一、單選題(共18分
1．(本題3分)對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，先將該點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，這種點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為點(diǎn)的斜平移，如點(diǎn)P（2，3）經(jīng)1次斜平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5）．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)Q是直線l上的一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，若點(diǎn)B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移后得到，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，6），則△ABC的面積是（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】A
【分析】連接CQ，根據(jù)中心和軸對(duì)稱的性質(zhì)和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)E，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AE于點(diǎn)F，根據(jù)待定系數(shù)法得出直線的解析式進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：連接CQ，如圖：
由中心對(duì)稱可知，AQ＝BQ，
由軸對(duì)稱可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)E，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AE于點(diǎn)F，如圖，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵，
∴∠AEC＝45°，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（14，0），
設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b，
∵C，E點(diǎn)在直線上，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14，
∵點(diǎn)B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移得到，
∴點(diǎn)B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
∴△ABC的面積＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，求解一次函數(shù)的解析式，得到的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．
2．(本題3分)在全班45人中進(jìn)行了你最喜愛的電視節(jié)目的調(diào)查活動(dòng)，喜愛的電視劇有人數(shù)為18人，喜愛動(dòng)畫片有人數(shù)為15人，喜愛體育節(jié)目有人數(shù)為10人，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．喜愛的電視劇的人數(shù)的頻率是
B．喜愛的電視劇的人數(shù)的頻率是
C．喜愛的動(dòng)畫片的人數(shù)的頻率是
D．喜愛的體育節(jié)目的人數(shù)的頻率是
【答案】B
【詳解】試題分析：頻率應(yīng)為頻數(shù)除以總數(shù)，所以喜歡看電視劇、動(dòng)畫片和體育節(jié)目的頻率分別是、、 ，故選B.
3．(本題3分)已知，則代數(shù)式的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知，得到，整體思想帶入求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值．熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則，利用整體思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
4．(本題3分)已知代數(shù)式，，，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，則；
②若，則一次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；
③若x，y，z為正整數(shù)，且，則；
④若，，且x為方程的一個(gè)實(shí)根，則與的值相等；
⑤若，，則的值為28．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】設(shè)，，，則，，，，從而可求得，判斷①；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，即可判斷②錯(cuò)誤；由x，y，z為正整數(shù)，且，得，從而有，即可判斷③正確；④由，，得，，，進(jìn)而求得，從而求得，即可判斷④錯(cuò)誤；⑤先求得，，，進(jìn)而可求得
從而判斷⑤錯(cuò)誤；即可得解．
【詳解】解：①由，設(shè)，，，則，
，，，
∴，故①正確；
②∵，，，，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故②錯(cuò)誤；
③∵x，y，z為正整數(shù)，且，
∴，
∴，即是③正確；
④∵，，
∴，，，
∵x為方程的一個(gè)實(shí)根，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴即④錯(cuò)誤；
⑤∵，，，，，
∴，，
∴，
∴
，故⑤錯(cuò)誤；
∴正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程、一次函數(shù)的性質(zhì)、分式的混合運(yùn)算、比較數(shù)的大小、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及比例的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、分式的混合運(yùn)算、比較數(shù)的大小、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．(本題3分)已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖像上，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)（a，y1）、（a＋2，y2）在圖象的同一分支上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)（a，y1）、（a＋2，y2）在圖象的兩支上時(shí)，分別求解即可．
