【例題講解】
如圖，在平面直角坐標系中，，，，且．
(1)求a，b的值；
(2)①在x軸的正半軸上存在一點M，（使的面積的面積，求出點M的坐標；
②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使的面積的面積恒成立？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標．
（1）解：∵∴，解得：，
（2）①點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(3，0)，設M的坐標為(0，m)，
根據(jù)題意，解得：m=5，所以M點坐標為(0，5).
②存在.當點M在y軸上，設M的坐標為(0，m)，根據(jù)題意得，
解得m=±5，此時點M的坐標為(0，-5)(0，5).
當點M在x軸上，設M的坐標為(n，0)，根據(jù)題意得，
解得n=±2.5，此時點M的坐標為(-2.5，0)(2.5，0)，
綜上所述：點M的坐標為(-5，0)，(5，0)，(-2.5，0)，(2.5，0)．
【綜合解答】
1．在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），且a、b滿足．
(1)求OA，OB長度；
(2)在x軸上是否存在點C，使得三角形ABC的面積是12；若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)若點P從點B出發(fā)沿著y軸運動（點P不與原點、B點重合）速度為每秒2個單位長度，連接AB、AP，當運動的時間t為幾秒時， ？并求出此時點P的坐標．
2．如圖1，已知，點A（1，a），AH⊥x軸，垂足為H，將線段AO平移至線段BC，點B（b，0），其中點A與點B對應、點O與點C對應，a、b滿足．
(1)填空：①直接寫出A、B、C三點的坐標A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接寫出三角形AOH的面積 ．
(2)如圖2，連OC，動點P從點B開始在x軸上以每秒2個單位的速度向左運動，同時點Q從點O開始在y軸上以每秒1個單位的速度向下運動．若經(jīng)過t秒，三角形AOP與三角形COQ的面積相等，試求t的值及點P的坐標．
3．已知，點，軸，垂足為，將線段平移至線段，點，其中點A與點對應，點與點對應，、滿足．
(1)填空：
①直接寫出A、、三點的坐標______、______、______；
②直接寫出三角形的面積______．
(2)如圖，若點在線段上，證明：．
(3)如圖，連，動點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向左運動，同時點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向下運動．若經(jīng)過秒，三角形與三角形的面積相等，試求的值及點的坐標．
4．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中，滿足
(1)填空： ， ；
(2)如果在第三象限內(nèi)有一點，請用含的式子表示三角形的面積
(3)在（2）的條件下，當時，在軸上有一點，使得三角形的面積與三角形的面積相等，請求出點的坐標．
5．如圖，C為x軸正半軸上一動點，，，且a，b滿足，．
(1)求△ABO的面積；
(2)求點O到AB的距離；
(3)如圖2，若，軸于點C，點M從點P出發(fā)，在射線PA上運動，同時另一動點N從點B出發(fā)向點A運動，到點A時兩點停止運動，M，N的速度分別為2個單位長度/秒，3個單位長度/秒，當時，求運動的時間t的值．
6．如圖1，已知點A（0，a），點B（b，0），其中a，b滿足，點C（m，n）在第一象限，已知m的算術平方根是2，64的立方根為n．
(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；
(2)求出△ABC的面積；
(3)如圖2，延長BC交y軸于D點，求點D的坐標；
(4)如圖3，過點C作CEAB交y軸于E點，求E點的坐標．
7．如圖，在下面直角坐標系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（?a，b）三點，其中a是的整數(shù)部分，b＋1的平方根是±2．
（1）請求出a、b的值；
（2）求出?ABC的面積；
（3）在第四象限中是否存在點P到兩坐標軸的距離相等且使四邊形AOPB的面積與?ABC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（a，0），B（c，c），C（0，c），且滿足（a+8）2+＝0，P點從A點出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)沿y軸負方向以每秒1個單位長度的速度勻速移動．
（1）直接寫出點B的坐標，AO和BC位置關系是 ；
（2）如圖（1）當P、Q分別在線段AO，OC上時，連接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出點P的坐標；
（3）在P、Q的運動過程中，當∠CBQ＝30°時，請直接寫出∠OPQ和∠PQB的數(shù)量關系．
9．已知，在平面直角坐標系中，點A， B的坐標分別是(a， 0)，(b， 0)且．
(1)求a， b的值；
(2)在y軸上是否存在點C，使三角形ABC的面積是12？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)已知點P是y軸正半軸上一點，且到x軸的距離為3，若點P沿x軸負半軸方向以每秒1個單位長度平移至點Q，當運動時間t為多少秒時，四邊形ABPQ的面積S為15個平方單位？寫出此時點Q的坐標．
10．如圖1,在平面直角坐標系中，點A(a，0)，B(0，b),且a、b滿足.
