類(lèi)型一 程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算
1．根據(jù)圖中的程序，當(dāng)輸入x為64時(shí)，輸出的值是______．
2．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入為64時(shí)，則輸出的值是______．
3．有一個(gè)如圖的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的數(shù)是64時(shí)，輸出的數(shù)是______．
4．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．原理如圖．
（1）當(dāng)輸入的為81時(shí)，輸出的是多少？
（2）是否存在輸入有效的值后，始終輸不出值？如果存在．請(qǐng)寫(xiě)出所有滿(mǎn)足要求的的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）小明輸入數(shù)據(jù)，在轉(zhuǎn)換器運(yùn)行程序時(shí)，屏幕顯示“該操作無(wú)法運(yùn)行”，請(qǐng)你推算輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？
（4）若輸出的是，試判斷輸入的值是否唯一？若不唯一，請(qǐng)寫(xiě)出其中的兩個(gè)．
類(lèi)型二 新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
5．現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：ab＝ab＋a－b，其中a，b為實(shí)數(shù)，則____．
6．（1）用“*”表示一種新運(yùn)算:對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b,都有.例如,,那么15*27＝__；（2）定義一種運(yùn)算*,其規(guī)則為:當(dāng)a≥b時(shí),a*b＝b3;當(dāng)a＜b時(shí),a*b＝b2.根據(jù)這個(gè)規(guī)則,方程3*x＝27的解是__.
7．我們規(guī)定：表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)．
例如：，；，．
(1)計(jì)算：________；________；
(2)若，滿(mǎn)足題意的所有整數(shù)的和為_(kāi)_______；
(3)若，，求的平方根．
8．對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，我們用表示小于的最大整數(shù)．
例如：，；．
（1）填空：______，______，______；
（2）若，都是整數(shù)，且，；求的平方根；
（3）如果，求的取值范圍．
類(lèi)型三 實(shí)數(shù)運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用
9．已知，其中是整數(shù)，，求的值．
10．?dāng)?shù)學(xué)閱讀是學(xué)生個(gè)體根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)材料建構(gòu)數(shù)學(xué)意義和方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生主動(dòng)獲取信息，汲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的途徑之一．請(qǐng)你先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問(wèn)題：
問(wèn)題情境：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，求的值．
解：由題意得，
∵a，b都是有理數(shù)，
∴也是有理數(shù)，
∵是無(wú)理數(shù)，
∴，
∴，
∴
解決問(wèn)題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，求的值．
11．閱讀材料，解答下列問(wèn)題．
例：當(dāng)a＞0時(shí)，如a＝6，則|a|＝|6|＝6，故此時(shí)a的絕對(duì)值是它本身；
當(dāng)a＝0時(shí)，|a|＝0，故此時(shí)a的絕對(duì)值是零；
當(dāng)a＜0時(shí)，如a＝－6，則|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此時(shí)a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．
因此綜合起來(lái)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值要分三種情況，即
這種分析方法滲透了數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想．
問(wèn)：(1)請(qǐng)仿照上面的分類(lèi)討論的方法，分析實(shí)數(shù)的各種展開(kāi)的情況；
(2)猜想與|a|的大小關(guān)系．
12．探索與應(yīng)用．先填寫(xiě)下表，通過(guò)觀察后再回答問(wèn)題：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題：
①已知≈3.16，則≈ ；②已知＝1.8，若＝180，則a＝ ；
(3)拓展：已知，若，則z= ．
類(lèi)型四 與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究
13．有個(gè)填寫(xiě)運(yùn)算符號(hào)的游戲：在“□□□”中的每個(gè)“口”內(nèi)，填入+，-，×，÷中的某一個(gè)（可重復(fù)使用），然后計(jì)算結(jié)果.
（1）計(jì)算：
（2）若口請(qǐng)推算“口”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào).
（3）在“□□□”的“口”內(nèi)填入運(yùn)算符號(hào)后，使計(jì)算所得的數(shù)最小，直接寫(xiě)出這個(gè)最小的數(shù).