【詳解】解：∵，
∴圖像在一、三象限，在反比例函數(shù)圖像的每一支上，y隨x的增大而減小，
，
y1＞y2，
①當(dāng)點(diǎn)（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限時(shí)，
∵y1＞y2，
當(dāng)在第一象限時(shí)，
∴，解得；
當(dāng)在第三象限時(shí)，
∴，解得；
綜上所述：或；
②當(dāng)點(diǎn)（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限時(shí)，
∵y1＞y2，
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式組無(wú)解，
因此，本題的取值范圍為或，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握當(dāng)反比例函數(shù)k的正負(fù)對(duì)增減性的影響，當(dāng)時(shí)，在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小．
6．(本題3分)如圖，菱形的對(duì)角線長(zhǎng)度為4，邊長(zhǎng)，M為菱形外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，N為中點(diǎn)，連接．則當(dāng)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，長(zhǎng)度的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】連接，交于點(diǎn)，連接，易得是的中位線，得到，取的中點(diǎn)，連接，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，連接，
∵菱形的對(duì)角線長(zhǎng)度為4，邊長(zhǎng)，
∴，，，
∴，
∵N為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中點(diǎn)，連接，
則：，
∵，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最大為；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．
第II卷（非選擇題）
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二、填空題(共30分
7．(本題3分)，用t的表達(dá)式來(lái)表示______．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_____；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_____．
【答案】 ≤＜ ＜
【分析】將分式的分子和分母同時(shí)除以a，然后變形即可求出與t的關(guān)系式，然后判斷出當(dāng)t＞0時(shí)，隨t的增大而增大，結(jié)合t的取值范圍從而求出的取值范圍．
【詳解】解：∵
∴
∴（其中，即）
∴
整理可得：
當(dāng)t＞0時(shí)，隨t的增大而減小，且＞0
∴當(dāng)t＞0時(shí)，隨t的增大而增大，且＜
∴對(duì)于，當(dāng)t=1時(shí)，有最小值，最小值為；
∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是≤＜；
∴對(duì)于，無(wú)最小值；但應(yīng)滿足＜
故答案為：；≤＜；＜．
【點(diǎn)睛】此題考查的是等式的變形和利用函數(shù)增減性求函數(shù)值的取值范圍，掌握利用函數(shù)增減性求函數(shù)值的取值范圍是解題關(guān)鍵．
8．(本題3分)設(shè)，，當(dāng)t為___________時(shí)，代數(shù)式．
【答案】2
【分析】根據(jù)x，y的表達(dá)式，可以觀察出，，再將改寫為含有與的形式，代入解出t即可．
【詳解】，
，

，解得（舍去），．
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題考查乘法公式的運(yùn)用，熟練掌握乘法公式并能將二次三項(xiàng)式改寫為含有與的形式，是本題的解題關(guān)鍵．
9．(本題3分)某景區(qū)為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了某月（30天）接待游客人數(shù)（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表：
根據(jù)以上信息，以下四個(gè)判斷中，正確的是_________．(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))
①該景區(qū)這個(gè)月游玩環(huán)境評(píng)價(jià)為“擁擠或嚴(yán)重?fù)頂D”的天數(shù)僅有4天；
②該景區(qū)這個(gè)月每日接待游客人數(shù)的中位數(shù)在5~10廣域網(wǎng)人之間；
③該景區(qū)這個(gè)月平均每日接待游客人數(shù)低于5萬(wàn)人；
④這個(gè)月1日至5日的五天中，如果某人曾經(jīng)隨機(jī)選擇其中的兩天到該景區(qū)游玩，那么他“這兩天游玩環(huán)境評(píng)價(jià)均為好”的可能性為．
【答案】①④
【分析】利用統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表獲取的信息逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】解：①根據(jù)統(tǒng)計(jì)表可得日接待游客人數(shù)10≤x< 15為擁擠，15≤x< 20為嚴(yán)重?fù)頂D，由統(tǒng)計(jì)圖可知，游玩環(huán)境評(píng)價(jià)為“擁擠或嚴(yán)重?fù)頂D”，1日至5日有2天，25日-30日有2天，共4天，故①正確；
②本題中位數(shù)是指將30天的游客人數(shù)從小到大排列，第15與第16位的和除以2，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知0≤x < 5的有16天，從而中位數(shù)位于0≤x< 5范圍內(nèi)，故②錯(cuò)誤；
③從統(tǒng)計(jì)圖可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，