(1)請直接寫出A、B兩點的坐標：點A為_______,點B為________.
(2)若點P的坐標為(-2，n)，且三角形PAB的面積為7，求n的值.
(3)如圖2，過點B作BC//x軸，點Q為x軸上點A左側的一動點，連結QB，BM平分∠QBA，BN平分∠CBA，當點Q運動時，∠MBN:∠AQB的值是否發(fā)生變化？如果 變化，請說明理由；如果不變，請求出其值.
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（，0），B（，0），C（﹣1，2），且．
(1)求的值；
(2)若點M在軸上運動，使三角形COM的面積是三角形ABC面積的2倍，請求出M的坐標；
(3)過點C作AB的平行線，交y軸于點D，連接BD，過A作BD的平行線AE，交直線CD于點E，再作EG⊥軸于G.動點P從D出發(fā)，沿DE→EG方向運動，速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒，請回答：
①求P在運動過程中的坐標（用含t的式子表示出來）；
②當6秒﹤t﹤8秒時，設∠EDP=,∠PBG=,∠DPB=,請求出之間的數(shù)量關系．
12．如圖1，在平面直角坐標系中，，，，且
(1)求，的值．
(2)①在軸的正半軸上存在一點，使，求點的坐標；
②在坐標軸的其它位置是否存在點，使仍然成立，若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標．
(3)如圖2，過點作軸交軸于點，點為線段延長線上一動點，連接，平分，．當點運動時，的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．
13．如圖，在平面直角坐標系中，，，，且．
(1)求a，b的值；
(2)①在x軸的正半軸上存在一點M，（使的面積的面積，求出點M的坐標；
②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使的面積的面積恒成立？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標．
專題15 坐標系中的面積（和實數(shù)有關）
【例題講解】
如圖，在平面直角坐標系中，，，，且．
(1)求a，b的值；
(2)①在x軸的正半軸上存在一點M，（使的面積的面積，求出點M的坐標；
②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使的面積的面積恒成立？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標．
（1）解：∵∴，解得：，
（2）①點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(3，0)，設M的坐標為(0，m)，
根據(jù)題意，解得：m=5，所以M點坐標為(0，5).
②存在.當點M在y軸上，設M的坐標為(0，m)，根據(jù)題意得，
解得m=±5，此時點M的坐標為(0，-5)(0，5).
當點M在x軸上，設M的坐標為(n，0)，根據(jù)題意得，
解得n=±2.5，此時點M的坐標為(-2.5，0)(2.5，0)，
綜上所述：點M的坐標為(-5，0)，(5，0)，(-2.5，0)，(2.5，0)．
【綜合解答】
1．在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），且a、b滿足．
(1)求OA，OB長度；
(2)在x軸上是否存在點C，使得三角形ABC的面積是12；若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)若點P從點B出發(fā)沿著y軸運動（點P不與原點、B點重合）速度為每秒2個單位長度，連接AB、AP，當運動的時間t為幾秒時， ？并求出此時點P的坐標．
【答案】(1)
(2)存在；或
(3)當移動2.25秒，此時 或移動4.5秒，此時時，．
【分析】（1）根據(jù)非負性求出的值即可；
（2）利用進行計算即可；
（3），，利用進行計算即可．
（1）
解：∵， ，
∴，，
解得：，
∴，
∴；
（2）
解：存在．
設
則：，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或
（3）
解：設
，
，
∵，
∴，
∴ ，
整理得：，
解得：或，
當時：（秒），
當時：（秒）；
∴當移動2.25秒，此時 或移動4.5秒，此時時，．
【點睛】本題考查平面直角坐標系下的點的坐標和動點問題，根據(jù)題意準確的找出點的位置是解題的關鍵．
2．如圖1，已知，點A（1，a），AH⊥x軸，垂足為H，將線段AO平移至線段BC，點B（b，0），其中點A與點B對應、點O與點C對應，a、b滿足．
(1)填空：①直接寫出A、B、C三點的坐標A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接寫出三角形AOH的面積 ．
(2)如圖2，連OC，動點P從點B開始在x軸上以每秒2個單位的速度向左運動，同時點Q從點O開始在y軸上以每秒1個單位的速度向下運動．若經(jīng)過t秒，三角形AOP與三角形COQ的面積相等，試求t的值及點P的坐標．
