選：C．
【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，熟練掌握和運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2022·河南·中考真題）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億，則1兆等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將1萬表示成，1億表示成，然后用同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．
解：∵1兆＝1萬×1萬×1億，
∴1兆＝，
故選：C．
【點撥】本題考查同底數(shù)冪的乘法法則，科學(xué)記數(shù)法的表示方法，其中a的范圍是，n是整數(shù)，正確確定a，n的值是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖北隨州·中考真題）2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發(fā)射，將陳冬、劉洋、蔡旭哲三位宇航員送入了中國空間站．已知中國空間站繞地球運(yùn)行的速度約為，則中國空間站繞地球運(yùn)行走過的路程（m）用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出路程，再用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n的形式．
解：路程=．
故選：B．
【點撥】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．
6．（2022·湖南邵陽·中考真題）5月29日騰訊新聞報道，2022年第一季度，湖南全省地區(qū)生產(chǎn)總值約為11000億元，11000億用科學(xué)記數(shù)法可表示為，則的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，整數(shù)位數(shù)減1即可．當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解：因為1億=108，所以11000億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.1×104×108=1.1×1012．
故選：B．
【點撥】此題考查了科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)．解題的關(guān)鍵是關(guān)鍵知道1億=108，要正確確定a的值以及n的值．