期末難點特訓(xùn)（四）和分式的計算有關(guān)的難題-【微專題】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練（蘇科版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知兩個多項式，，x為實數(shù)，將A、B進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：
①若A+B=10，則；
②，則x需要滿足的條件是；
③，則關(guān)于x的方程無實數(shù)根；
④若x為正整數(shù)()，且為整數(shù)，則1，2，4，5．
上面說法正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】利用可求出，故①錯誤；對分情況討論可知②正確；若，則或，利用根的判別式可知，時，方程無解，故③正確；由為整數(shù)，可得是整數(shù)，可求出，2，4，5，故④正確．
【詳解】解：∵，，
∴①當(dāng)時，則，解得：，故①錯誤；
②當(dāng)，則，
當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)，，解得：；
當(dāng)，，解得：（舍去）；
綜上所述：，故②正確；
③若，則或，
當(dāng)時，，，無解；
當(dāng)時，，，無解；
∴，關(guān)于x的方程無實數(shù)根；故③正確；
④∵，
若為整數(shù)，則是整數(shù)，
∵x為正整數(shù)()，解得：，2，4，5，故④正確；
∴正確的有②③④
故選：C
【點睛】本題考查分式的化簡，含絕對值的一元一次方程的求解，根的判別式，能夠正確解方程是解題的關(guān)鍵．
2．已知a1、a2、a3、an，… (n為正整數(shù))滿足an+1＝，則下列說法：
①a1a2a3＝1；
②a5＝a20；
③若a1＝﹣，則＝912m+586n；
④若a1＝x，y＝pa1a3﹣ (p為非零常數(shù))，當(dāng)x的值取m2和2m﹣2時，y的值相同；
則p的最小值為﹣3；其中正確的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】由所給的式子分別求出，，a4＝a1，從而確定式子的循環(huán)規(guī)律，并得到a1a2a3＝﹣1；再進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①，，
∴a1a2a3＝﹣1，故①不正確；
②，
∴每3個結(jié)果循環(huán)一次，
∵20÷3＝6…2，5÷3＝1…2，
∴a5＝a20，故②正確；
③∵a1＝﹣，
∴a2＝，a3＝3，
∴a1+a2+a3＝，
∴a1m+a2m+?+a864m+a865n+a866n+?+a1421n
＝m(a1+a2+?+a864)+n(a865+?+a1421)
＝m(×288)+n(×186﹣3)
＝912m+586n，故③正確；
④y＝pa1a3﹣＝pa1a3﹣＝p×﹣，
∵a1＝x，
∴a2＝，
∴y＝p(x﹣1)﹣x2，
∵當(dāng)x的值取m2和2m﹣2時，y的值相同，
∴p(m2﹣1)﹣m4＝p(2m﹣2﹣1)﹣(2m﹣2)2，
解得p＝(m+1)2﹣3，
∴當(dāng)m＝﹣1時，p有最小值為﹣3，故④正確；
綜上分析可知，②③④正確．
故選：C．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的式子，探索出式子的循環(huán)規(guī)律，并得到a1a2a3＝﹣1是解題的關(guān)鍵．
3．已知，則分式__________．
【答案】
【分析】首先把兩邊同時乘以，可得，進(jìn)而可得，然后再利用代入法求值即可．
【詳解】解：∵，
∴ ，
∴，
∴
故答案為：
【點睛】此題主要考查了分式化簡求值，關(guān)鍵是掌握代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．
4．新定義：任意兩數(shù)m，n，按規(guī)定得到一個新數(shù)y，稱所得新數(shù)y為數(shù)m，n的“愉悅數(shù)”．則當(dāng)，，且m，n的“愉悅數(shù)”y為正整數(shù)時，正整數(shù)x的值是______．
【答案】2
【分析】根據(jù)“愉悅數(shù)”的定義，將m、n代入得到一個關(guān)于x的方程，然后再求解即可．
【詳解】解：當(dāng)，，且m，n的“愉悅數(shù)”＞0
化簡得：＞0
∵x是正整數(shù)
∴x-1＞0
即：
解得：
∵x是正整數(shù)
∴x=2．
故答案是2．
【點睛】本題主要考查運(yùn)用二次函數(shù)解不等式、分式的混合運(yùn)算等知識點，正確運(yùn)用二次函數(shù)解不等式成為解答本題的關(guān)鍵．