10上下的估算為10，則（10×8+15×2-5×10）÷16=3.25，可以考慮為給每個(gè)0至5的補(bǔ)上3.25，則大部分大于5，而0至5范圍內(nèi)有6天接近5，故平均數(shù)一定大于5，故③錯(cuò)誤；
④由題意可知“這兩天游玩環(huán)境評(píng)價(jià)均為好”的可能性為，故④正確．
故答案為①④．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)及可能性等知識(shí)，利用統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表獲取的有效信息是解答本題的關(guān)鍵．
10．(本題3分)11月份以來(lái)，重慶疫情形勢(shì)不容樂(lè)觀，山城人民眾志成城，抗擊疫情．某物流公司為保證居民正常生活，將派大中小三種車型為甲、乙兩個(gè)小區(qū)配送物資．大中小三種車型每輛車每趟配送的物資數(shù)量比為，每種車型每小時(shí)跑的趟數(shù)之比為．經(jīng)兩個(gè)小區(qū)的物業(yè)反饋發(fā)現(xiàn)乙小區(qū)的總物資數(shù)量是甲小區(qū)總物資數(shù)量的1.1倍，所有工人用9小時(shí)給甲小區(qū)送完物資后，計(jì)劃將其中2輛大車和3輛中型車換成小車，發(fā)現(xiàn)給乙小區(qū)配送完物資也是9小時(shí)，因時(shí)間緊迫，實(shí)際運(yùn)送物資時(shí)公司又額外派了若干輛大車（派送大車不超過(guò)20輛），最終乙小區(qū)完成的時(shí)間也是整數(shù)，則額外派送的大車是___________輛．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題干條件，設(shè)派大車a輛，中型車b輛，小車c輛，每輛小車配送物資x噸，大車每小時(shí)跑的次數(shù)為y次，然后列出等量關(guān)系，整理計(jì)算；最后用列舉法找出符合題意的值．
【詳解】解：設(shè)大車a輛，中型車b輛，小車c輛，每輛小車配送物資x噸，大車每小時(shí)跑的次數(shù)為y次，
則：
整理得：，
即甲地需物資為：
設(shè)增加大車n輛，則每小時(shí)運(yùn)送物資為
即為整數(shù)，整理得為整數(shù)，
∵
解得
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查方程的應(yīng)用和整數(shù)解問(wèn)題，利用方程找到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．(本題3分)如果無(wú)理數(shù)m的值介于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)之間，即滿足（其中a、b為連續(xù)正整數(shù)），我們則稱無(wú)理數(shù)m的“神奇區(qū)間”為．例： ，所以的“神奇區(qū)間”為．若某一無(wú)理數(shù)的“神奇區(qū)間”為，且滿足，其中， 是關(guān)于x、y的二元一次方程組的一組正整數(shù)解，則__．
【答案】33或127/127或33
【分析】根據(jù)“神奇區(qū)間”的定義，還有二元一次方程正整數(shù)解這兩個(gè)條件，尋找符合的情況．
【詳解】解：“神奇區(qū)間”為，
、為連續(xù)正整數(shù)，
，， 是關(guān)于x、y的二元一次方程組的一組正整數(shù)解，
符合條件的，有，，；，，．
，，時(shí)，，，
，
，
，，時(shí)，，，
，
，
故的值為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，估算無(wú)理數(shù)大小，二元一次方程整數(shù)解相關(guān)知識(shí)，綜合考查學(xué)生分析、計(jì)算能力．
12．(本題3分)2021年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)是有關(guān)于“復(fù)雜系統(tǒng)的理解”，我們可以用動(dòng)力系統(tǒng)的方法來(lái)研究復(fù)雜系統(tǒng)．已知直線，雙曲線，點(diǎn)A1（1，－1），我們從A1點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造無(wú)窮點(diǎn)列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…構(gòu)造規(guī)則為：若點(diǎn)An（x，y）在直線上，那么下一個(gè)點(diǎn)A＋1（x＋1，y＋1）就在雙曲線上，且x＋1＝x；若點(diǎn)An（x，y）在雙曲線上，那么下一個(gè)點(diǎn)A＋1（x＋1，y＋1）就在直線上，且y＋1＝y(tǒng)，根據(jù)規(guī)則，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為____．無(wú)限進(jìn)行下去，無(wú)限接近的點(diǎn)的坐標(biāo)____．
【答案】 （5，3） （3，1）
【分析】先根據(jù)題意求出從而可以求出的坐標(biāo)，從而求出，， ，的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)結(jié)合函數(shù)圖象可知此時(shí)這個(gè)點(diǎn)列慢慢的向一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)靠近，則無(wú)限進(jìn)行下去，無(wú)限接近的點(diǎn)的坐標(biāo)即為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，由此求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)A1（1，－1）滿足一次函數(shù)解析式，即點(diǎn)A1在直線上，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1且點(diǎn)在反比例函數(shù)上，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，且點(diǎn)在直線上，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3），
同理點(diǎn)的坐標(biāo)為，， ，，
結(jié)合函數(shù)圖象可知此時(shí)這個(gè)點(diǎn)列慢慢的向一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)靠近，
∴無(wú)限進(jìn)行下去，無(wú)限接近的點(diǎn)的坐標(biāo)即為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，
聯(lián)立，
解得或（舍去），
