問題 已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件。設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列。
思考 如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項(xiàng)分布? 如果不服從，那么X的分布列是什么?
我們知道，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)X服從二項(xiàng)分布，即X~B(4, 0.08)。
采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，各次抽取的結(jié)果不獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，因此X不服從二項(xiàng)分布。
可以根據(jù)古典概型求X的分布列。由題意可知，X可能的取值為0, 1, 2, 3, 4。由古典概型的知識(shí)，得X的分布列為：
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品. 從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為：
其中n, N, M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N-M}，r＝min{n, M}。 如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。
解：設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)，則X服從超幾何分布，且N＝50，M＝1，n＝5。因此甲被選中的概率為：
例4 從50 名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率。
解：設(shè)X表示抽取10個(gè)零件中不合格品數(shù)，則X服從超幾何分布，其分布列為：
例5 一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格。隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率。
∴至少有1件不合格的概率為：
1. 一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎(jiǎng)券的概率。
解：設(shè)抽出的2罐中有獎(jiǎng)券的罐數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而抽取2罐中有獎(jiǎng)券的概率為：
2. 學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班. 假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率。
解：設(shè)選到的4人中甲班同學(xué)的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而甲班恰有2人被選到的概率為：
證明：由X服從超幾何分布，可得X的概率分布列為：
若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則有
知識(shí)點(diǎn)2：超幾何分布的均值
當(dāng)m=0時(shí)，類似可以證明結(jié)論依然成立。
解：(1) 對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列為：
例6 一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60 個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本。用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)。 (1) 分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，X的分布列為：
解：(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示：
(2) 分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率。
因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些。
兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布，雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖(如下圖)看，超幾何分布更集中在均值附近。
二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同。對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每抽取一次后，對(duì)N的影響很小，此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似。
故這位顧客返獎(jiǎng)不少于80元的概率為
解：(1) 設(shè)“返獎(jiǎng)80元”為事件A，“返獎(jiǎng)100元”為事件B，則
3.春節(jié)期間，某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，方案是: 顧客每買滿200元可按以下方式摸球兌獎(jiǎng)，箱內(nèi)裝有標(biāo)著數(shù)字20, 40, 60, 80, 100的小球各兩個(gè)，顧客每次抽獎(jiǎng)都從這10個(gè)小球任取3個(gè)，按3個(gè)小球中最大數(shù)字等額返現(xiàn)金(單位:元)，每個(gè)小球被取到的可能性相等。(1)某位顧客買了268元的商品，求這位顧客返獎(jiǎng)不少于80元的概率；(2)若有三位顧客各買了268元的商品,求至少有兩個(gè)返獎(jiǎng)不少于80元的概率；(3)在(2)的條件下，設(shè)返獎(jiǎng)不少于80元的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望與方差。
則至少有兩個(gè)返獎(jiǎng)不少于80元的概率為:
4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)。 (1) 求X的分布列與均值； (2) 求所選3人中至多有1名女生的概率。
解：(1) 由題意可知，X服從超幾何分布，所以X分布列為
(2) 所選3人中至多有1名女生的概率為
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品. 從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為
2. 超幾何分布的均值

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7.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布

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