考法一 二項(xiàng)分布
【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.
(1)在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；
(2)若獨(dú)立進(jìn)行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)0.2
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6
【解析】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，
則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，
則.
（2）由題可知的所有可能取值為，
由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，
則，
所以，
，
故的分布列為
所以.
【一隅三反】
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰）已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進(jìn)入第二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現(xiàn)有，，三位畢業(yè)生應(yīng)聘該單位，假設(shè)，，三位畢業(yè)生筆試合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.
(1)求，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過招聘的概率；
(2)記隨機(jī)變量為，，三位畢業(yè)生中通過招聘的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）記“，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過招聘”為事件.
通過招聘的概率為，通過招聘的概率為，
∴.
即，兩位畢業(yè)生有且只有一位通過招聘的概率為.
（2）隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3.
通過招聘的概率為，
由（1）得，兩位畢業(yè)生通過招聘的概率均為.
∴，，三位畢業(yè)生通過招聘的人數(shù).
則，
，
，
，
隨機(jī)變量的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
2．（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯 ）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；
(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；
(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)，優(yōu)質(zhì)率為25%
(2)分布列見解析，1
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為，
所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為；
（2）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，
以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為，
所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)，
則，，
所以，，
，，
，
所以的分布列為
.
考法二 超幾何分布
1．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個球，其中紅球有個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為.
(1)求的值；
(2)現(xiàn)從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個球，其中紅球有個，
因?yàn)閺暮凶又腥稳?個球都是紅球的概率為，所以，所以，
所以，解得或（舍去）；
（2）由題意可能的取值為0，1，2，3，
則，，，，
故的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為.
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】分布列見解析，
【解析】由題意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以．
2．（2023上·江蘇南通·高三海門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.
(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】（1）記“一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，
可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，
所以.
（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：
，
，
可得的分布列為
所以.
3．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測）某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評價指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項(xiàng)技能的評價指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評價指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)，
(2)分布列見解析；期望為
【解析】（1）由直方圖可知，
解得．
因?yàn)椋?br>，
所以學(xué)員該項(xiàng)技能的評價指標(biāo)的中位數(shù)在內(nèi)．
設(shè)學(xué)員該項(xiàng)技能的評價指標(biāo)的中位數(shù)為，則，
解得．
（2）由題意可知抽取的12名學(xué)員中該項(xiàng)技能的評價指標(biāo)在內(nèi)的有4名，在內(nèi)的有8名．
由題意可知的所有可能取值為．
，，
，，
，
則的分布列為
考法三 二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨析
【例3-1】（2023湖南）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為
B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為
【答案】B
【解析】由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量服從超幾何分布.
故選：B.
【例3-2】（2023上海）下列例子中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的個數(shù)為（ ）
①某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)；
②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)；
③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，摸到白球時的摸球次數(shù)；
④有一批產(chǎn)品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】①滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，是二項(xiàng)分布；
②的取值是1，2，3…，，（），顯然不符合二項(xiàng)分布的定義，因此不服從二項(xiàng)分布；
③雖然是有放回地摸球，但隨機(jī)變量的定義是直到摸出白球?yàn)橹?，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項(xiàng)分布的定義；
④次試驗(yàn)是不獨(dú)立的，因此不服從二項(xiàng)分布．
所以只有1個服從二項(xiàng)分布.
故選：B．
【例3-3】（2024·天津 ）已知條件①采用無放回抽取：②采用有放回抽取，請在上述兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中橫線上并作答，選兩個條件作答的以條件①評分.
問題：在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若___________，從這7個球中隨機(jī)抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.
【答案】分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【解析】若選①，由題意，隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列為
期望；
若選②，由題意，隨機(jī)變量的可能值為0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列為：
期望.
【一隅三反】
1．（2024北京）(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有（ ）
A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X
B．從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)
C．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量X
D．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X
【答案】ABD
【解析】依據(jù)超幾何分布模型定義可知，試驗(yàn)必須是不放回地抽取次，A、B、D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.
故選：ABD
2．（2023安徽）(多選)下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是（ ）
A．運(yùn)動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲、乙兩運(yùn)動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲、乙兩運(yùn)動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)
【答案】ABC
【解析】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；
B是相互獨(dú)立事件，但是“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)” 的概率不一定相同，因此不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；
D中在相同的條件下，甲射擊10次，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
故選：ABC
3（2023上·陜西西安 ）某中學(xué)進(jìn)行校慶知識競賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)抽取4道來回答．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．
(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【解析】（1）設(shè)甲答對題目的數(shù)目為，則，
可得，
又因?yàn)椋?br>所以，.
