
1.理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;2.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識(shí)解決實(shí)際問題,會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值.
問題1:已知100件產(chǎn)品中有8件次品,現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.
(1):采用有放回抽樣,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎?
采用有放回抽樣,則每次抽到次品的概率為0.08,且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X~B(4,0.08).
(2):如果采用不放回抽樣,抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎?若不服從,那么X的分布列是什么?不服從,根據(jù)古典概型求X的分布列.
1.公式 中個(gè)字母的含義N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.
例1:從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.
解: 設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)(只能取0或1), 則X服從超幾何分布,且N=50,M=1,n=5. 因此,甲被選中的概率為
例2. 一批零件共有30個(gè),其中有3個(gè)不合格,隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè),求至少有1件不合格的概率.
探究1:服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?
例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球,60個(gè)白球,從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1).分別就有放回和不放回摸球,求X的分布列; (2).分別就有放回和不放回摸球,用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例,求誤差不超過0.1的概率.
解:(1)對(duì)于有放回摸球,由題意知?~?(20,0.4),?的分布列為
對(duì)于不放回摸球,由題意知?服從超幾何分布,?的分布列為
兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.
但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí),超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.
二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系
1.區(qū)別:一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系:當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.
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