【答案】(1)①1，4；3，0；2，-4；②2
(2)t＝1.2時，P(0.6，0)；t＝2時，P(-1，0)
【分析】（1）①利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，可得結論；②利用三角形面積公式求解即可；
（2）分兩種情形：①當點P在線段OB上，②當點P在BO的延長線上時，分別利用面積關系，構建方程，可得結論．
（1）
解：①∵，
又∵≥0，，
∴a＝4，b＝3，
∴A(1，4)，B(3，0)，
∵B是由A平移得到的，
∴A向右平移2個單位，向下平移4個單位得到B，
∴點C是由點O向右平移2個單位，向下平移4個單位得到的，
∴C(2，-4)．
故答案為：1，4；3，0；2，-4．
②．
故答案為：2．
（2）
解：①當點P在線段OB上，
由三角形AOP與三角形COQ的面積相等得：
OP·=OQ·，
∴×(3﹣2t)×4＝×2t，
解得t＝1.2．
此時P(0.6，0)．
②當點P在BO的延長線上時，
由三角形AOP與三角形COQ的面積相等得：
OP·=OQ·，
×(2t-3) ×4＝×2×t，
解得t＝2，
此時P(-1，0)，
綜上所述，t＝1.2時，P(0.6，0)；t＝2時，P(-1，0)．
【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化-平移，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
3．已知，點，軸，垂足為，將線段平移至線段，點，其中點A與點對應，點與點對應，、滿足．
(1)填空：
①直接寫出A、、三點的坐標______、______、______；
②直接寫出三角形的面積______．
(2)如圖，若點在線段上，證明：．
(3)如圖，連，動點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向左運動，同時點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向下運動．若經(jīng)過秒，三角形與三角形的面積相等，試求的值及點的坐標．
【答案】(1)①，，；②2
(2)見解析
(3)時，；時，．
【分析】（1）①利用非負數(shù)的性質(zhì)求出，的值，可得結論．②利用三角形面積公式求解即可．
（2）連接，根據(jù)的面積的面積的面積，構建關系式，可得結論．
（3）分兩種情形：①當點在線段上，②當點在的延長線上時，分別利用面積關系，構建方程，可得結論．
（1）
解：①，
又，，
，，
，，
，，
點A與點對應，點與點對應，
點的橫坐標為，縱坐標為，
，
故答案為：1，4；3，0；2，．
②的面積，
故答案為：2．
（2）
證明：如圖，連接．
的面積的面積的面積，
，
．
（3）
解：①當點在線段上，，
解得．
此時．
當點在的延長線上時，，
解得，
此時，
綜上所述，時，；時，．
【點睛】本題考查坐標與圖形變化平移，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
4．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中，滿足
(1)填空： ， ；
(2)如果在第三象限內(nèi)有一點，請用含的式子表示三角形的面積
(3)在（2）的條件下，當時，在軸上有一點，使得三角形的面積與三角形的面積相等，請求出點的坐標．
【答案】(1)-1，3
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性，即可得出答案；
（2）過點M作MN⊥x軸于點N，MN為M點縱坐標的絕對值，也是三角形的高，根據(jù)三角形面積公式即可得出答案；
（3）設BM與y軸的交點為Q點，先用待定系數(shù)法求出BM的解析式，再求出Q點坐標，根據(jù)P點所在的位置分類討論，分為P點在Q點下方或P點在Q點上方兩種情況，設出P點坐標，通過代入，即可求出P點坐標．
（1）
∵，，，
∴且，
∴，，
故答案為：-1，3；
（2）
過點M作MN⊥x軸于點N，
∵，，
∴AB=3-(-1)=4
∵位于第三象限
∴
∴
故答案為：；
（3）
當時，，
設BM與y軸的交點為Q點，BM的解析式為，
將和代入得：
，解得，
∴BM的解析式為，
當x=0時，，
∴,
設，當P點位于Q點下方時，如圖所示，
∴
解得，
∴；
當P點位于Q點上方時，如圖所示，
解得，
∴；
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)中的幾何問題，包括已知點表示三角形面積，以及已知三角形面積找出點的坐標，分類討論思想和靈活運用函數(shù)知識和幾何知識是本題的關鍵．
5．如圖，C為x軸正半軸上一動點，，，且a，b滿足，．
(1)求△ABO的面積；
(2)求點O到AB的距離；
(3)如圖2，若，軸于點C，點M從點P出發(fā)，在射線PA上運動，同時另一動點N從點B出發(fā)向點A運動，到點A時兩點停止運動，M，N的速度分別為2個單位長度/秒，3個單位長度/秒，當時，求運動的時間t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，從而得到OA，OB的長，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（2）如圖，過點O作OG⊥AB于G，利用面積法進行求解即可；