故答案為：（5，3），（3，1）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
13．(本題3分)如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為_________．
【答案】
【分析】的下方作，在上截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：如圖，的下方作，在上截取，使得，連接，．
∵四邊形是菱形，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，當(dāng)E點(diǎn)在AT上時(shí)取等號(hào)，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．
14．(本題3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C和D都在x軸上（C在D左側(cè)），且線段CD＝1，連接AB，BC，AD，當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．
【答案】（，0）/
【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，以、CD為鄰邊作，則==BC，=CD=1，（1，-1）所以BC+AD=+AD≥，即當(dāng)A、D、在同一直線上時(shí)，BC+AD的最小值為，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：∵A的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），
∴AB==5，
∵CD=1，
∴四邊形ABCD周長(zhǎng)：AB+BC+CD+AD=5+1+BC+AD=6+BC+AD，
∴要求四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，即求BC+AD的最小值，
作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，以、CD為鄰邊作，
∴==BC，=CD=1，（1，-1），
∴BC+AD=+AD≥，
即當(dāng)A、D、在同一直線上時(shí)，BC+AD的最小值為，
∵A的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1），
設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則
，
解得：，
∴直線的解析式：y=x?，
令y=0，則x=，
即D（，0），
又∵CD=1，
∴C（，0），
故答案為：（，0）．
【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)．
15．(本題3分)如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，另有一次函數(shù)與、圖像分別交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在直線的上方），且，則__________．
【答案】
【分析】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，設(shè)，則可表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題干條件，建立方程，再根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)上，可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
令，則，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∵，
∴，
則，即：，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形等相關(guān)知識(shí)，設(shè)出參數(shù)，得出方程是解題關(guān)鍵．
16．(本題3分)四邊形ABCD是矩形，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，試探究：
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，CE的長(zhǎng)度為__________；
（2）如圖2，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接EO，F(xiàn)O，設(shè)的面積為s，在矩形DEFG的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，s的取值范圍為__________．
【答案】
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，由勾股定理知CE=，代入計(jì)算即可；
（2）如圖，由旋轉(zhuǎn)知，EF=AD=8， 的面積=×EF×EF邊上的高，故找面積最值就轉(zhuǎn)化成找EF邊上高的最值．當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，EF邊上高的最小值為EO，此時(shí)s最小，當(dāng)點(diǎn)D落在BD的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，EF邊上高的最大值為OE'，此時(shí)s最大，分別算出最大值和最小值即可．
【詳解】（1），
當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，
CE=；
故答案為：．
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，s最小，此時(shí)，
，
∴；
當(dāng)點(diǎn)D落在BD的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，s最大，
，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是要有空間想象能力，正確作出輔助線求解．
三、解答題(共82分
17．(本題8分)我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題，求的立方根.華羅庚脫口而出,你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果的嗎？請(qǐng)按照下面的問(wèn)題試一試：
（1）由,確定的立方根是 位數(shù)；
（2）由的個(gè)位數(shù)是確定的立方根的個(gè)位數(shù)是 ；
（3）如果劃去后面的三位得到數(shù),而,由此能確定的立方根的十位數(shù)是 ；所以的立方根是 ；
（4）用類似的方法，請(qǐng)說(shuō)出的立方根是 .