（2）設(shè)乙答對的題目數(shù)為，可知的可能取值為0，1，2，3，4，
則，則有：
，
，
，
所以的分布列為：
4（2023云南）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案見解析；（3）答案見解析.
【解析】（1）質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．
（2）重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
（3）根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列為
考法四 二項(xiàng)分布與超幾何分布隨機(jī)變量概率最值
【例4-1】（2024上·北京豐臺 ）2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶．某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異．在某地的兩類人群中各隨機(jī)抽取20人的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計概率．
(1)當(dāng)臨界值時，求漏診率和誤診率；
(2)從指標(biāo)在區(qū)間樣本中隨機(jī)抽取2人，記隨機(jī)變量為未患病者的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記為該地診斷結(jié)果不符合真實(shí)情況的概率．當(dāng)時，直接寫出使得取最小值時的的值．
【答案】(1)，
(2)分布列見解析；期望為
(3)
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，．
（2）樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，未患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，總?cè)藬?shù)為5人．
可能的取值為0，1，2．
，，．
隨機(jī)變量的分布列為
隨機(jī)變量的期望為．
（3）由題，，
時，令
所以，關(guān)于的一次函數(shù)系數(shù)為，故單調(diào)遞增，則即時取最小值
【例4-2】（2024上·河南漯河 ）為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.
某市隨機(jī)抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：
(1)若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算某居民用電戶用電450度時應(yīng)交電費(fèi)多少元？
(2)現(xiàn)要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；
(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，記取到第一階梯電量的戶數(shù)為，當(dāng)時對應(yīng)的概率為，求取得最大值時的值.
【答案】(1)259元
(2)分布列見解析，期望為
(3)4
【解析】（1）（元）.
（2）設(shè)取到第二階梯電量的戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有4戶，
則可取0，1，2，3，4
，
，，
故的分布列為
.
（3）據(jù)題意，從全市中抽取的10戶中用電量為第一階梯的有戶，則服從二項(xiàng)分布，
可知，
（注：兩個不等式寫出一個即可.）
解得，，.
當(dāng)時用電量為第一階梯的可能性最大.
【一隅三反】
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．
(1)當(dāng)時，若發(fā)送0，則要得到正確信號，試比較單次傳輸和三次傳輸方案的概率大小；
(2)若采用三次傳輸方案發(fā)送1，記收到的信號中出現(xiàn)2次信號1的概率為，出現(xiàn)3次信號1的概率為，求的最大值．
【答案】(1)單次傳輸小于三次傳輸
(2)
【解析】（1）單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率．
三次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率．
因?yàn)?，所以要得到正確信號，三次傳輸方案的概率大．
（2）由題意得，．
記函數(shù)，
則．
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，
所以的最大值是．
2．（2024上·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┠撤N植戶對一塊地的個坑進(jìn)行播種，每個坑播粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.
(1)從 個坑中選兩個坑進(jìn)行觀察，兩坑不能相鄰，有多少種方案？
(2)對于單獨(dú)一個坑，需要補(bǔ)播種的概率是多少？
(3)當(dāng) 取何值時，有3個坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)或；
【解析】（1）先把個坑排好共個空，再把剩下的2個坑往空里放，共有種方案；
（2）一個坑需要補(bǔ)播種有兩種可能：兩粒種子不發(fā)芽和三粒種子不發(fā)芽
兩粒種子發(fā)芽的概率
三粒種子發(fā)芽的概率
所以一個坑需要補(bǔ)播種的概率
（3）3個坑要補(bǔ)播種的概率為，要想有3個坑要補(bǔ)播種概率最大，即滿足不等式組
解得：，又，所以或時，3個坑要補(bǔ)播種的概率最大，此時.
3．（2024上·北京昌平）某汽車生產(chǎn)企業(yè)對一款新上市的新能源汽車進(jìn)行了市場調(diào)研，統(tǒng)計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)求的值；
(2)該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務(wù)項(xiàng)目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目．若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評分不低于110分的人數(shù)為，問為何值時，的值最大？（結(jié)論不要求證明
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，期望6900；
(3).
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比，評分不低于110分的占比，
任選3人中其評分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，
所以可取四種情況，
，，
，，
故的分布列為：
則；
（3）由題意可知，
可知當(dāng)時取得最大值.