5．11月份以來，重慶疫情形勢不容樂觀，山城人民眾志成城，抗擊疫情．某物流公司為保證居民正常生活，將派大中小三種車型為甲、乙兩個小區(qū)配送物資．大中小三種車型每輛車每趟配送的物資數(shù)量比為，每種車型每小時跑的趟數(shù)之比為．經(jīng)兩個小區(qū)的物業(yè)反饋發(fā)現(xiàn)乙小區(qū)的總物資數(shù)量是甲小區(qū)總物資數(shù)量的1.1倍，所有工人用9小時給甲小區(qū)送完物資后，計劃將其中2輛大車和3輛中型車換成小車，發(fā)現(xiàn)給乙小區(qū)配送完物資也是9小時，因時間緊迫，實際運(yùn)送物資時公司又額外派了若干輛大車（派送大車不超過20輛），最終乙小區(qū)完成的時間也是整數(shù)，則額外派送的大車是___________輛．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題干條件，設(shè)派大車a輛，中型車b輛，小車c輛，每輛小車配送物資x噸，大車每小時跑的次數(shù)為y次，然后列出等量關(guān)系，整理計算；最后用列舉法找出符合題意的值．
【詳解】解：設(shè)大車a輛，中型車b輛，小車c輛，每輛小車配送物資x噸，大車每小時跑的次數(shù)為y次，
則：
整理得：，
即甲地需物資為：
設(shè)增加大車n輛，則每小時運(yùn)送物資為
即為整數(shù)，整理得為整數(shù)，
∵
解得
故答案為：．
【點睛】本題考查方程的應(yīng)用和整數(shù)解問題，利用方程找到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．韋達(dá)是法國杰出的數(shù)學(xué)家，其貢獻(xiàn)之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系，如一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，則方程可寫成，即，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系：．設(shè)一元三次方程三個非零實數(shù)根分別，現(xiàn)給出以下結(jié)論：
①，②；③；④，其中正確的是__________（寫出所有正確結(jié)論的序號）．
【答案】①③
【分析】仿照題意所給的方法，得到原方程為，由此求解即可．
【詳解】解；∵一元三次方程三個非零實數(shù)根分別，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴①③正確，②不正確；
∵
，
∴④不正確，
故答案為：①③．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡，多項式乘法的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
7．已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求的值．
【答案】﹣8
【分析】觀察已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，可以發(fā)現(xiàn)，看成關(guān)于x的方程x2+2x﹣1=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系和方程解得定義可得到，b4=2b2+1，然后代入所求的代數(shù)式化簡即可．
【詳解】解：∵b4﹣2b2﹣1=0，
∴b≠0
∴兩邊除以（﹣b4）得：
∵1﹣ab2≠0，
∴，
又∵a2+2a﹣1=0，
∴把，看成關(guān)于x的方程x2+2x﹣1=0的兩根，
∴，b4=2b2+1，
∴a=﹣b2
∴
=
=
=﹣8．
【點睛】此題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是求出a與b2的關(guān)系，然后把代數(shù)式化簡成為常數(shù)即可求值．
8．已知，，，求的值．
【答案】
【分析】先根據(jù)完全平方公式得到，進(jìn)一步推出，由得到，進(jìn)而推出，同理可得，
，由此代入所求式子中并化簡得到，由此即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值問題，完全平方公式，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點，靈活運(yùn)用有關(guān)公式將所給的代數(shù)式恒等變形，準(zhǔn)確化簡．
9．已知：，．
(1)當(dāng)時，判斷與0的關(guān)系，并說明理由；
(2)設(shè)時，若是正整數(shù)，求的正整數(shù)值．
【答案】(1)當(dāng)時，
(2)若是正整數(shù)，的正整數(shù)值是12或15．
【分析】（1）先求出的值，再根據(jù)當(dāng)時，，，即可得出；
（2）先求出的值，再根據(jù)和都是正整數(shù)，得出的取值，進(jìn)一步得到的取值，然后分類討論，即可得到的正整數(shù)值．
【詳解】（1）當(dāng)時，，
理由如下：
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
∴，，
∴
（2）∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵和都是正整數(shù)，
∴是正整數(shù)，
∴可取4，8，
當(dāng)時，，，
∴，
當(dāng)時，，，
∴，
綜上所述：當(dāng)是正整數(shù)，的正整數(shù)值是12或15．
【點睛】本題考查了分式的加減，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則，求出的值和的正整數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