【答案】（1）兩；（2）9；（3）3，39；（4）
【分析】（1）根據(jù)59319大于1000而小于1000000，即可確定59319的立方根是兩位數(shù)；
（2）根據(jù)一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)，據(jù)此即可確定；
（3）根據(jù)數(shù)的立方的計(jì)算方法即可確定；
（4）首先根據(jù)一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)確定個(gè)位數(shù)，然后依次確定十位數(shù)，即可求得立方根．
【詳解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴，
∴的立方根是兩位數(shù)，
故答案為：兩；
（2）只有個(gè)位數(shù)是9的立方數(shù)的個(gè)位數(shù)依然是9，
∴的立方根的個(gè)位數(shù)是9，
故答案為9；
（3）∵27＜59＜64，
∴，
∴的十位數(shù)是3，
∴，
故答案為3，39；
（4）根據(jù)上述知識(shí)可知，
∵-1000000＜-110592＜-1000，
∴，
∴-110592的立方根的個(gè)位數(shù)是-8，
∵-125＜-110＜-64，
∴，
∴的十位數(shù)是-4，
則，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)的立方，理解一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)是解題的關(guān)鍵．
18．(本題8分)我們定義：形如（m，n不為零），且兩個(gè)解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．
例如為十字分式方程，可化為，∴，．
再如為十字分式方程，可化為．∴，．
應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：
(1)若為十字分式方程，則______，______．
(2)若十字分式方程的兩個(gè)解分別為，，求的值．
(3)若關(guān)于x的十字分式方程的兩個(gè)解分別為，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）將方程改寫成，再根據(jù)十字分式方程的定義作答即可；
（2）先根據(jù)十字分式方程的定義求出，再化簡(jiǎn)得，最后代入計(jì)算求解即可；
（3）先根據(jù)十字分式方程的定義以及、、的取值范圍求出，，即，，然后代入求解即可．
【詳解】（1）解：方程是十字分式方程，可化為，
，
故答案為：，．
（2）解：十字分式方程的兩個(gè)解分別為，，
，
∵，
∴原式．
（3）解：方程是十字分式方程，可化為，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值為2022．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，利用完全平方公式求值、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解十字分式方程的定義是解題關(guān)鍵．
19．(本題8分)定義，求+…++…+的值.
【答案】5.
【分析】將進(jìn)行分母有理化，分子分母同時(shí)乘以可得，進(jìn)而求得，，，則
【詳解】
，
，，，…，．
．
【點(diǎn)睛】本題以新定義型題形式考查了二次根式的運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵是通過(guò)分母有理化將簡(jiǎn)化，再代值得到，即可解題.
20．(本題8分)弘揚(yáng)鷺島新風(fēng)，文明有你有我．某校初中部組織學(xué)生開展志愿服務(wù)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)有“義務(wù)講解”、“交通督導(dǎo)”、“圖書義賣”、“社區(qū)服務(wù)”、“探望老人”等五個(gè)項(xiàng)目，要求每名同學(xué)至少選擇其中一個(gè)項(xiàng)目參加．該校初中部共有800名學(xué)生，現(xiàn)隨機(jī)抽取該校初中三個(gè)年級(jí)的部分學(xué)生，對(duì)其參加活動(dòng)項(xiàng)目的情況進(jìn)行調(diào)查，并制作了統(tǒng)計(jì)圖表，如表、圖1、圖2．
被抽樣學(xué)生參加的活動(dòng)項(xiàng)目頻數(shù)分布表：
（1）求a的值；
（2）估計(jì)該校初中部800名學(xué)生中參加三項(xiàng)以上（含三項(xiàng)）活動(dòng)的人數(shù)；
（3）被抽樣學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng)的初二年級(jí)人數(shù)占參加該項(xiàng)目的總?cè)藬?shù)的比例達(dá)到52%，小剛結(jié)合圖2判斷：相比圖書義賣，社區(qū)服務(wù)更受該校初二年級(jí)的學(xué)生歡迎．你認(rèn)為小剛的判斷正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）a＝45；（2）256（人）；（3）小剛的判斷不正確，見解析
【分析】1）由參加一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)及其所占比例可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以參加兩項(xiàng)活動(dòng)對(duì)應(yīng)的百分比即可求出的值；