證明如下：設(shè)最大，即，
所以，
化簡得，因?yàn)?，?
考法五 二項(xiàng)分布與超幾何分布與其他知識的綜合
【例5】（2024上·山東日照·高二統(tǒng)考期末）普法宣傳教育是依法治國、建設(shè)法治社會的重要內(nèi)容，也是構(gòu)建社會主義和諧社會的應(yīng)有之意．為加強(qiáng)對學(xué)生的普法教育，某校將舉辦一次普法知識競賽，共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：題庫中有法律文書題和案例分析題兩類問題，每道題滿分10分．每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成法律文書題和案例分析題各2道，若有不少于3道題得分超過8分，將獲得“優(yōu)勝獎”，5輪比賽中，至少獲得4次“優(yōu)勝獎”的同學(xué)將進(jìn)入決賽．甲同學(xué)經(jīng)歷多次限時模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練題庫中隨機(jī)抽取法律文書題和案例分析題各5道，其中有4道法律文書題和3道案例分析題得分超過8分．
(1)從這10道題目中，隨機(jī)抽取法律文書題和案例分析題各2道，求該同學(xué)在一輪比賽中獲“優(yōu)勝獎”的概率；
(2)將上述兩類題目得分超過8分的頻率作為概率．為提高甲同學(xué)的參賽成績，指導(dǎo)老師對該同學(xué)進(jìn)行賽前強(qiáng)化訓(xùn)練，使得法律文書題和案例分析題得分超過8分的概率共增加了，以獲得“優(yōu)勝獎”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測該同學(xué)能否進(jìn)入決賽．
【答案】(1)
(2)該同學(xué)沒有希望進(jìn)入決賽
【解析】（1）由題可知，所有可能的情況有：
①超過8分的是1道法律文書題，2道案例分析題，，
②超過8分的是2道法律文書題，1道案例分析題，，
③超過8分的是2道法律文書題，2道案例分析題，，
故所求的概率；
（2）設(shè)強(qiáng)化訓(xùn)練后，法律文書題超過8分的概率為，案例分析題超過8分的概率為，
則，
由已知可得，強(qiáng)化訓(xùn)練后該同學(xué)某一輪可獲得“優(yōu)勝獎”的概率為：
，
，且，，即，，
則，，
故可得：，，
，
，
令，則在上單調(diào)遞減，
．
該同學(xué)在5輪比賽中獲得“優(yōu)勝獎”的次數(shù)，
，
故該同學(xué)沒有希望進(jìn)入決賽．
【一隅三反】
1．（2023下·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，．現(xiàn)從數(shù)列的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取3個不同的數(shù)，記取出的數(shù)為正數(shù)的個數(shù)為．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．服從二項(xiàng)分布B．服從超幾何分布
C．D．
【答案】BD
【解析】依題意，等差數(shù)列公差，則通項(xiàng)為
，
由得，即等差數(shù)列前10項(xiàng)中有6個正數(shù)，
的可能取值為的事件表示取出的3個數(shù)中有個正數(shù)，（）個非正數(shù)，
因此，不服從二項(xiàng)分布，服從超幾何分布，不正確，B正確；
錯誤；
由題正確．
故選：．
2．（2024·江蘇 ）某學(xué)校有甲，乙兩個餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第天選擇餐廳甲就餐的概率為．
(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；
(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級抽調(diào)21人到甲乙兩個餐廳參加志愿服務(wù)，請求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個餐廳志愿者人數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)分布列見解析，；
(【解析】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率
某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率
所以3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為
記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，所有可能的取值為，
則
的分布列為：
.
（2）依題意，，即，
則有，當(dāng)時，可得，
數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，則，
時，，
所以，各年級抽調(diào)的21人中，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.
3．（2024·山西呂梁 ）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時間和范圍內(nèi)，制作中式面點(diǎn)和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點(diǎn)和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點(diǎn)和2道中式熱菜得到認(rèn)可．
(1)若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點(diǎn)、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；
(2)若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測小李能否進(jìn)入決賽？
【答案】(1)
(2)小李能進(jìn)入決賽
【解析】（1）設(shè)“在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡”，則事件A發(fā)生的所有情況有：
①得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選1道，中式熱菜入選2道的概率為
②得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選2道，中式熱菜入選1道的概率為
③得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)和中式熱菜各入選2道的概率為
所以；
（2）由題知，強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評委認(rèn)可的概率為，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率為，則強(qiáng)化訓(xùn)練后，在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡的概率為
，
因?yàn)槊枯啽荣惤Y(jié)果互不影響，所以進(jìn)行3輪比賽可看作3重伯努利試驗(yàn)．
用X表示小李在3輪比賽中獲得通關(guān)卡的次數(shù)，則 ，
∴，
∴小李能進(jìn)入決賽.