（3）設運動時間為t秒，則PM＝2t，BN＝3t，然后分別用t表示出兩個三角形的面積，結合題目所給條件列出方程求解即可．
(1)
∵，，
∴，
∴a＝6，b＝－8，
∴點，點，
∴，OB＝8，
∴；
(2)
解：如圖，過點O作OG⊥AB于G，
∵，
∴，
∴點O到AB的距離為；
(3)
解：設運動時間為t秒，則PM＝2t，BN＝3t，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∵，
答：運動時間為秒或秒．
【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形，三角形面積，解絕對值方程等等，正確理解題意求出a、b是解題的關鍵．
6．如圖1，已知點A（0，a），點B（b，0），其中a，b滿足，點C（m，n）在第一象限，已知m的算術平方根是2，64的立方根為n．
(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；
(2)求出△ABC的面積；
(3)如圖2，延長BC交y軸于D點，求點D的坐標；
(4)如圖3，過點C作CEAB交y軸于E點，求E點的坐標．
【答案】(1)A（0，2），B（8，0），C（4，4）
(2)12
(3)點D（0，8）
(4)點E（0，5）
【分析】（1）由非負性和平方根的定義可求解；
（2）由面積和差關系可求解；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)可求解；
（4）由三角形的面積關系可求解．
（1）解：∵∴2a+b-12=0，a-b+6=0，∴a=2，b=8，∴點A（0，2），點B（8，0），∵m的算術平方根是2，64的立方根為n，∴m=4，n=4，∴點C（4，4）．
（2）如圖1，過點C作CF⊥OB于F，∵點A（0，2），點B（8，0），點C（4，4），∴OA=2，OB=8，CF=OF=4，∴BF=OB-OF=4，∵S△ABC=S△BCF+S梯形AOFC-S△AOB，∴．
（3）過點C作CF⊥x軸，∵CF=BF=4，∠CFB=90°，∴∠CBF=∠BCF=45°，∴∠ODB=45°∴∠OBD=∠ODB，∴OD=OB=8，∴點D（0，8）．
（4）如圖3，連接BE，∵CEAB，∴，∴，∴AE=3，∴點E（0，5）．
【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，算術平方根，立方根，平行線的性質(zhì)，坐標與圖形，靈活運用以上知識是解題的關鍵．
7．如圖，在下面直角坐標系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（?a，b）三點，其中a是的整數(shù)部分，b＋1的平方根是±2．
（1）請求出a、b的值；
（2）求出?ABC的面積；
（3）在第四象限中是否存在點P到兩坐標軸的距離相等且使四邊形AOPB的面積與?ABC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1），;（2）;（3），．
【分析】（1）根據(jù)題意求出，的值即可．
（2）連接，根據(jù)，求解即可．
（3）由題意可以假設，構建方程求出即可解決問題．
【詳解】解：（1）是的整數(shù)部分，的平方根是，
，．
（2）連接．由（1）可知，，，，
．
（3）設，
由題意，，
，
，
，．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了四邊形的面積，平方根的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用分割法求三角形面積，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（a，0），B（c，c），C（0，c），且滿足（a+8）2+＝0，P點從A點出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)沿y軸負方向以每秒1個單位長度的速度勻速移動．
（1）直接寫出點B的坐標，AO和BC位置關系是 ；
（2）如圖（1）當P、Q分別在線段AO，OC上時，連接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出點P的坐標；
（3）在P、Q的運動過程中，當∠CBQ＝30°時，請直接寫出∠OPQ和∠PQB的數(shù)量關系．
【答案】（1）B（﹣4，﹣4），平行；（2）P（﹣，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°
【分析】（1）由二次根式和平方數(shù)的非負性即可確定a和b的值，從而確定點A，B，C的坐標，由B，C的縱坐標相同得出BC//AO；
（2）表示出t秒時點P和點Q的坐標，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面積，列出關于t的方程，求出t即可確定P的坐標；
（3）過點Q作QH//x軸，交AB與點H，由平行線的性質(zhì)即可確定∠OPQ和∠PQB的數(shù)量關系．
【詳解】解：（1）∵，
