請?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容．
（1）如圖（1）已知//，則．
解：過點(diǎn)作直線//．∴（ ）．（ ）
∵//，//，
∴（ ）//（ ）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）
∴（ ）．（ ）．∴．∴．
（2）如圖②，如果//，則（ ）
解：（1）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．
∴∠FED=∠D（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案為：∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB，如圖．
∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．
∴∠FED+∠D=180° （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．
【模型演練】
1．如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______
2．如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
3．如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．
4．如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．
5．如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．
6．如圖，直線MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，則∠P=___________度．
7．如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為 ___．
8．如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是______．
9．如圖，，，則的度數(shù)是_____．
10．如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，，，則______度．
11．如圖，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x，y，z的關(guān)系式為______．
12．如圖，直線，在中，，點(diǎn)落在直線上，與直線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（ ）.
A．30°B．40°C．50°D．65°
13．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線 EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
三、解答題(共0分)
14．（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）
（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）
（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）
（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）

15．如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間．
（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；
（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．
16．（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．
（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．
（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．
17．（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖①，直線，是與之間的一點(diǎn)，連接，，可以發(fā)現(xiàn)：，請你寫出證明過程；
（2）拓展探究
如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．
（3）解決問題
如圖③，，，，則________．（直接寫出結(jié)論，不用寫計(jì)算過程）
18．請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．
（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？
（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（注：以上各問，只寫出探究結(jié)果，不用說明理由）
19．如圖，已知AB∥CD，分別探究下面三個(gè)圖形中∠P和∠A，∠C的關(guān)系，請你從所得三個(gè)關(guān)系中任意選出一個(gè)，說明你探究結(jié)論的正確性．
結(jié)論：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）選擇結(jié)論____________，說明理由．
20．問題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．
(1)猜想：若，，試猜想______°；
(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．
21．（1）已知：如圖（a），直線．求證：；
（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？
22．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
23．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．
（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為： ；（不需要證明）
如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為： ；（不需要證明）
（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；
（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．
專題04 平行線之豬手圖和子彈圖
【模型講解】
請?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容．
（1）如圖（1）已知//，則．
解：過點(diǎn)作直線//．∴（ ）．（ ）
∵//，//，
∴（ ）//（ ）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）
∴（ ）．（ ）．∴．∴．
（2）如圖②，如果//，則（ ）
解：（1）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．
∴∠FED=∠D（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案為：∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB，如圖．
∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．
∴∠FED+∠D=180° （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．
【模型演練】
1．如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______
【答案】180°
【分析】延長EA交CD于點(diǎn)F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解．
【詳解】解：延長EA交CD于點(diǎn)F，如圖所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案為180°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
【答案】540
【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．
【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，
∵，，，
∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案為：540．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．
3．如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可．
【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
4．如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．
【答案】57°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點(diǎn)F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案為：57°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．
【答案】
【分析】延長交BC于M，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等證明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：延長交BC于M，
∵
∴∠BMD=∠ABC=80°，
∴；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴．
故答案是：40°
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，直線MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，則∠P=___________度．
【答案】30
【分析】要求∠P的度數(shù)，只需根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得其所在的三角形的一個(gè)外角，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行求解．
【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠A的同位角是70°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠P＝70°?40°＝30°．
故答案為30．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可以牢記此題中的結(jié)論：∠P＝∠A?∠B．
7．如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為 ___．
【答案】150°##150度
【分析】延長AB交l2于E，根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠2的度數(shù)．
【詳解】解：延長AB交l2于E，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=30°，
∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案為：150°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是______．
【答案】85
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)先求∠B的度數(shù)，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求x的值即可．
【詳解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180°?∠C＝120°．
∴（5?2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．
∴x＝85．
故答案為：85．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，，，則的度數(shù)是_____．
【答案】
【分析】直接作出，再利用平行線的性質(zhì)分析得出答案．
【詳解】作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確得出，是解題關(guān)鍵．
10．如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，，，則______度．
【答案】20
【分析】如圖（見詳解），過點(diǎn)E作， 先證明，再由平行線的性質(zhì)定理得到，，結(jié)合已知條件即可得到．
【詳解】解：由題意可得：．
如圖，過點(diǎn)E作，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即：．
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了平行線的性質(zhì)定理的運(yùn)用．從“基本圖形”的角度看，本題可以看作是“M”型的簡單運(yùn)用．解法不唯一，也可延長BE交CD于點(diǎn)G，結(jié)合三角形的外角定理來解決；或連結(jié)BD，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來解決．
11．如圖，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x，y，z的關(guān)系式為______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可證∠y=∠z+90°-∠x即可．