（2）總?cè)藬?shù)乘以樣本中參加三項(xiàng)以上（含三項(xiàng)）活動(dòng)的人數(shù)所占比例即可；
（3）由被抽樣學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)的人數(shù)未知，從而無(wú)法比較初二學(xué)生中圖書義賣，社區(qū)服務(wù)學(xué)生人數(shù)可得答案．
【詳解】解：（1）被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人，
；
（2）估計(jì)該校初中部800名學(xué)生中參加三項(xiàng)以上（含三項(xiàng)）活動(dòng)的人數(shù)為（人；
（3）小剛的判斷不正確，理由：
被抽樣學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)的人數(shù)未知，從而無(wú)法比較初二學(xué)生中圖書義賣，社區(qū)服務(wù)學(xué)生人數(shù)．
【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察統(tǒng)計(jì)圖并從中整理出進(jìn)一步解題的有關(guān)信息，條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br>21．(本題8分)一場(chǎng)數(shù)學(xué)游戲在兩個(gè)非常聰明的學(xué)生甲、乙之間進(jìn)行，裁判在黑板上寫出正整數(shù)2，3，4，…，2006，然后隨意擦去一個(gè)數(shù)，接下來(lái)由甲、乙兩人輪流擦去其中一個(gè)數(shù)（即乙先擦去其中一個(gè)數(shù)，然后甲再擦去一個(gè)數(shù)）．如此下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互素，則判甲勝；否則，判乙勝，按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率（用具體數(shù)字作答）．
【答案】
【詳解】解 獲勝的關(guān)鍵，要看裁判擦去的是奇數(shù)還是偶數(shù)，注意到2，3，4，…，2006中有1003個(gè)偶數(shù)，1002個(gè)奇數(shù)．
（1）若裁判擦去的是奇數(shù)，則乙一定獲勝．
乙不管甲擦去什么數(shù)，只要有奇數(shù)，乙就擦去奇數(shù)（沒(méi)有奇數(shù)時(shí)才擦去偶數(shù)）這樣最后兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù)，它們不互素，故乙勝．
（2）若裁判擦去的是偶數(shù)，則所剩的2004個(gè)數(shù)可配成1002對(duì)，每對(duì)中兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)：，，…，，，…，
這樣不管乙擦去哪個(gè)數(shù)，甲都擦去所配對(duì)中另一個(gè)數(shù)，最后剩下的兩數(shù)必然是配成一對(duì)的兩個(gè)數(shù)，它們互補(bǔ)，故甲勝．
所以，甲獲勝的概率為．
22．(本題8分)如圖，在中，，與、相鄰的外角平分線交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A分別作直線CM、CN的垂線，B、D為垂足．
(1)求證：四邊形ABCD是正方形．
(2)若，，求的長(zhǎng)．
(3)借助上面問(wèn)題的解題思路，解決下列問(wèn)題：
若在中，，PH是的一條高，，，請(qǐng)直接寫出HF的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)6或24
【分析】（1）如圖，作AG⊥MN于G，則∠AGM=∠AGN=90°，再證明四邊形ABCD是矩形，再由角平分線的性質(zhì)可得AB=AD，即可證明結(jié)論；
（2）先證明，得出，同理：，得出，則，設(shè)DN=x，則，，最后由勾股定理得出方程列方程求解即可；
（3）當(dāng)△PEF是銳角三角形時(shí)，如圖2中，把△PFH沿PF翻折得△PFD，把△PEH沿PE翻折得△PEM，延長(zhǎng)DF、ME交于點(diǎn)G，由四邊形PMGD是正方形，ME+DF=FE，ME=HE=4，DF=HF，得出MG=DG=MP=PH=12，設(shè)FH=DF=a，則EF=4+a，F(xiàn)G=12-a，
，在Rt△GFE中運(yùn)用勾股定理列方程求解即可；當(dāng)△PFE是鈍角三角形時(shí)，如圖3中，過(guò)P作PT⊥PF交EF延長(zhǎng)線于T，構(gòu)建方程組求解即可．
（1）
證明：如圖：作于G， 則，
∵，，
∴，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵，的外角平分線交于點(diǎn)A，
∴，，
∴，
∴四邊形ABCD為正方形．
（2）
解：∵四邊形ABCD為正方形，
，
在和中，
∴
∴，
同理可得：
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∵，∴，
在中，由勾股定理可得：，解得：
∴DN的長(zhǎng)為．
（3）
解：①如圖所示：把△PFH沿PF翻折得△PFD，把△PEH沿PE翻折得△PEM，延長(zhǎng)DF、ME交于點(diǎn)G，
由（l）（2）得：四邊形PMGD是正方形，ME+DF=FE，ME=HE=4，DF=HF，
∴MG=DG=MP=PH=12，
∴GE=MG=ME=8，
設(shè)FH=DF=a，則EF=4+a，F(xiàn)G=12-a，
在Rt△GFE中，由勾股定理得：（12-a）2+82=（4+a）2，解得：a=6，即HF=6；
②當(dāng)△PFE是鈍角三角形時(shí)，過(guò)P作PT⊥PF交EF延長(zhǎng)線于T，如圖所示：