∴a+8＝0，c+4＝0，
∴a＝﹣8，c＝﹣4，
∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴BC//AO，
故答案為：平行；
（2）過B點作BE⊥AO于E，設時間經(jīng)過t秒，S△PAB＝4S△QBC，則AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，
∴S△APB＝AP?BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ?BC＝（4?t）×4＝8?2t，
∵S△APB＝4S△BCQ，
∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝ ，
∴AP＝2t＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝ ，
∴點P的坐標為（，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下：
當點Q在點C的上方時，過Q點作QH∥AO，如圖2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；
②當點Q在點C的下方時；過Q點作HJ∥AO 如圖3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，
∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，
即∠BQP＋∠OPQ＝150°，
綜上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
【點睛】本題考查的是三角形的面積計算、坐標與圖形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握非負數(shù)的性質(zhì)、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
9．已知，在平面直角坐標系中，點A， B的坐標分別是(a， 0)，(b， 0)且．
(1)求a， b的值；
(2)在y軸上是否存在點C，使三角形ABC的面積是12？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)已知點P是y軸正半軸上一點，且到x軸的距離為3，若點P沿x軸負半軸方向以每秒1個單位長度平移至點Q，當運動時間t為多少秒時，四邊形ABPQ的面積S為15個平方單位？寫出此時點Q的坐標．
【答案】（1）a=-4，b=2；（2）存在，點C的坐標為（0，4）或（0，-4）；（3）點P沿x軸負半軸方向以4秒平移至點Q，所以點Q的坐標為（-4，3）．
【分析】（1）根據(jù)二次根式與絕對值的非負性可得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2；
（2）設點C到x軸的距離為h，利用三角形的面積公式可解得h=4，要考慮點C在y軸正半軸與負半軸兩種情況；
（3）先根據(jù)四邊形ABPQ的面積積S＝(6+PQ)×3＝15解得PQ=4，再求得點Q的坐標為（-4，3）．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得
a+4=0，b-2=0，
解得a=-4，b=2；
（2）存在．設點C到x軸的距離為h，
則S△ABC＝AB?h＝×6h＝12，
解得h=4，
所以點C的坐標為（0，4）或（0，-4）；
（3）四邊形ABPQ的面積S＝ (6+PQ)×3＝15，
解得PQ=4．
∴點P沿x軸負半軸方向以4秒平移至點Q，所以點Q的坐標為（-4，3）．
10．如圖1,在平面直角坐標系中，點A(a，0)，B(0，b),且a、b滿足.
(1)請直接寫出A、B兩點的坐標：點A為_______,點B為________.
(2)若點P的坐標為(-2，n)，且三角形PAB的面積為7，求n的值.
(3)如圖2，過點B作BC//x軸，點Q為x軸上點A左側的一動點，連結QB，BM平分∠QBA，BN平分∠CBA，當點Q運動時，∠MBN:∠AQB的值是否發(fā)生變化？如果 變化，請說明理由；如果不變，請求出其值.
【答案】(1)A(2,0)，B(0，﹣4)；(2)n=﹣1或﹣15；(3)∠MBN:∠AQB=1:2.
【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性、偶次方的非負性分別求出a、b，得到點A，B的坐標；
（2）設AP與y軸交于點C，由三角形PAB的面積和高可以求得底邊BC長為3.5，得出C的坐標.再利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，然后把點P的橫坐﹣2代入解析式即可求得答案；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和兩直線平行，內(nèi)錯角相等，易得∠MBN:∠AQB=1:2.
【詳解】解：（1）∵.
∴,
解得：a=2,b=﹣4
∴A(2,0)，B(0，﹣4)；
(2)如圖 ,因為P(-2,n),所以點P在直線x=﹣2上，連接AP，BP，AP交y軸于點C,設C(0,a).