10．兩港之間的距離為千米．
(1)若從港口到港口為順流航行，且輪船在靜水中的速度比水流速度快千米時，順流所用時間比逆流少用小時，求水流的速度；
(2)若輪船在靜水中的速度為千米時，水流速度為千米時，該船從港順流航行到港，再從港逆流航行返回到港所用的時間為；若輪船從港航行到港再返回到港均為靜水航行，且所用時間為，請比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)水流的速度為千米/時
(2)，理由見解析
【分析】（1）設(shè)水流的速度為千米/時，則輪船在靜水中的速度為千米時，利用時間差列出分式方程，解方程即可求解．
（2）根據(jù)題意，分別表示出與，根據(jù)分式的減法計算，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)水流的速度為千米/時，則輪船在靜水中的速度為千米時，根據(jù)題意得，
，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
答：水流的速度為千米/時；
（2）解：依題意，
∵，，
∴
即．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，分式減法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程與代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
11．我們要學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界．例如生活經(jīng)驗：
（1）往一杯糖水中再加入一點糖，糖水就變甜了．這一生活經(jīng)驗可以轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)問題：a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的含糖量我們可以記為（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此時糖水的含糖量變大了，
①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；
A． B． C．
②請證明你選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系式是正確的．
（2）再如：矩形的面積為S（S為定值），設(shè)矩形的長為x，則寬為，周長為2，當(dāng)矩形為正方形時，周長為，“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”這一結(jié)論，
①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；
A． B． C．
②請證明你選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系式是正確的．（友情提示：，）
【答案】（1）①A；②見解析；（2）①A；②見解析
【分析】（1）①根據(jù)題意直接進(jìn)行選擇即可；②利用作差法進(jìn)行證明即可；
（2）①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；②利用完全平方式及不等式進(jìn)行證明即可
【詳解】（1）①由題意可知用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為：，
故選：A；
②證明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）①A
②證明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【點睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是寫出相應(yīng)的式子，會用作差比較法比較兩個式子的大?。?br>12．已知，k為正實數(shù)．
（1）當(dāng)k＝3時，求x2的值；
（2）當(dāng)k＝時，求x﹣的值；
（3）小安設(shè)計一個填空題并給出答案，但被老師打了兩個“×”小安沒看懂老師為什么指出兩個錯誤？如果你看懂了，請向小安解釋一下．
【答案】（1）5；（2）±；（3）見解析
【分析】（1）根據(jù)代入可得結(jié)果；
（2）先根據(jù)，計算的值，再由即可求解；
（3）由可知題目錯誤，由錯誤題目求解可以得出結(jié)果錯誤．
【詳解】解：（1）當(dāng)時，，
；
（2）當(dāng)時，，
，
；
（3）由題可知x>0，∴，
∵
不能等于，
即使當(dāng)時，，
的值也不對；
題干錯誤，答案錯誤，故老師指出了兩個錯誤．
【點睛】此題考查了完全平方公式的運(yùn)用．將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．
13．定義：若兩個分式的和為（為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“階分式”，例如分式與互為“3階分式”.