【詳解】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．
12．如圖，直線，在中，，點(diǎn)落在直線上，與直線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（ ）.
A．30°B．40°C．50°D．65°
【答案】B
【分析】由題意過點(diǎn)B作直線，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行分析即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作直線，
∵直線m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關(guān)鍵．
13．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線 EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】①過點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；
②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；
③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：
①如圖1，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①錯(cuò)誤；
②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正確；
③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③錯(cuò)誤；
④如圖4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正確；
綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
14．（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）
（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）
（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）
（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，
∵l1∥l2，
∴A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，
故答案是：360°；
（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，
∵l1∥l2，
∴A3C∥A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °，
故答案是：（n-1）180 °．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題的關(guān)鍵．
15．如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間．
（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；
（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．
【分析】（1）過點(diǎn)A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；
（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；
（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．
【詳解】解：（1）證明：如圖1，過點(diǎn)A作AD∥MN，
∵M(jìn)N∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如圖2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．
16．（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．
（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．
（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析
【分析】（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；
（2）首先過點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．
（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．
【詳解】解：（1）如圖（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法．
17．（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖①，直線，是與之間的一點(diǎn)，連接，，可以發(fā)現(xiàn)：，請你寫出證明過程；
（2）拓展探究
如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．
（3）解決問題
如圖③，，，，則________．（直接寫出結(jié)論，不用寫計(jì)算過程）
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)平行判定得到，利用平行線的性質(zhì)得，，得到，即可求證出答案；
（2）類比（1），過點(diǎn)E作EF∥AB，然后根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求證出答案；
（3）類比，過點(diǎn)作，根據(jù)平行判定得到，再根據(jù)平行的性質(zhì)得：，，根據(jù)角與角的關(guān)系求得：，則可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖①，過點(diǎn)作，
∵（已知），（輔助線的作法）.
∴（平行于同一直線的兩直線平行），
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
∵，
∴，
∴（等量代換）
即.
（2）證明：如圖②，過點(diǎn)作，
∵（已知），（輔助線的作法）.
∴（平行于同一直線的兩直線平行）.
∴，，
∴，
∴.
（3）解：如圖③，過點(diǎn)作，
∵（已知），（輔助線的作法），
∴（平行于同一直線的兩直線平行），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，靈活運(yùn)用平行判斷以及平行線的性質(zhì)找到角與角之間的關(guān)系．
18．請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．
（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？
（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（注：以上各問，只寫出探究結(jié)果，不用說明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；
（2）過點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可得出結(jié)論；
（3）同樣過點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得出結(jié)論；
（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；
（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．
【詳解】（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；
（2）如圖（2），過點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如圖（3），過點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，
即∠B+∠A+∠C=360o；
（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，
∵與平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，
∵與平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．
19．如圖，已知AB∥CD，分別探究下面三個(gè)圖形中∠P和∠A，∠C的關(guān)系，請你從所得三個(gè)關(guān)系中任意選出一個(gè)，說明你探究結(jié)論的正確性．
結(jié)論：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）選擇結(jié)論____________，說明理由．
【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由見解析．
【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解答；
（2）過點(diǎn)P作PF∥AB，則AB∥CD∥PF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答；
（3）根據(jù)AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（4）選擇以上結(jié)論任意一個(gè)進(jìn)行證明即可．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）過點(diǎn)P作直線PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
故答案為：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB．
故答案為：∠PCD=∠APC+∠PAB．
（4）選擇結(jié)論∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．
20．問題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．
(1)猜想：若，，試猜想______°；
(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)；證明見詳解
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)作，利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；
（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；
（3）分別過點(diǎn)、點(diǎn)作、，然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可．
（1）
解：如圖過點(diǎn)作，
∵，
∴．
∴，
．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴∠P=80°．
故答案為：；
（2）
解：，理由如下：
如圖過點(diǎn)作，
∵，
∴．
∴，
．
∴
∵，
．
（3）
如圖分別過點(diǎn)、點(diǎn)作、
∵，
∴．
∴，
，
．
∴
∵，
，
，
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
21．（1）已知：如圖（a），直線．求證：；
（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？
【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C在AB與ED之外時(shí)，，見解析
【分析】（1）由題意首先過點(diǎn)C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
證明：如圖：
∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若點(diǎn)C在直線AB與DE之間，猜想,
∵AB∥ED∥CF，
∴
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法．
22．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．
【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
過點(diǎn)P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如圖，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
23．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．
（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為： ；（不需要證明）
如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為： ；（不需要證明）
（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；
（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°
【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進(jìn)而可求解；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如圖2，過F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊電子課本 舊教材

5.2.1 平行線

版本： 人教版

年級： 七年級下冊

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