4．（2024·黑龍江哈爾濱 ）這個冬季，哈爾濱文旅持續(xù)火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花紛飛，成為無數(shù)南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴(yán)寒冰雪與熱情服務(wù)碰撞出火花，吸引海內(nèi)外游客紛至沓來．據(jù)統(tǒng)計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接待游客304.79萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達(dá)到歷史峰值．現(xiàn)對某一時間段冰雪大世界的部分游客做問卷調(diào)查，其中的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人．每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨(dú)立的，用頻率估計概率．
(1)從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)記n個游客得到文旅紀(jì)念品的總個數(shù)恰為個的概率為，求的前n項(xiàng)和；
(3)從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取100人，這些游客得到紀(jì)念品的總個數(shù)恰為n個的概率為，當(dāng)取最大值時，求n的值．
【答案】(1)分布列見解析，期望為；
(2)；
(3)125.
【解析】（1）據(jù)題意，每位游客只游覽冰雪大世界的概率為，得到1份文旅紀(jì)念品；
既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人的概率為，獲得2份文旅紀(jì)念品，
則的可能取值為3，4，5，6，
其中，，，，
所以的分布列為
.
（2）因?yàn)閚個游客得到文旅紀(jì)念品的總個數(shù)恰為個，則只有1人既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，于是，
則，
于是，
兩式相減，得，
所以.
（3）設(shè)只游覽冰雪大世界的人數(shù)為x，則既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人的人數(shù)為，
因此游客得到紀(jì)念品的總個數(shù)，此時，
假定取最大值，必有，于是，
即，整理得，解得，而，則，
所以當(dāng)取最大值時，.
單選題
1．（2024下·山東東營）隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則它的期望（ ）
A．0.5B．2.5C．5D．10
【答案】C
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則它的期望，故選：C.
2．（2023上·廣東深圳·高二校考期末）若100件產(chǎn)品中包含10件次品，有放回地隨機(jī)抽取6件，下列說法正確的是（ ）
A．其中的次品數(shù)服從超幾何分布
B．其中的正品數(shù)服從二項(xiàng)分布
C．其中的次品數(shù)的期望是1
D．其中的正品數(shù)的期望是5
【答案】B
【解析】若100件產(chǎn)品中包含10件次品，有放回地隨機(jī)抽取6件，則每一次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，故此題中的“正品數(shù)”和“次品數(shù)”都分別服從二項(xiàng)分布.
對于選項(xiàng)A，因次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，故選項(xiàng)A錯誤；
對于選項(xiàng)B，正品數(shù)服從二項(xiàng)分布，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C，因次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，則次品數(shù)的期望是，故選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，因正品數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，則正品數(shù)的期望是，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：B.
3．（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知在件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，件產(chǎn)品中有件次品，件正品，
從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，
表示要從件次品中抽取件，從件正品中抽取件，
故.
故選：B.
4．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┰?0件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為（ ）．
A．2B．4C．D．
【答案】C
【解析】隨機(jī)變量可取，
，，，，
，
故選：C
5．（2024上·廣東深圳 ）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是.
故選：B.
6．（2021上·高二課時練習(xí)）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②X表示取出的最小號碼；
③X表示取出的白球個數(shù)；
④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.
這四種變量中服從超幾何分布的是（ ）
A．①②B．③④
C．①②④D．①②③④
【答案】B
【解析】超幾何分布定義：設(shè)有總數(shù)為N件的甲乙兩類物品，其中甲類有M件，從所有物品中任取n件，則中所含甲類物品件數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量，它取值m時的概率為，我們稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布.
①②中的變量不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故①②錯誤；
③中的變量符合超幾何分布的定義選項(xiàng)，將白球視作甲類物品，黑球視作乙類物品，則可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故③正確；
④中的變量可以對應(yīng)取出的白球個數(shù)，符合超幾何分布的定義選項(xiàng)，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故④正確.