（1）分式與互為“5階分式”；
（2）設(shè)正數(shù)互為倒數(shù)，求證：分式與互為“2階分式”；
（3）若分式與互為“1階分式”（其中為正數(shù)），求的值.
【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)分式的加法，設(shè)所求分式為A，然后進(jìn)行通分求解即可；
（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x，y進(jìn)行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解；
（3）根據(jù)1階分式的要求對兩者相加進(jìn)行分式加法化簡，通過通分化簡即可得解.
【詳解】（1）依題意，所求分式為A，即：，
∴；
（2）∵正數(shù)互為倒數(shù)
∴，即
∴
∴分式與互為“2階分式”；
（3）由題意得，等式兩邊同乘
化簡得：
即：
∴，即
∴或0
∵為正數(shù)
∴.
【點睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運(yùn)算知識是解決此類問題的關(guān)鍵.
14．閱讀下列材料：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，如：．當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，如：．假分式可以化為整式與真分式和的形式，我們也稱之為帶分式，如：．
解決問題：
（1）下列分式中屬于真分式的是（）
A． B． C． D．
（2）將假分式分別化為帶分式；
（3）若假分式的值為整數(shù)，請直接寫出所有符合條件的整數(shù)x的值．
【答案】（1）C；
（2），；
（3）x可能的整數(shù)值為0，-2，-4，-6.
【分析】（1）根據(jù)真分式的定義，即可選出正確答案；
（2）利用題中的方法把分子分別變形為和，然后寫成帶分式即可；
（3）先把分式化為帶分式，然后利用有理數(shù)的整除性求解．
【詳解】（1）A.分子的次數(shù)為2，分母的次數(shù)為1，所以錯誤；
B. 分子的次數(shù)為1，分母的次數(shù)為1，故錯誤；
C. 分子的次數(shù)為0，分母的次數(shù)為1，故正確；
D. 分子的次數(shù)為2，分母的次數(shù)為2，故錯誤；
所以選C；
（2），
，
（3）
∵該分式的值為整數(shù)，
∴ 的值為整數(shù)，
所以x+3可取得整數(shù)值為±3，±1，
x可能的整數(shù)值為0，-2，-4，-6.
【點睛】本題主要考查分式的性質(zhì)，要結(jié)合分式的基本性質(zhì)依照題目中的案例，會對分式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?（1）根據(jù)真分式的定義判斷即可；（2）可借助平方差公式，先給x2減1再加1，將它湊成平方差公式x2-1=（x+1）（x-1）；（3）需將假分式等量變形成帶分式，然后對取整.
15．觀察下列等式：
第一個等式：a1＝；
第二個等式：a2＝；
第三個等式：a3＝；
第四個等式：a4＝．
按上述規(guī)律，回答問題：
（1）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an＝＝；
（2）計算：a1+a2+a3+???+a9．（要求計算出最后結(jié)果）
【答案】（1），；（2）.
【詳解】試題分析：（1）分析已經(jīng)給出的等式特點，直接寫出an即可；（2）先計算出a1+a2+a3+???+an的和，再將n=9代入即可.
試題解析：
（1）an==－；
（2）a1+a2+a3+???+an=－+－+－+…+－=－，
a1+a2+a3+???+a9=－=.
點睛：本題首先根據(jù)題目中已知的等式找出規(guī)律，寫出an，求和的時候采用裂項相消的方法.
