1、伯努利試驗：我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；
2、定義：將一個伯努利實驗獨立地重復(fù)進行次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利實驗；
3、特征：（1）同一個伯努利實驗重復(fù)做n次；（2）各次試驗的結(jié)果相互獨立。
二、二項分布
1、二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為，.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～，且有，.
注：n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式分別是
與.
2、確定一個二項分布模型的步驟
（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；
（2）確定重復(fù)試驗的次數(shù)，并判斷各次試驗的獨立性；
（3）設(shè)的次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，則
3、二項分布的增減性與最大值
記，則當(dāng)時，，pk遞增；當(dāng)時，，遞減.
故最大值在時取得（此時，兩項均為最大值；
若非整數(shù)，則k取的整數(shù)部分時，最大且唯一）.
三、超幾何分布
定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為，，，，，. 其中n，N，，，，，.
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布..
題型一 n重伯努利試驗
【例1】（2022·高二課時練習(xí)）重伯努利試驗應(yīng)滿足的條件：
①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果；
③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的．
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【解析】只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，
將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗，
故重伯努利試驗應(yīng)滿足的條件：
①各次試驗之間是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結(jié)果；
③各次試驗成功的概率是相同的；故選：C
【變式1-1】（2022·高二課時練習(xí)）下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲?乙兩名運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲?乙兩名運動員各射擊一次，“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次5次擊中目標(biāo).其中是獨立重復(fù)試驗的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；
②是相互獨立事件；
④是獨立重復(fù)試驗；
所以只有④符合題意，故選：D.
【變式1-2】（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）一個n重伯努利試驗的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若事件A“試驗成功”的概率為，則事件A在第k次實驗中才首次發(fā)生的概率為
B．集合A內(nèi)的元素個數(shù)不確定
C．用X表示事件B：“得到”發(fā)生的次數(shù)，p為事件B發(fā)生的概率，則
D．該n重伯努利實驗共做了n次互相獨立的實驗
【答案】B
【解析】對于A，事件A“試驗成功”的概率為，
則事件A在第k次實驗中才首次發(fā)生的概率為，故A正確；
對于B，一個n重伯努利試驗的所有結(jié)果構(gòu)成合A，
所以集合A內(nèi)的元素個數(shù)為，所以B不正確；
對于C，由二項分布的知識可知，在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生4次的概率為：
，故C正確；
對于D，該n重伯努利實驗共做了n次互相獨立的實驗，故D正確.故選：B.
【變式1-3】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有3個小組，每組3人，每人投籃1次，投中的概率均為，若1個小組中至少有1人投中，則稱該組為“成功組”，則這3個小組中恰有1個“成功組”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1個小組是“成功組”的概率為,
則這3個小組中恰有1個“成功組”的概率為.故選：B．
題型二 服從二項分布的概率最值
【例2】（2022春·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）若，則取得最大值時，（ ）
A．4或5 B．5或6 C．10 D．5
【答案】D
【解析】因為，所以，
由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時取得最大值，
即取得最大值，所以；故選：D
【變式2-1】（2022春·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因為 ，若最大，
則 ，化簡得： ， .
代入已知數(shù)值得： ，所以 時最大.故選：C.
【變式2-2】（2022春·廣東云浮·高二統(tǒng)考期末）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，
因為，所以，
整理得，即，
又，且，所以，故選：B
【變式2-3】（2022·高二單元測試）某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：
以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為，
設(shè)隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為，
則，其中，，
當(dāng)時，由，
得，化簡得，解得，
又，∴，
∴這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是4.故選：C.
題型三 求二項分布的分布列
【例3】（2022春·福建福州·高二福州三中?？计谀榱吮Ｕ衔覈癖姷纳眢w健康，產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為，
易知的取值范圍為，
設(shè)表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則，
所以，，
所以，
，
，
故.故選：C.
【變式3-1】（2022春·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谀┠硨W(xué)校高三年級有400名學(xué)生參加某項體育測試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級學(xué)生中隨機抽取一人，估計該學(xué)生不及格的概率；
（2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)在為“良好”，為“優(yōu)秀”.用頻率估計概率，從該校高三年級隨機抽取三人，記該項測試分?jǐn)?shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）0.1；（2）分布列見解析，期望為0.9.
【解析】（1）設(shè)“不及格”為事件A,則“及格”為事件
∴，
故該學(xué)生不及格的概率為0.1.
（2）設(shè)“樣本中“良好”或“優(yōu)秀”為事件B,則
依題意可知：
,，
，
所以,X的分布列為
【變式3-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）一個暗箱里放著6個黑球?4個白球.
（1）依次取出3個球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3個球，求取到白球個數(shù)的分布列和均值.
【答案】（1）；（2）分布列見解析，
【解析】（1）設(shè)事件為“第1次取出的是白球”，
事件為“第3次取到黑球”，；
（2）設(shè)事件為“取一次球，取到白球”，
則，這3次取球結(jié)果互不影響，
則，所以，
其分布列為：
.