由圖可知△ABP可分為△ABC和△BPC，
∵A(2,0),P(-2,n)
∴△ABC和△BPC以BC為底邊，高都是2，
∴=+=BC·2+BC·2=2BC
∵=7,
∴2BC=7,BC=3.5
∵B(0,﹣4),C(0,a)
∴BC=｜a+4｜=3.5
∴a=﹣0.5或﹣7.5，即C(0,﹣0.5)或（0，﹣7.5）
設直線AC解析式為y=kx+b,把(2,0), (0,﹣0.5)代入求解可得y=x-
當x=﹣2時，y=﹣1;
把(2,0), (0,﹣7.5)代入y=kx+b求解可得y=x-
當x=﹣2時，y=﹣15;
∴P(﹣2,﹣1)或P(﹣2,﹣15)
故答案為n=﹣1或﹣15.
(3)如圖，
∵BM平分∠ABQ
∴∠1=∠2
∵BN平分∠ABC
∴∠ABN=∠NBC，即∠1+∠2+∠3=∠4
∴∠MBN=∠2+∠3
∵x軸//BC
∴∠AQB=∠CBQ=∠3+∠4
∴∠AQB=∠3+∠1+∠2+∠3=∠3+∠2+∠2+∠3=2（∠2+∠3）
∴∠MBN:∠AQB=1:2.
【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)、平移變換、三角形的面積計算，掌握坐標與圖形的關系、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（，0），B（，0），C（﹣1，2），且．
(1)求的值；
(2)若點M在軸上運動，使三角形COM的面積是三角形ABC面積的2倍，請求出M的坐標；
(3)過點C作AB的平行線，交y軸于點D，連接BD，過A作BD的平行線AE，交直線CD于點E，再作EG⊥軸于G.動點P從D出發(fā)，沿DE→EG方向運動，速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒，請回答：
①求P在運動過程中的坐標（用含t的式子表示出來）；
②當6秒﹤t﹤8秒時，設∠EDP=,∠PBG=,∠DPB=,請求出之間的數(shù)量關系．
【答案】(1)，
(2)或
(3)①時，；時，
②
【分析】（1）根據(jù)平方和二次根式的非負性可得a+2=0，b-4=0，從而得出a和b的值；
（2）表示出△COM和△ABC的面積，可得OM的長，從而得出點M的坐標；
（3）①分點P在線段ED或EG上，分別得出點P的坐標；
②當6＜t＜8時，可知點P在EG上，過點P作PFED，則PFEDBG，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得答案．
（1）
解：（1）∵，
∴a+2=0，b-4=0，
∴a=-2，b=4；
（2）
解：∵三角形COM的面積是三角形ABC面積的2倍，
∴OM×2=2××（4+2）×2，
解得OM=12，
∴M（12，0）或（-12，0）；
（3）
解：①當點P在DE上時，P（-t，2），
當點P在EG上時，P（-6，8-t）；
②當6＜t＜8時，可知點P在EG上，
過點P作PFED，則PFEDBG，
∴∠EDP=∠DPF，∠PBG=∠BPF，
∴∠DPB=∠EDP+∠PBG，
即γ=α+β．
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了平方和二次根式的非負性，三角形的面積，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握坐標和線段長度之間的轉化以及平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．
12．如圖1，在平面直角坐標系中，，，，且
(1)求，的值．
(2)①在軸的正半軸上存在一點，使，求點的坐標；
②在坐標軸的其它位置是否存在點，使仍然成立，若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標．
(3)如圖2，過點作軸交軸于點，點為線段延長線上一動點，連接，平分，．當點運動時，的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)
【分析】（1）根據(jù)平方和絕對值的非負性求解．
（2）①設出點M的坐標，利用M的坐標表示出長度后借助面積公式和面積關系求解；
②在坐標軸的不同位置設出不同的M的坐標，再根據(jù)題中面積關系分類討論求解．
（3）根據(jù)平行線、角平分線的性質(zhì)得出、的關系，再得出的值為定值，從而求得其值．
【詳解】（1）∵，，，
∴，，
解得，．
（2）①設，
由題意可得：
，，
中OM邊上的高為1，中AB邊上的高為2，
∵，
∴，
解得，
②由（1）得，
當M在y軸負半軸上時，有，
解得，
當M在x軸上時，設，
則，中OM邊上的高為2，
則，
解得，
，，
（3）
如圖所示，
由題意可得：
平分，
，
軸
，
【點睛】本題考查利用坐標計算長度，三角形面積的計算，角平分線、平行線的性質(zhì)及分類討論的思想，解決本題的關鍵是熟悉各性質(zhì)并綜合應用．

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