故選：B．
7．（2023下·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┙?jīng)檢測一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項(xiàng)正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5B．
C．的概率最大D．服從超幾何分布
【答案】C
【解析】對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，由題意，隨機(jī)變量，故D不正確；
對于C，隨機(jī)變量，，
若取得最大值時，則:
，
則，解得，則．
故的概率最大，所以C正確；故選：C.
8．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小?質(zhì)地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現(xiàn)進(jìn)行如下兩個試驗(yàn)，試驗(yàn)一：逐個不放回地隨機(jī)摸出3個球，記取到白球的個數(shù)為，期望和方差分別為；試驗(yàn)二：逐個有放回地隨機(jī)摸出3個球，記取到白球的個數(shù)為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】①從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個球，記白球的個數(shù)為的可能取值是，
則，
故隨機(jī)變量的概率分布列為
則數(shù)學(xué)期望為，
方差為.
②從中隨機(jī)地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為，
則，故，，
故.
故選：D.
多選題
9．（2024上·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）若隨機(jī)變量，下列說法中正確的有（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
【答案】AC
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，則，，
，
由期望的性質(zhì)可得，
由方差的性質(zhì)可得，AC對，BD錯.
故選：AC.
10．（2023上·高二課時練習(xí)）在一個袋中裝有質(zhì)地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布
C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布
D．
【答案】ACD
【解析】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，，
因此隨機(jī)變量X服從超幾何分布，B錯誤，C正確；
，，，
，，A正確；
，D正確.
故選：ACD
11．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由題意得
.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A錯誤；
因?yàn)?，故BC正確；
所以，
則，故D錯誤.
故選：BC
11．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現(xiàn)從中任取4個球，設(shè)這4個球中黑球的個數(shù)為，則（ ）
A．服從二項(xiàng)分布B．的值最小為1
C．D．
【答案】BCD
【解析】依題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為6，4，3的超幾何分布，故A錯誤；
的所有可能取值為1，2，3，所以的值最小為1，故B正確；
，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD
127．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“”和“”組成的序列．現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號次，每次發(fā)射信號“”的概率均為．記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說法中正確的有（ ）
A．當(dāng)，時，
B．時，有
C．當(dāng)，時，當(dāng)且僅當(dāng)時概率最大
D．時，隨著的增大而增大
【答案】BCD
【解析】由題意得發(fā)射信號“”的次數(shù)為和概率符合二項(xiàng)分布，
對于A：當(dāng)，可取，
所以，
取，此時，故A項(xiàng)錯誤；
對于B：當(dāng)時，即每次發(fā)射信號“”和發(fā)射信號“”的概率相等，所以為奇數(shù)的概率和為偶數(shù)的概率相等，即，故B正確；
對于C：當(dāng)，，此時，，
當(dāng)取得概率最大時，即，即，解得，故C項(xiàng)正確；
對于D：由題知當(dāng)，發(fā)射信號“”的次數(shù)為和概率符合二項(xiàng)分布，
由二項(xiàng)式的均值公式，當(dāng)概率一定時，越大則的值越大，所以能夠出現(xiàn)奇數(shù)的概率也增大，故D正確.
故選：BCD.
填空題
13．（2024上·江西南昌·高二江西師大附中?？计谀┰谝粋€布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機(jī)摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數(shù)為X．若，則 ．
【答案】
【解析】由題意知．
因?yàn)椋?，解得?br>所以．
故答案為： .
14．（2023·陜西西安·西安市長安區(qū)第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若隨機(jī)變量，且，則 .
【答案】10
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
解得或，因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以.
故答案為：10
15．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則 .
【答案】/0.5
【解析】因 .
故答案為：.
16．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
【答案】7
【解析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設(shè)小球落入號格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數(shù)，所以，
所以小球落入號格子的概率最大．
故答案為：．
解答題
17．（2024下·北京海淀·高三101中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動．某校為了解學(xué)生課后活動的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，用頻率分布直方圖表示如下：
假設(shè)用頻率估計概率，且每個學(xué)生參加課后活動的時間相互獨(dú)立．
(1)估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；
(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動的時間的中位數(shù)估計值為?平均數(shù)的估計值為（計算平均數(shù)時，同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），請直接寫出的大小關(guān)系．
【答案】(1)0.65
(2)分布列見解析，期望為
(3)
【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，
可得學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的頻率為，
因此估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率為；
（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人，
其一周參加課后活動的時間在區(qū)間的概率為0.4，因此，
可取，
，
．
則的分布列為：
；
（3）因?yàn)椋?br>，
故中位數(shù)在區(qū)間上，
則，；
，
故.