14．觀察下列各式：，
，，…
（1）猜想① ．
② ，其中n為正整數(shù)．
（2）計(jì)算：．
15．小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“有趣”的現(xiàn)象：
②
③
④
上面的推導(dǎo)過(guò)程中，從第_______ 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤(填序號(hào))；
寫(xiě)出該步的正確結(jié)果．
16．觀察下列兩組算式，解答問(wèn)題：
第一組：＝2，＝2，、，＝0
第二組：＝2，＝3，＝9，＝16，＝0
（1）由第一組可得結(jié)論：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，＝_____．
（2）由第二組可得結(jié)論：當(dāng)a≥0時(shí)，＝_____．
（3）利用（1）和（2）的結(jié)論計(jì)算：＝_____，＝_____．
專(zhuān)題10 實(shí)數(shù)運(yùn)算四個(gè)類(lèi)型
類(lèi)型一 程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算
1．根據(jù)圖中的程序，當(dāng)輸入x為64時(shí)，輸出的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)程序框圖的基本步驟并結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則逐步分析計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵不是無(wú)理數(shù)，
∴將當(dāng)做輸入的x循環(huán)進(jìn)入初始步驟，
∵，
∴，
∵不是無(wú)理數(shù)，
∴將當(dāng)做輸入的x循環(huán)進(jìn)入初始步驟，
∵，
∴，
∴輸出結(jié)果為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算下的程序框圖計(jì)算，理解程序框圖的求解步驟，掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算的基本法則是解題關(guān)鍵．
2．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入為64時(shí)，則輸出的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的定義即可得．
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，是有理數(shù)，
當(dāng)時(shí)，是無(wú)理數(shù)，輸出，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)，熟練掌握算術(shù)平方根是解題關(guān)鍵．
3．有一個(gè)如圖的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的數(shù)是64時(shí)，輸出的數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)及算術(shù)平方根的定義即可求解．
【詳解】
輸入64時(shí)，取算術(shù)平方根為=8，為有理數(shù)；
再去算術(shù)平方根為=，為無(wú)理數(shù)，故輸出
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查程序的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知實(shí)數(shù)的性質(zhì)及算術(shù)平方根的定義．
4．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．原理如圖．
（1）當(dāng)輸入的為81時(shí)，輸出的是多少？
（2）是否存在輸入有效的值后，始終輸不出值？如果存在．請(qǐng)寫(xiě)出所有滿(mǎn)足要求的的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）小明輸入數(shù)據(jù)，在轉(zhuǎn)換器運(yùn)行程序時(shí)，屏幕顯示“該操作無(wú)法運(yùn)行”，請(qǐng)你推算輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？
（4）若輸出的是，試判斷輸入的值是否唯一？若不唯一，請(qǐng)寫(xiě)出其中的兩個(gè)．
【答案】（1）；（2）0或1；（3）見(jiàn)解析；（4）不唯一，5和25
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解；
（2）根據(jù)0和1的算術(shù)平方根即可判斷；
（3）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可求解；
（4）找到使得輸出值為的兩個(gè)數(shù)即可．
【詳解】
解：（1）當(dāng)x=81時(shí)，
=9，=3，是無(wú)理數(shù)，
故y=；
（2）當(dāng)x=0或1時(shí)，始終輸不出y值．
因?yàn)?，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)；
（3）∵負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，
∴輸入的數(shù)據(jù)可能是負(fù)數(shù)；
（4）25的算術(shù)平方根是5，5的算術(shù)平方根是，
故輸入的值不唯一，例如5和25．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了算術(shù)平方根，正確把握數(shù)值轉(zhuǎn)換器的原理是解題關(guān)鍵．
類(lèi)型二 新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
5．現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：ab＝ab＋a－b，其中a，b為實(shí)數(shù)，則____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
把和化簡(jiǎn)后，再根據(jù)ab＝ab＋a-b計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵ab＝ab＋a-b，
∴
=4×(-2)+4-(-2)
=-8+4+2
=-2．
故答案為：-2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了新定義運(yùn)算，算術(shù)平方根和立方根的意義，根據(jù)新定義把所給算式轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．
6．（1）用“*”表示一種新運(yùn)算:對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b,都有.例如,,那么15*27＝__；（2）定義一種運(yùn)算*,其規(guī)則為:當(dāng)a≥b時(shí),a*b＝b3;當(dāng)a＜b時(shí),a*b＝b2.根據(jù)這個(gè)規(guī)則,方程3*x＝27的解是__.
【答案】 4； 3或3.
【解析】
【分析】
（1）認(rèn)真觀察新運(yùn)算法則的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律，再計(jì)算．
（2）因?yàn)檫\(yùn)算*的運(yùn)算規(guī)則是：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b＝b3；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝b2．所以可以按3與x的大小分類(lèi)討論，求出x的值．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意得；
（2）因?yàn)楫?dāng)a≥b時(shí),a*b＝b3;
當(dāng)a＜b時(shí),a*b＝b2.
