1．已知m、n是正整數(shù)，若+是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對(duì)（m，n）為（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可得出答案．
【詳解】解：∵+是整數(shù)，m、n是正整數(shù)，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
當(dāng)m=2，n=5時(shí)，原式=2是整數(shù)；
當(dāng)m=8，n=20時(shí)，原式=1是整數(shù)；
即滿足條件的有序數(shù)對(duì)（m，n）為（2，5）或（8，20），
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算，估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，題目比較好，有一定的難度．
2．公元3世紀(jì)，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式≈a＋ 得到的近似值．他的算法是先將看成，由近似公式得到≈1＋＝ ；再將看成 ，由近似公式得到≈＋ ＝；…依此算法，所得的近似值會(huì)越來越精確．當(dāng)取得近似值 時(shí)，近似公式中的a是________，r是________．
【答案】 或 或
【分析】根據(jù)近似公式得到 ，然后解方程組即可．
【詳解】由近似值公式得到，
∴a+，
整理得204a2-577a+408=0，
解得a1=，a2=，
經(jīng)檢驗(yàn)a1=，a2=均為方程的根，
當(dāng)a=時(shí)，r=2-a2=；
當(dāng)a=時(shí)，r=2-a2=．
故答案為或；或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次根式的應(yīng)用，利用類比的方法進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.
3．在矩形ABCD中，，，M是BC中點(diǎn)，，垂足為E，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】分點(diǎn)E在線段AM上和點(diǎn)E在線段AM的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別運(yùn)用矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AM上時(shí)，連接DM，過點(diǎn)M作MH⊥AD，垂足為H
矩形ABCD
，
四邊形ABMH為矩形
M是BC的中點(diǎn)，
在中，,則
∴
∴
∴
如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，同（1）可證．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用矩形的判定和性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵．
4．先觀察下列等式，再回答問題：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，請(qǐng)猜想第四個(gè)等式；
（2）請(qǐng)按照上面各等式規(guī)律，試寫出用 n（n 為正整數(shù)）表示的等式，并用所學(xué)知識(shí)證明．
【答案】（1）；（2），證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)“第一個(gè)等式內(nèi)數(shù)字為1，第二個(gè)等式內(nèi)數(shù)字為2，第三個(gè)等式內(nèi)數(shù)字為3”，即可猜想出第四個(gè)等式為44；
（2）根據(jù)等式的變化，找出變化規(guī)律“n”，再利用開方即可證出結(jié)論成立．
【詳解】（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的數(shù)字分別為1、2、3，
∴④ ．
（2）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+1=2，223344，…，∴ ．
證明：等式左邊=n右邊．
故n成立．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)以及規(guī)律型中數(shù)的變化類，解題的關(guān)鍵是：（1）猜測(cè)出第四個(gè)等式中變化的數(shù)字為4；（2）找出變化規(guī)律“n”．解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．
5．我們要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界．例如生活經(jīng)驗(yàn)：
（1）往一杯糖水中再加入一點(diǎn)糖，糖水就變甜了．這一生活經(jīng)驗(yàn)可以轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)問題：a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的含糖量我們可以記為（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此時(shí)糖水的含糖量變大了，
①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為 ；
A． B． C．
②請(qǐng)證明你選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系式是正確的．
（2）再如：矩形的面積為S（S為定值），設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則寬為，周長(zhǎng)為2，當(dāng)矩形為正方形時(shí)，周長(zhǎng)為，“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短”這一結(jié)論，
①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為 ；
A． B． C．
②請(qǐng)證明你選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系式是正確的．（友情提示：，）
【答案】（1）①A；②見解析；（2）①A；②見解析
【分析】（1）①根據(jù)題意直接進(jìn)行選擇即可；②利用作差法進(jìn)行證明即可；
（2）①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；②利用完全平方式及不等式進(jìn)行證明即可
【詳解】（1）①由題意可知用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為：，
故選：A；
②證明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）①A
②證明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是寫出相應(yīng)的式子，會(huì)用作差比較法比較兩個(gè)式子的大?。?br>6．【閱讀材料】
小慧同學(xué)數(shù)學(xué)寫作片段
乘法公式“大家族”
學(xué)習(xí)《整式的乘法及因式分解》之后，我發(fā)現(xiàn)乘法公式不只是教材上“黑體字”明確的“平方差公式”“完全平方公式和”，其實(shí)在教材或平時(shí)的練習(xí)中還“隱含”一些“乘法公式”值得積累，比如，
；
；
；
．
……
【解題運(yùn)用】
（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：___________；
（2）設(shè)滿足等式，求的值；
（3）若正數(shù)滿足等式，求代數(shù)式的值．
【答案】（1）；（2）12；（3）．
【分析】（1）根據(jù)公式即可完成多項(xiàng)式的因式分解；
（2）利用公式法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，求得即可計(jì)算出結(jié)果；
（3）利用公式可將分解為，并再根據(jù)完全平方公式將分解結(jié)果轉(zhuǎn)化為，再由已知可推出，將其代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式即可得出計(jì)算結(jié)果．
【詳解】解：（1），
故答案為：．
（2）
，
則，
∴
∴．
（3）
．
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，掌握因式分解的基本方法，牢記因式分解的相關(guān)公式且準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵．
