浙教版七年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練 專題3.10 單項式乘以多項式（知識講解）

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1. 會進行單項式與多項式的乘法計算；
2. 掌握整式的加、減、及單項式乘以單項式及單項式與多項式相乘的的混合運算，并能靈活地運用運算律簡化運算.
【要點梳理】
單項式與多項式相乘的運算法則
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
即.
特別說明：
（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.
（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.
（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.
（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.
【典型例題】
類型一、單項式乘以單項式??化簡??求值
1．化簡．
【答案】
【分析】先根據(jù)單項式乘多項式運算法則展開，再合并同類項即可．
解：
【點撥】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
舉一反三：
【變式1】計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】根據(jù)多項式乘單項式的運算法則計算即可．
解：（1）
（2）
【點撥】本題考查了多項式乘單項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
【變式2】計算：
（1） （2）.
【答案】(1) ； (2) .
【分析】(1) 根據(jù)單項式乘多項式的運算法則即可求解.
根據(jù)單項式乘多項式的運算法則即可求解.
解：(1)= ;
(2)= ;
【點撥】此題主要考查整式的乘法，解題的關鍵是熟知單項式乘多項式的運算法則.
2．計算：
；(2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先算積的乘方和冪的乘方，再算單項式乘多項式即可；
（2）先算積的乘方，再算單項式乘多項式即可．
解：（1）
= -8a6b3?（3b2-4a+6）
= -24a6b5+32a7b3-48a6b3；
（2）
【點撥】本題主要考查單項式乘多項式，積的乘方和冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
舉一反三：
【變式1】計算下列各式
（1）；（2） （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根據(jù)單項式乘多項式的運算法則將原式展開，再單項式乘單項式運算法則化簡即可解答；
（2）同理，先根據(jù)單項式乘多項式的運算法則將原式展開，再單項式乘單項式運算法則化簡即可解答．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【點撥】本題考查整式的乘法，涉及單項式乘多項式、單項式乘單項式、同底數(shù)冪的乘法等知識，熟練掌握這些知識的運算法則是解答的關鍵．
【變式2】計算：．
【答案】
【分析】根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加計算即可．
解：（-a2bc+2ab2-ac）?（-ac）2=（-a2bc+2ab2-ac）?a2c2=-a4bc3+a3b2c2-a3c3．
【點撥】本題考查了單項式與多項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵，計算時要注意符號的處理．
類型二、單項式乘以單項式??化簡求值??求參數(shù)??應用
3．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根據(jù)單項式乘以多項式的運算法則和合并同類項將原式化簡，再代入數(shù)值即可求解．
解：．
當時，
原式．
【點撥】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則和合并同類項是解答本題的關鍵．
舉一反三：
【變式1】先化簡，再求值： 3a?2a 2 ? 4a ? 3?? 2a 2 (3a ? 4) ，其中 a ? ?2 .
【答案】-98
【分析】首先根據(jù)單項式與多項式相乘的法則去掉括號，然后合并同類項，最后代入已知的數(shù)值計算即可．
解：3a(2a2?4a+3)?2a2(3a+4)
=6a3?12a2+9a?6a3?8a2=?20a2+9a，
當a=?2時，原式=?20×4?9×2=?98.
【點撥】此題考查單項式乘多項式，解題關鍵在于掌握運算法則.
【變式2】閱讀下列文字，并解決問題．
已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．
分析：考慮到滿足x2y＝3的x，y的可能值較多，則不能逐一代入求解，故考慮整體思想，將x2y＝3整體代入．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.
請你用上述方法解決問題：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．
【答案】－78
【分析】根據(jù)單項式乘多項式，可得一個多項式，根據(jù)把已知代入，可得答案．
解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－108＋54－24
＝－78.
【點撥】本題考查了單項式乘多項式，整體代入是解題關鍵．
4．已知，求，的值．
【答案】a=2，b=1
【分析】根據(jù)整式的乘法展開，分別得到a，b的關系式，故可求解．
解：∵
∴5a=10，-3a=-6，ab=2
∴a=2，b=1．
【點撥】此題主要考查整式運算的應用，解題的關鍵是熟知整式乘法的運算法則．
舉一反三：
【變式1】若成立，請求出a、b的值．
【答案】，
【分析】先利用單項式乘多項式法則將等式左邊化簡，再根據(jù)多項式定義得出a、b的值．
解：由，得
，
∴，.
∴，.
【點撥】本題考查單項式乘多項式，解題的關鍵是利用單項式乘多項式法則將等式左邊化簡.
【變式2】先化簡，再求值：A＝3a2b﹣ab2，B＝ab2+3a2b，其中a＝，b＝．求5A﹣B的值．
【答案】
【分析】先把所求代入進行化簡，然后把a、b的值代入求值即可.
解：原式＝5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）
＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b
＝12a2b﹣6ab2
當a＝，b＝時，
原式＝12××﹣6××
＝1﹣
＝ .
【點撥】多項式的化簡求值是本題的考點，正確化簡多項式是解題的關鍵.
5．若為自然數(shù)，試說明整式的值一定是3的倍數(shù)．
【答案】見分析
【分析】先把n（2n＋1）?2n（n?1）進行計算，然后合并同類項，即可得出n（2n＋1）?2n（n?1）的值一定是3的倍數(shù)．
解：∵n（2n＋1）?2n（n?1）＝2n2＋n?2n2＋2n＝3n，n為自然數(shù)，
∴3n是3的倍數(shù)，
∴n（2n＋1）?2n（n?1）的值一定是3的倍數(shù)．
【點撥】此題考查了整式乘法的應用，解題的關鍵是把所求的式子進行計算，然后進行整理，得到3n，n為自然數(shù)，說明一定是3的倍數(shù)．
舉一反三：
【變式1】某中學擴建教學樓，測量地基時，量得地基長為寬為，試用表示地基的面積，并計算當時地基的面積．
【答案】，1300．
【分析】根據(jù)題意可直接利用長×寬進行求解面積，然后把代入求解即可．
解：根據(jù)題意得：
地基的面積是：，
當時，地基面積為：
．
【點撥】本題主要考查整式的乘除的應用，熟練掌握整式的乘法是解題的關鍵．
【變式2】一塊長方形硬紙片，長為(5a2＋4b2)m，寬為6a4m，在它的四個角上分別剪去一個邊長為a3m的小正方形然后折成一個無蓋的盒子，請你求這個無蓋盒子的表面積．
【答案】21a6＋24a4b2(m2)
【分析】先求得原長方形紙片的面積及減去小正方形的面積，再利用原長方形紙片的面積減去4個剪去小正方形的面積列出算式，計算即可求解
解：紙片的面積是(5a2＋4b2)·6a4＝30a6＋24a4b2(m2)，
小正方形的面積是(a3)2＝a6(m2)，
則無蓋盒子的表面積是30a6＋24a4b2－4×a6＝21a6＋24a4b2(m2)
答：這個無蓋盒子的表面積為（21a6＋24a4b2）m2
【點撥】本題考查了整式的運算的應用，根據(jù)題意求得長方形紙片及減去正方形的面積是解決問題的關鍵.