則∠TPF=90°-45°=45°，由①得：TH=6，
∴
設(shè)HF=x，PE=y，則TF=x+6，
∵△PTF的面積=（x+6）×12=，
∴，即
在Rt△PFH中，由勾股定理得：y2=122+x2，
由、y2=122+x2，可得：（x-24）2=0，解得x=12，
∴HF=24；
綜上所述，HF的長(zhǎng)為6或24．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定、翻折變換的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)、綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
23．(本題8分)如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，A、B為格點(diǎn)，M為與網(wǎng)格橫線的交點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，在給定的網(wǎng)格中依次完成下列畫圖，過(guò)程線用虛線，結(jié)果線用實(shí)線．
(1)在圖1中找格點(diǎn)C、D，使四邊形是菱形；
(2)在圖1中畫點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；
(3)在圖2中找格點(diǎn)C，使四邊形為矩形；
(4)在圖2中畫的垂直平分線．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，將線段向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度的到線段，連接，即可得到菱形；
（2）連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
（3）作以，為邊的正方形，再構(gòu)造矩形即可；
（4）取正方形的邊和的中點(diǎn)，連接兩個(gè)中點(diǎn)形成的直線即為的垂直平分線．
【詳解】（1）解：由勾股定理得：，
將線段向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度的到線段，連接，即可得到菱形，如圖所示：
（2）解：連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，如圖所示：
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
即：點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)；
（3）解：作以，為邊的正方形，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則矩形，即為所求，如圖所示：
（4）如圖，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則為正方形的邊和的中點(diǎn)，連接形成的直線即為的垂直平分線．如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為的中點(diǎn)，
同法可得：為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
設(shè)與交于點(diǎn)，則：四邊形為矩形，
∴，
∴是的中垂線．
【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)刻度直尺作圖．同時(shí)考查了菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
24．(本題8分)某廠家接到定制5400套防護(hù)服任務(wù)，可以選擇甲、乙兩條流水線中的一條承擔(dān)此任務(wù)，已知乙流水線每天比甲流水線多加工90套防護(hù)服，甲流水線加工這批防護(hù)服所花的時(shí)間比乙流水線多10天，且甲、乙兩條流水線每天的生產(chǎn)成本分別為0.6萬(wàn)元與0.8萬(wàn)元，問(wèn)廠家選擇哪條流水線可使生產(chǎn)成本較小？為什么？
【答案】乙流水線成本較小，因?yàn)榧琢魉€成本18萬(wàn)元，乙流水線成本16萬(wàn)元
【分析】設(shè)甲流水線每天加工x套防護(hù)服，則乙流水線每天加工套防護(hù)服，再根據(jù)“甲流水線加工這批防護(hù)服所花的時(shí)間比乙流水線多10天”求得甲、乙每天的生產(chǎn)量，再分別求出甲、乙的生產(chǎn)成本，最后比較即可解答．
【詳解】解：設(shè)甲流水線每天加工x套防護(hù)服，則乙流水線每天加工套防護(hù)服，
則，解得：或
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的根，且符合題意；不符合題意舍去，
則乙流水線每天加工270套防護(hù)服
所以甲需要天，乙需要天，
所以甲、乙兩條流水線每天的生產(chǎn)成本分別為18萬(wàn)元和16萬(wàn)元．
所以乙流水線成本較?。?br>【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．
25．(本題8分)閱讀下列兩則材料，回答問(wèn)題：
材料一：我們將與稱為一對(duì)“對(duì)偶式”因?yàn)?，所以?gòu)造“對(duì)倆式”相乘可以有效地將和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：，
材料二：如圖，點(diǎn)，點(diǎn)，以AB為斜邊作，則，于是，，所以.反之，可將代數(shù)式的值看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離.