16．如果兩個分式M與N的和為常數(shù)k，且k正整數(shù)，則稱M與N互為“和整分式”，常數(shù)k稱為“和整值”．如分式，，，則M與N互為“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判斷A與B是否互為“和整分式”，若不是，請說明理由；若是，請求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C與D互為“和整分式”，且“和整值”，若x為正整數(shù)，分式D的值為正整數(shù)t．
①求G所代表的代數(shù)式；
②求x的值；
(3)在（2）的條件下，已知分式，，且，若該關(guān)于x的方程無解，求實數(shù)m的值．
【答案】(1)A與B是互為“和整分式”， “和整值”；
(2)①；②
(3)的值為：或．
【分析】（1）先計算，再根據(jù)結(jié)果可得結(jié)果；
（2）①先求解，結(jié)合新定義可得，從而可得答案；②由，且分式D的值為正整數(shù)t．x為正整數(shù)，可得或，從而可得答案；
（3）由題意可得：，可得，整理得：，由方程無解，可得或方程有增根，再分兩種情況求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴

．
∴A與B是互為“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴

∵C與D互為“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值為正整數(shù)t．x為正整數(shù)，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由題意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程無解，
∴或方程有增根，
解得：，
當(dāng)，方程有增根，
∴，
解得：，
綜上：的值為：或．
【點睛】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，分式的加減運(yùn)算，分式方程的解法，分式方程無解問題，理解題意是解本題的關(guān)鍵．
17．閱讀理解：
材料1：為了研究分式與其分母x的數(shù)量變化關(guān)系，小力制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：
從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)時，隨著的增大，的值隨之減小，若無限增大，則無限接近于0；當(dāng)時，隨著的增大，的值也隨之減?。?br>材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：
根據(jù)上述材料完成下列問題：
(1)當(dāng)時，隨著的增大，的值 (增大或減小)；當(dāng)時，隨著的增大，的值（增大或減?。?；
(2)當(dāng)時，隨著的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；
(3)當(dāng)時，直接寫出代數(shù)式值的取值范圍是．
【答案】(1)減小，減小
(2)當(dāng)時，無限接近于2
(3)
【分析】（1）根據(jù)的變化情況，判斷、值得變化情況即可；
（2）根據(jù)材料由即可求解；
（3）由，配合即可求解．
【詳解】（1）解：∵當(dāng)時，隨著的增大，的值隨之減小，
∴隨著的增大，的值隨之減小；
∵當(dāng)時，隨著的增大，的值也隨之減小，
∴隨著的增大，的值隨之減小，
故答案為：減??；減??；
（2）解：∵
∵當(dāng)時，的值無限接近于0，
∴當(dāng)時，無限接近于2；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．
18．如果一個自然數(shù)M各個數(shù)位均不為0，且能分解成，其中A和B都是兩位數(shù)，且A十位比B的十位數(shù)字大1，A和B的個位數(shù)字之和為9，則稱M為“九九歸一數(shù)”，把M分解成的過程稱為“九九歸一分解”．
例如：∵，，，∴368是“九九歸一數(shù)”；
∵，，，∴1632不是“九九歸一數(shù)”．
(1)判斷378和297是否是“九九歸一數(shù)”？并說明理由；
(2)把一個“九九歸一數(shù)”M進(jìn)行“九九歸一數(shù)分解”，即為，A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為；A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的差記．且能被5整除，求出所有滿足條件的自然數(shù)M．
【答案】(1)378是“九九歸一數(shù)”，297不是“九九歸一數(shù)”，理由見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)“九九歸一數(shù)”的定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）設(shè)，則：，進(jìn)而求出和，利用能被5整除，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：378是“九九歸一數(shù)”； 297不是“九九歸一數(shù)”；理由如下：