【變式3-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）中國職業(yè)男籃CBA總決賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽就此結(jié)束.現(xiàn)甲、乙兩支球隊進行總決賽，因兩隊實力相當(dāng)，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為.據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入400萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加100萬元.
（1）求總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率；
（2）設(shè)總決賽中獲得門票總收入為，求的數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為400，公差為100的等差數(shù)列.
設(shè)此數(shù)列為，則易知，，所以.
解得或（舍去），所以此決賽共比賽了5場.
則前4場比賽的比分必為，且第5場比賽為領(lǐng)先的球隊獲勝，
其概率為.
所以總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率為.
（2）隨機變量可取的值為，，，，即2200，3000，3900，4900，
，，
，，
所以的分布列為
所以.
題型四 求超幾何分布的概率
【例4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．故選：D．
【變式4-1】（2022秋·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組共12人，其中有5名是“三好學(xué)生”，現(xiàn)從該小組中任選5人參加競賽，用ξ表示這5人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得
∵，，，
∴，
，故選：B.
【變式4-2】（2022春·陜西延安·高二?？茧A段練習(xí)）從含有7件次品的20件產(chǎn)品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品個數(shù)，則表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為表示從20件產(chǎn)品中任意選取4件的選法，
表示選取的4件產(chǎn)品中有3件次品，1件正品的選法
表示選取的4件產(chǎn)品全是次品的選法.
所以故選:D.
【變式4-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數(shù)為X，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】X可能取1，2，3，其對應(yīng)的概率為
，，，
∴．故選：A
題型五 求超幾何分布的分布列
【例5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某運動品牌旗艦店在雙十一線下促銷期間，統(tǒng)計了5個城市的專賣店銷售數(shù)據(jù)如下：
（1）若分別從甲?乙兩家店的銷售數(shù)據(jù)記錄中各抽一條進行追蹤調(diào)查，求抽中的兩條記錄中至少有一次購買的是男裝的概率；
（2）現(xiàn)從這5家店中任選3家進行抽獎活動，用表示其中男裝銷量超過女裝銷量的專賣店個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見解析，
【解析】（1）從甲?乙兩家店的銷售數(shù)據(jù)記錄中各抽一條，
抽中購買的是男裝的概率分別為，
故抽中的兩條記錄中至少有一次購買的是男裝的概率.
（2）這5家店中男裝銷量超過女裝銷量的專賣店有丁、戊，共兩家，
則的可能取值有：0，1，2，可得：
，
故的分布列為：
∴.
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某校舉辦傳統(tǒng)文化知識競賽，從該校參賽學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，競賽成績的頻率分布表如下：
（1）估計該校學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）已知樣本中競賽成績在的男生有人，從樣本中競賽成績在的學(xué)生中隨機抽取人進行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望
【解析】（1）平均數(shù)為.
（2）由題意知：樣本中競賽成績在的共有人，其中有男生人，
則所有可能的取值為，
；；；
的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
【變式5-2】（2021春·天津薊州·高二?？计谀樘岣咛旖蚴械恼w旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識競賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會的導(dǎo)游4名，其中高級導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會的導(dǎo)游5名，其中高級導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨機選擇4人參加比賽.
（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名高級導(dǎo)游，且這2名高級導(dǎo)游來自同一個旅游協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；
（2）設(shè)為選出的4人中高級導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見解析，
【解析】（1）由已知條件知，當(dāng)兩名高級導(dǎo)游來自甲旅游協(xié)會時，有種不同選法；
當(dāng)兩名高級導(dǎo)游來自乙旅游協(xié)會時，有種不同選法，
則，所以事件發(fā)生的概率為；
（2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4.
，，，
，，
所以，隨機變量的分布列為
所以，隨機變量的數(shù)學(xué)期望為（人）
【變式5-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求a的值；
（2）為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在(12，14]，(14，16]，(16，18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人.記日平均閱讀時間在(14，16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及.
【答案】（1）；（2）分布列見解析；
【解析】（1）由概率和為1得：，
解得：；
（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時間在
，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，
人，人，
由分層抽樣性質(zhì)知，從閱讀時間在中抽取5人，
從閱讀時間在中抽取4人，從閱讀時間在中抽取1人，
從該10人中抽取3人，則的可能取值為0,1,2,3，
，，，，
則的分布列為
所以用時/秒
[5，10]
(10，15]
(15，20]
(20，25]
男性人數(shù)
15
22
14
9
女性人數(shù)
5
11
17
7
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
0
1
2
3
2200
3000
3900
4900
款式/專賣店
甲
乙
丙
丁
戊
男裝
60
60
130
80
110
女裝
120
90
130
60
50
0
1
2
競賽成績
頻率
0
1
2
3
4
0
1
2
3

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