7．像(+2)(﹣2)＝1、?＝a(a≥0)、(+1)(﹣1)＝b﹣1(b≥0)……兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，與， +1與﹣1，2+3與2﹣3等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．請(qǐng)完成下列問題：
(1)化簡(jiǎn)：；
(2)計(jì)算：；
(3)比較與的大小，并說明理由．
【答案】（1） （2）2+2+（3）
【分析】（1）由×=1，確定互為有理化因式，由此計(jì)算即可；
（2）確定分母的有理化因式為與，與，然后分母有理化后計(jì)算即可；
（3）確定與的有理化因式為與，得到與，然后比較即可．
【詳解】解：(1) 原式==；
（2）原式==；
（3）根據(jù)題意，，，
∵，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】此題是一個(gè)閱讀題，認(rèn)真讀題，了解互為有理化因式的實(shí)際意義，以及特點(diǎn)，然后根據(jù)特點(diǎn)變形解題是關(guān)鍵．
8．在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個(gè)二次根式的平方的形式.
比如：.善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：
當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，若，則有，所以，.
請(qǐng)模仿小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，若，請(qǐng)用含有的式子分別表示，得： ， ；
（2）填空：= - ；
（3）若，且為正整數(shù)，求的值.
【答案】（1），；（2）；（3）或46.
【詳解】試題分析：
（1）把等式右邊展開，參考范例中的方法即可求得本題答案；
（2）由（1）中結(jié)論可得： ，結(jié)合都為正整數(shù)可得：m=2，n=1，這樣就可得到：；
（3）將右邊展開，整理可得：，結(jié)合為正整數(shù)，即可先求得的值，再求的值即可.
試題解析：
（1）∵，
∴，
∴；
（2）由（1）中結(jié)論可得： ，
∵都為正整數(shù)，
∴ 或 ，
∵當(dāng)m=1，n=2時(shí)，，而當(dāng)m=2，n=1時(shí)，，
∴m=2，n=1，
∴；
（3）∵，
∴， ，
又∵為正整數(shù)，
∴， 或者，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，
即的值為：46或14.
9．觀察下列等式：
①；②；③；……
回答下列問題：
（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：
（2）計(jì)算： +++……+
【答案】（1）- （2）9
【分析】（1）根據(jù)已知的3個(gè)等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，把n=22代入即可求解；（2）先利用上題的規(guī)律將每一個(gè)分?jǐn)?shù)化為兩個(gè)二次根式的差的形式，再計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）；
（2）計(jì)算：
=
=
=10-1
=9.
10．如圖1，在正方形ABCD中，，P是AD邊上一點(diǎn)，連接BP，將△ABP繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．
(1)已知旋轉(zhuǎn)角為60°，點(diǎn)P與D點(diǎn)重合（如圖2）．
①證明：；
②證明：是等腰三角形；
(2)已知旋轉(zhuǎn)角為45°．
①請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)，在圖3上的AD邊上作出一點(diǎn)P，使P、、三點(diǎn)在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡）；
②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析
(2)①圖見解析；②1或
【分析】（1）①先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；
②連接，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證出是等邊三角形，再根據(jù)三角形全等的判定證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得證；
（2）①連接，以點(diǎn)為圓心、為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)；
②過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差求出，然后分和兩種情況，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】（1）證明：①四邊形是正方形，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，，
，即，
在和中，，
；
②如圖，連接，
四邊形是正方形，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
是等邊三角形，，
，
，
在和中，，
，
，
由（1）①已證：，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：①如圖，點(diǎn)即為所求．
②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則是等腰直角三角形，，
，
解得或（舍去），
，
，
，
，
，
則分以下兩種情況：
（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
則，
是等腰直角三角形，，
設(shè)，則，
，
在中，，即，
整理得：，
解得或（舍去），
，
；
（Ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
同理可得：，
設(shè)，則，
，
，
整理得：，
，
解得或（舍去），
；
綜上，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為1或．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算、利用平方根解方程、作垂線、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）②，正確分兩種情況討論，并通過作輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題關(guān)鍵．
11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸上，已知，上有一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．
（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為______；連接，若軸，則的值為______；
（2）如果．
①當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；
②請(qǐng)直接寫出最小值．
【答案】（1），；（2）①的長(zhǎng)為；②最小值為2．
【分析】（1）如圖，連接 過作于 證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理可得的坐標(biāo)，如圖，當(dāng)軸于時(shí)，而再利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理求解 從而可得答案；
（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，同理可得：為等邊三角形，過作于 則 結(jié)合 利用含的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求解 再求解 從而可得答案；②如圖，作直線 交于 過作于 過作于 先證明在直線上運(yùn)動(dòng)，再求解直線的解析式，可得為則 當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，最短，畫出圖形，再由旋轉(zhuǎn)可得： 再利用直角三角形的性質(zhì)可得 從而建立方程求解 從而可得答案.
【詳解】解：（1）如圖，連接 過作于