∵，，，
∴378是“九九歸一數(shù)”；
∵，，，
∴297不是“九九歸一數(shù)”；
（2）解：設(shè)，則：，
∴，，
∴，
∵能被5整除，
∴是5的倍數(shù)，
∵為小于的正整數(shù)，
∴當(dāng)，時，，符合題意；此時：，；
當(dāng)，時：，符合題意；此時：，；
當(dāng)，時：，符合題意；此時：，；
當(dāng)，時：，符合題意；此時：，；
綜上，滿足題意的條件的自然數(shù)為：．
【點睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，整式的運(yùn)算以及分式的運(yùn)算．理解并掌握“九九歸一數(shù)”，以及“九九歸一分解”是解題的關(guān)鍵．
19．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．
(1)下列分式：①；②；③，其中是“和諧分式”的是（填寫序號即可）；
(2)若為整數(shù)，且為“和諧分式”，寫出滿足條件的的值為；
(3)在化簡時，小明和小娟分別進(jìn)行了如下三步變形：
小明：原式，
小娟：原式，
你比較欣賞誰的做法？先進(jìn)行選擇，再根據(jù)你的選擇完成化簡過程，并說明你選擇的理由．
【答案】(1)②
(2)或5
(3)我欣賞小娟的做法，見解析
【分析】（1）根據(jù)和諧分式的定義判斷即可得出答案；
（2）根據(jù)完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；
（3）小娟利用了和諧分式，通分時找到了最簡公分母，完成化簡即可．
【詳解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合題意；
②分母可以因式分解，且這個分式不可約分，符合題意；
③這個分式可以約分，不符合題意；
故答案為：②；
（2）解：將分母變成完全平方公式得：，此時；
將分母變形成，此時；
故答案為：或5；
（3）我欣賞小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和諧分式，通分時找到了最簡公分母．
（3）解：我欣賞小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和諧分式，通分時找到了最簡公分母．
【點睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握在分式的混合運(yùn)算中，能因式分解的多項式要分解因式，便于約分．
20．小明在一次數(shù)學(xué)活動中發(fā)現(xiàn)，可以用一刀將下圖所示的直角三角形ABC裁剪為兩部分，然后將這兩部分拼成一個矩形．
(1)請你直接在圖1上畫出小明的方法，并簡要說明畫法；
(2)在小明研究的基礎(chǔ)上，小亮又發(fā)現(xiàn)對任意三角形而言只要兩刀將其裁剪后，也可以拼成一個矩形，并且裁剪的方法不同，所拼成的矩形也不同．
①請你在圖2中畫出兩種不同的裁剪拼接方法；
②若三角形三邊BC、AC、AB分別為，試說明當(dāng)所拼成矩形一邊分別為BC、AC、AB邊時，哪一種拼法的周長最大？
(3)能否將一個任意四邊形裁剪后拼成一個矩形？若能，最少裁幾刀？畫圖說明即可．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)①畫圖見解析；②以BC為邊時，拼法的周長最大．
(3)最小裁剪3刀，畫圖見解析．
【分析】（1）如圖，沿直角三角形ABC的中位線DF裁剪即可，理由：延長DF至Q，使DF=QF，連接CQ，證明可得四邊形是矩形即可．
（2）①第一種方法：如圖， F為垂足，則中位線DE，線段AF為裁剪線．第二種方法：如圖，D，E分別為中點，垂足為則DL，EK為裁剪線．②設(shè)的面積為S，再分別表示三種情況下的矩形的周長，再作差比較大小即可．
（3）如圖，取四邊形的四邊中點O，M，N，P，連接ON，過M作過P作垂足分別為Q，R，則ON，MQ，PR為裁剪線，再拼接即可．
(1)
解：如圖，沿直角三角形ABC的中位線DF裁剪即可，
理由：延長DF至Q，使DF=QF，連接CQ，
為的中點，
而

而

為的中位線，

∴四邊形是平行四邊形，而
∴四邊形是矩形．
(2)
①第一種方法：如圖， F為垂足，則中位線DE，線段AF為裁剪線．
第二種方法：如圖，D，E分別為中點，
垂足為
則DL，EK為裁剪線．
②如圖，矩形以BC為邊時，其中延長AF交BC于K，則，
由

而
即為BC上的高的長度，

同理：矩形以AC為邊時，周長為矩形以AB為邊時，周長為：
，
即
即而

同理
∴以BC為邊時，拼法的周長最大．
(3)
能，如圖，
∴最小裁剪3刀．
【點睛】本題考查的是動手實際操作，矩形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，對學(xué)生的要求較高，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中位線的性質(zhì)找到裁剪的思路．
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無意義
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