所以當(dāng)x≤3時(shí),3*x＝x3,方程3*x＝27可變形為x3＝27,解得x＝3,滿(mǎn)足x≤3.
當(dāng)x＞3時(shí),3*x＝x2,方程3*x＝27可變形為x2＝27,
解得x＝=3 ,滿(mǎn)足x＞3,
所以方程3*x＝27的解是3或3.
故答案為（1）4；（2）3或3．
【點(diǎn)睛】
本題考查立方根的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察新運(yùn)算法則的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律，再計(jì)算．
7．我們規(guī)定：表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)．
例如：，；，．
(1)計(jì)算：________；________；
(2)若，滿(mǎn)足題意的所有整數(shù)的和為_(kāi)_______；
(3)若，，求的平方根．
【答案】(1)3；4
(2)6
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)再結(jié)合新定義即可求值；
（2）根據(jù)新定義求得，即可求出滿(mǎn)足題意的所有整數(shù)；
（3）先通過(guò)估算求出m、n的值，再代入計(jì)算即可．
(1)
∵
∴，
(2)
由題意得，且為整數(shù)，
∴，且為整數(shù)，
∴或或，
∴滿(mǎn)足題意的所有整數(shù)的和為6．
(3)
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴的平方根為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，理解符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)并進(jìn)行是解題的關(guān)鍵．
8．對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，我們用表示小于的最大整數(shù)．
例如：，；．
（1）填空：______，______，______；
（2）若，都是整數(shù)，且，；求的平方根；
（3）如果，求的取值范圍．
【答案】（1）-2022，3，2；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)新定義運(yùn)算法則計(jì)算即可;
(2)根據(jù)新定義運(yùn)算法則,構(gòu)造方程組計(jì)算即可;
(3)根據(jù)新定義法則,構(gòu)造不等式組求解即可．
【詳解】
（1）根據(jù)定義，得－2022，3，
∵，∴3-1=2；
故答案為：-2022，3，2；
（2）由題意得，
解得；
．
（3）由題意得，解得．
【點(diǎn)睛】
本題考查了新定義運(yùn)算問(wèn)題，方程組，不等式組，平方根，熟練運(yùn)用新定義運(yùn)算，把問(wèn)題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為方程組，不等式組問(wèn)題求解是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型三 實(shí)數(shù)運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用
9．已知，其中是整數(shù)，，求的值．
【答案】
【解析】
【詳解】
試題分析：可以先估算出整數(shù)部分，再計(jì)算出的值,最后作差.
試題解析：解：，
，
=．
10．?dāng)?shù)學(xué)閱讀是學(xué)生個(gè)體根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)材料建構(gòu)數(shù)學(xué)意義和方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生主動(dòng)獲取信息，汲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的途徑之一．請(qǐng)你先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問(wèn)題：
問(wèn)題情境：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，求的值．
解：由題意得，
∵a，b都是有理數(shù)，
∴也是有理數(shù)，
∵是無(wú)理數(shù)，
∴，
∴，
∴
解決問(wèn)題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，求的值．
【答案】8或0
【解析】
【分析】
根據(jù)題目中例題的方法，對(duì)所求式子進(jìn)行變形，求出x、y的值，從而可以求得x+y的值．
【詳解】
解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
當(dāng)x=4，y=4時(shí)，x+y=4+4=8，
當(dāng)x=-4，y=4時(shí)，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【點(diǎn)睛】
本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題目中例題的解答方法，然后運(yùn)用類(lèi)比的思想解答所求式子的值．
11．閱讀材料，解答下列問(wèn)題．
例：當(dāng)a＞0時(shí)，如a＝6，則|a|＝|6|＝6，故此時(shí)a的絕對(duì)值是它本身；
當(dāng)a＝0時(shí)，|a|＝0，故此時(shí)a的絕對(duì)值是零；
當(dāng)a＜0時(shí)，如a＝－6，則|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此時(shí)a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．
因此綜合起來(lái)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值要分三種情況，即
這種分析方法滲透了數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想．
問(wèn)：(1)請(qǐng)仿照上面的分類(lèi)討論的方法，分析實(shí)數(shù)的各種展開(kāi)的情況；
(2)猜想與|a|的大小關(guān)系．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用利用分類(lèi)討論得出即可；
（2）利用化簡(jiǎn)結(jié)果得出即可；
【詳解】
解：(1)當(dāng)a＞0時(shí)，如a＝8，則，故此時(shí)等于它本身；
當(dāng)a＝0時(shí)，＝0，故此時(shí)等于零；
當(dāng)a＜0時(shí)，如a＝－8，則，故此時(shí)等于它的相反數(shù)，即.