是等邊三角形，


如圖，當(dāng)軸于時(shí)，而
同理可得：為等邊三角形，



故答案為：
（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，
同理可得：為等邊三角形，
過作于 則



解得： （負(fù)根舍去）




②如圖，作直線 交于 過作于 過作于
由旋轉(zhuǎn)與矩形的性質(zhì)可得：



點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在直線上，
由矩形
四邊形是矩形，


設(shè) 則
設(shè)為
則 解得：
為
結(jié)合①問可得點(diǎn)在直線上，

為則
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，最短，如圖，
由旋轉(zhuǎn)可得：








所以的最小值為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，含的直角三角形的性質(zhì)，利用平方根的含義解方程，二次根式的運(yùn)算，本題綜合性強(qiáng)，難度大，要求基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)散要求較高.
12．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
(1)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，則BN＝ ．
(2)如圖，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N為直線AB上兩點(diǎn)，滿足∠MCN＝45°．
①如圖2，點(diǎn)M、N在線段AB上，求證：點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)；
②如圖3，若點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，AM，BN，求BM的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)勾股分割點(diǎn)的定義得，MN2=AM2+BN2，代入計(jì)算即可；
（2）①將△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAP，連接AP，MP，利用SAS證明△MCN≌△MCP，得MN=PM，即可證明結(jié)論；
②將△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAE，連接ME，由①同理可證△MCE≌△MCN（SAS），得ME=MN，從而有MN2=AM2+BN2，將數(shù)據(jù)代入計(jì)算可得BM．
【詳解】（1）解：∵△ANM是直角三角形，MN＞AM，MN＞BN，
∴MN2=AM2+BN2，
∴32=22+BN2，
∴BN=；
（2）①證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
將△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAP，連接AP，MP，
∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，
∴∠MAP=90°，
∵∠MCN=45°，∠NCP=90°，
∴∠MCP=∠MCN=45°，
∵CM=CM，CP=CN，
∴△MCN≌△MCP（SAS），
∴MN=PM，
∵M(jìn)P2=AM2+AP2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)；
將△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAE，連接ME，
∴AE=BN=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°，
∴∠MAE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠BCN+∠ECB=90°，
∴∠ECN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ECM=45°=∠MCN，
在△MCE和△MCN中，
，
∴△MCE≌△MCN（SAS），
∴ME=MN，
∵M(jìn)E2=AM2+AE2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴（+BM）2=（）2+（）2，
∴BM=．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相等的量．

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)10.5 分式方程課時(shí)練習(xí)

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