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）為增強(qiáng)體質(zhì)，錘煉意志，讓學(xué)生享受運(yùn)動樂趣，享受校園生活，某學(xué)校舉辦全員運(yùn)動會．該校高三某班的同學(xué)報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽這三類比賽（每人必須報名參加比賽且只能報一類），其中報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽的人數(shù)占本班人數(shù)的比例依次為（其中）．現(xiàn)從該班學(xué)生中任選3人，以頻率估計概率．
(1)若被選取的3人參加比賽的類別互不相同的概率為，求a的值；
(2)記X為選取的3人中報名參加田徑比賽和報名參加球類比賽的總?cè)藬?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)或
(2)分布列見解析；期望為
【解析】（1）因?yàn)閳竺麉⒓佑斡颈荣悺⑻飶奖荣?、球類比賽的人?shù)占本班人數(shù)的比例依次為，
所以被選取的3人參加比賽的類別互不相同的概率為， 解得或．
（2）由題，報名參加田徑比賽與報名參加球類比賽的概率之和為，
而X為選取的3人中報名參加田徑比賽和報名參加球類比賽的總?cè)藬?shù)，
則，
故，，，，
所以X的分布列為
故．
19．（2023·全國·模擬預(yù)測）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結(jié)束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計結(jié)果如表所示．
假設(shè)用樣本頻率估計總體概率，且每個學(xué)生的競賽成績相互獨(dú)立．
(1)為了激勵學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對競賽成績優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的，試估計獲獎分?jǐn)?shù)線；
(2)該市決定從全市成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）解：由表格知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，
成績在的頻率為，
設(shè)獲獎分?jǐn)?shù)線為，則，
所以，，解得．
（2）解：從全市成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人參加省級黨史知識競賽，
成績在的概率為，
由題意知，，則的可能取值有、、、、，
則，，
，，
，
所以的分布列為
故．
20．（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機(jī)抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章一枚；④結(jié)束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應(yīng)的禮品．據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．
(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；
(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨(dú)立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大？
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(2)獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大.
【解析】（1）由題知：可取2，4，6，8，
則，，
，，
故的分布列為：
則的期望.
（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率為，
則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，記獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的枚數(shù)為，則，
故（），
假設(shè)當(dāng)時，概率最大，則，
解得，而.
故某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大．
解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率為，
則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的枚數(shù)為，則，
故（），
所以Y的分布列為：
從分布列中可以看出，概率最大為，
所以參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大．
21（2024上·廣東廣州 ）某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A?B?C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為，引種樹苗B?C的自然成活率均為.
(1)任取樹苗A?B?C各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；
(2)將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活.
①求一棵種樹苗最終成活的概率；
②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)①；②700
【解析】（1）由題意知，X的所有可能值為0，1，2，3，
則；
；
；
.
由此得X的分布列如下表：
所以.
（2）根據(jù),由（1）知當(dāng)時，取得最大值.
①一棵種樹苗最終成活的概率為.
②記為棵種樹苗的成活株數(shù)，為株種樹苗的利潤，則，
所以，所以，
故，要使，則有.
所以該農(nóng)戶應(yīng)至少種植700棵種樹苗，就可獲利不低于20萬元.
22．（2023上·山西 ）近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．
(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；
(2)若預(yù)測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求的取值范圍．
【答案】(1)分布列見解析
(2)
【解析】（1）設(shè)小張猜中謎語的道數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從超幾何分布，的取值分別為2，3，4．
有，，，
故小張猜中謎語道數(shù)的分布列為
設(shè)小王猜中謎語的道數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的取值分別為0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
．
故小王猜中謎語道數(shù)的分布列為
（2）由（1）可知，
若預(yù)測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，則，可得．
0
1
2
3
0.512
0.384
0.096
0.008
0
1
2
3
0
1
2
3
4
P
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
3
10
25
40
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
0
1
2
階梯級別
第一階梯
第二階梯
第三階梯
月用電范圍（度）
居民用電戶編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用電量（度）
53
86
90
124
214
215
220
225
420
430
0
1
2
3
9000
8000
7000
6000
0.027
0.189
0.441
0.343
X
0
1
2
3
P
3
4
5
6
0
1
2
3
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064
X
0
1
2
3
P
成績區(qū)間
頻數(shù)
2
4
6
8
0
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
P
2
3
4
0
1
2
3
4

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7.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布

版本： 人教A版 (2019)

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