例如：=．
所以可將代數(shù)式的值看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離．
利用材料一，解關(guān)于x的方程：，其中；
利用材料二，求代數(shù)式的最小值，并求出此時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍；
將所得的y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍代入中解出x，直接寫出x的值．
【答案】（1）；（2）①，；②.
【分析】根據(jù)理解材料一的內(nèi)容進(jìn)行解答，比對(duì)這題很容易解決．
中把根式下的式子轉(zhuǎn)化成平方平方的形式，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到點(diǎn)的距離問(wèn)題，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短，所以當(dāng)三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)距離最短，可以求出最小值和函數(shù)關(guān)系式
中也根據(jù)材料二的內(nèi)容來(lái)解答求出x的值．
【詳解】根據(jù)材料一；
,
，
，
,
,
解得：,
；
解：由材料二知：
，
，
可將的值看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離
的值看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
∴
，
當(dāng)代數(shù)式取最小值，
即點(diǎn)與點(diǎn)，在同一條直線上，并且點(diǎn)位點(diǎn)的中間，
的最小值
=，
且，
設(shè)過(guò)，，的直線解析式為：
，
解得：，
；
中，
，
(ⅰ),
又
(ⅱ)
由(ⅰ)得：，
解得：舍， ，
的值為.
【點(diǎn)睛】本題是材料閱讀題，屬于新定義題，理解新定義的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
26．(本題10分)某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)y＝的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完成：
(1)下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)直接寫出m，n的值：m＝_______；n＝_______．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表格中的對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的一些點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)倜璩銎渌狞c(diǎn)并畫出函數(shù)圖象；
(3)通過(guò)觀察函數(shù)圖象，小明發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象形狀相同，是軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)直接寫出該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的表達(dá)式：_______；
(4)當(dāng)－2≤x≤時(shí)，關(guān)于x的方程kx＋3＝有實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)y=x，y=－x+2
(4)或
【分析】（1）當(dāng)x=﹣1求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值，當(dāng)y=3時(shí)求出對(duì)應(yīng)x的值即可；
（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和軸對(duì)稱的概念即可解答；
（4）根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況即可解答．
【詳解】（1）x=﹣1時(shí)，y=，
∴m=．
當(dāng)y=3時(shí)，則3=，解得x=，
∴n=，
故答案為，；
（2）函數(shù)圖象如圖所示：
（3）該函數(shù)的圖象關(guān)于y=x，y=－x+2成軸對(duì)稱；
（4）如圖：
當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)y=kx+3過(guò)點(diǎn)（-2，），
∴將點(diǎn)（-2，）代入y=kx+3中得；
=-2k+3，解得k=
當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=kx+3過(guò)點(diǎn)（，-1），
∴將點(diǎn)（，-1）代入y=kx+3中得；
-1=k+3，解得k=-8．
∴k的取值范圍：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件、反比例函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱以及運(yùn)用函數(shù)圖像解不等式，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．
被抽樣學(xué)生參加的活動(dòng)項(xiàng)目數(shù)量
人數(shù)
所占比例
參加一項(xiàng)活動(dòng)
57
0.38
參加兩項(xiàng)活動(dòng)
a
0.30
參加三項(xiàng)活動(dòng)
30
0.20
參加四項(xiàng)活動(dòng)
12
0.08
參加五項(xiàng)活動(dòng)
6
0.04
x
－2
－1
0
n
2
3
4
y
m
0
－1
－3
5
3
2

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