因此綜合起來(lái)的結(jié)果要分三種情況，
即＝
(2).
【點(diǎn)睛】
本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)二次根式利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．
12．探索與應(yīng)用．先填寫(xiě)下表，通過(guò)觀察后再回答問(wèn)題：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題：
①已知≈3.16，則≈ ；②已知＝1.8，若＝180，則a＝ ；
(3)拓展：已知，若，則z= ．
【答案】(1) 0.1，10；(2) 31.62，32400；(3) 0.012．
【解析】
【分析】
根據(jù)算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍，可得答案．
【詳解】
（1）x=0.1，y=10，故答案為0.1，10；
（2）①=31.62，a=32400，故答案為31.62，32400；
（4）z=0.012，故答案為0.012．
類(lèi)型四 與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究
13．有個(gè)填寫(xiě)運(yùn)算符號(hào)的游戲：在“□□□”中的每個(gè)“口”內(nèi)，填入+，-，×，÷中的某一個(gè)（可重復(fù)使用），然后計(jì)算結(jié)果.
（1）計(jì)算：
（2）若口請(qǐng)推算“口”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào).
（3）在“□□□”的“口”內(nèi)填入運(yùn)算符號(hào)后，使計(jì)算所得的數(shù)最小，直接寫(xiě)出這個(gè)最小的數(shù).
【答案】(1) (2) “-” (3)
【解析】
【分析】
(1)先進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，再加減依次計(jì)算.
(2)先計(jì)算出“口”前面算式的結(jié)果，再根據(jù)結(jié)果與9和12的數(shù)量關(guān)系選擇符號(hào).
(3)因?yàn)橹挥?，所以得?shù)經(jīng)過(guò)運(yùn)算之后要想最小，則一定要是負(fù)數(shù)，要使負(fù)數(shù)最小，使其絕對(duì)值越大即可，都用乘法可以得到.
【詳解】
(1)
(2)，，所以為“-”號(hào).
(3)□□□=□□□
則×（）××=
即最小值為.
故答案為(1) (2) “-” (3)
【點(diǎn)睛】
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用運(yùn)算符號(hào)建立聯(lián)系.
14．觀察下列各式：，
，，…
（1）猜想① ．
② ，其中n為正整數(shù)．
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）猜想①20182+3×2018+1；②n2+3n+1；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知式子得出結(jié)果即可；
（2）對(duì)每個(gè)式子進(jìn)行計(jì)算即可；
【詳解】
（1）猜想①0182+3×2018+1；
②n2+3n+1；
（2）計(jì)算：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了證明與猜想，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
15．小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“有趣”的現(xiàn)象：
②
③
④
上面的推導(dǎo)過(guò)程中，從第_______ 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤(填序號(hào))；
寫(xiě)出該步的正確結(jié)果．
【答案】（1）②；（2）
【解析】
【分析】
（1）②中等式的左邊是負(fù)數(shù)，而右邊是正數(shù)，據(jù)此可知這一步錯(cuò)誤；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解可得．
【詳解】
（1）②；
（2）．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次根式的乘除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的非負(fù)性和二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算法則．
16．觀察下列兩組算式，解答問(wèn)題：
第一組：＝2，＝2，、，＝0
第二組：＝2，＝3，＝9，＝16，＝0
（1）由第一組可得結(jié)論：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，＝_____．
（2）由第二組可得結(jié)論：當(dāng)a≥0時(shí)，＝_____．
（3）利用（1）和（2）的結(jié)論計(jì)算：＝_____，＝_____．
【答案】（1）|a|；（2）a；（3）0.135；
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)第一組的規(guī)律即可求出答案．
（2）根據(jù)第二組的規(guī)律即可求出答案．
（3）利用已知的規(guī)律計(jì)算即可得出答案．
【詳解】
解：（1）由第一組的規(guī)律可知：a是非負(fù)數(shù)時(shí)，＝a, a是負(fù)數(shù)時(shí)，＝-a,
∴a是全體實(shí)數(shù)，＝|a|；
（2）由第二組的規(guī)律可知：a≥0時(shí)，（）2＝a；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可知：＝0.135，（﹣）2＝；
【點(diǎn)睛】
本題為規(guī)律類(lèi)試題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

6.3 實(shí)數(shù)

版本： 人教版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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