1．如圖，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求證：ABCD；
(2)射線BF、DF分別在∠ABE、∠CDE內(nèi)部，且∠BFD＝30°．當∠ABE＝3∠ABF，試探究的值；畫出圖形，并說明理由．
(3)H是直線CD上一動點（不與點D重合），BI平分∠HBD，試探究∠EBI與∠BHD的數(shù)量關系，畫出圖形，并說明理由．
2．在平面直角坐標系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的邊與x軸分別相交于O、G兩點，與直線DM分別交于E、F點，∠ACB＝90°．
(1)將直角三角形如圖1位置擺放，如果∠AOG＝46°，則∠CEF＝ ；
(2)將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，請直接寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，請判斷∠NEF與∠AOG之間的等量關系，并說明理由．
(3)將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝140°，延長AC交DM于點Q，點P是射線GF上一動點，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關系，請直接寫出結論（題中的所有角都大于0°小于180°）： ．
3．已知直線l1l2，直線l3交l1于點C，交l2于點D，P是直線CD上一點．
(1)如圖1，當點P在線段CD上時，請你探究∠1，∠2，∠3之間的關系，并說明理由；
(2)如圖2，當點P在線段DC的延長線上時，∠1，∠2，∠3之間的關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請找出它們之間的關系，并說明理由；
(3)如圖3，當點P在線段CD的延長線上時，請直接寫出結論．
4．如圖1，已知a∥b，點A、B在直線a上，點C、D在直線b上，且AD⊥BC于E．
（1）求證：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如圖2，BF平分∠ABC交AD于點F，DG平分∠ADC交BC于點G，求∠AFB+∠CGD的度數(shù)；
（3）如圖3，P為線段AB上一點，I為線段BC上一點，連接PI，N為∠IPB的角平分線上一點，且∠NCD=∠BCN，則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數(shù)量關系是______．
5．如圖，點E、F、分別在直線AB，CD上，P為AB，CD之間一點，連接PE，過點P作PG//EF，交CD于點G，∠CGP＝∠BEF．
(1)如圖1，求證：AB//CD；
(2)如圖2，EF平分∠PEB，H為線段GF上一點，連接PH．
①若∠FHP＋∠PEF＝200°，求∠HPG的度數(shù)：
②如圖3，HQ平分∠CHP，交PG于點Q．若∠HPE＝α，直接寫出∠HQP的度數(shù)為（結果用含α的式子表示）．
6．已知：．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點F在、之間，平分交于點G，若，求的大??；
(3)如圖3，點P、Q分別在、上，點M在下方，點N在兩平行線之間．，請?zhí)骄恐g的關系．
7．如圖1，直線分別交直線、于點E、F（點F在點E左側），動點M、N不在，，上．若平分，連．
(1)求證：；
(2)如圖2所示，點M、N停在圖2位置，且，求度數(shù)；
(3)如圖3，點M在左側，點N在下方運動，請直接寫出、、三個角之間存在的數(shù)量關系______________________．（M、F、N三點不共線）
8．已知：AB∥CD．
(1)如圖1，求證：∠A＝∠E+∠C；
(2)如圖2，點F在AB、CD之間，∠BAF＝5∠E，AG平分∠BAF交CD于點G，若EH∥AG，∠E＝30°，求∠EHG的大小；
(3)如圖3，點P、Q分別在AB、CD上，點M在CD下方，點N在兩平行線之間．∠APM＝3∠APN，∠NQD＝3∠MQD，請?zhí)骄俊螹、∠N、∠MPN之間的關系．
9．已知，直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是直線AB與CD外一點，連接PE、PF．
(1)如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數(shù)：
(2)如圖2，過點E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長線于點N，若∠M與3∠N互補，試探索直線EP與直線FN的位置關系，并說明理由；
(3)若點P在直線AB的上方且不在直線EF上，作∠DFP的角平分線FN交∠AEP的角平分線EM所在直線于點N，請直接寫出∠EPF與∠ENF的數(shù)量關系．
10．已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內(nèi)一點，連HM，HN．
(1)如圖1，延長HN至G，∠BMH和∠GND的角平分線相交于點E．
①若∠BME=25°，∠END=75°，則∠H的度數(shù)為_______；
②探究∠MEN與∠MHN的數(shù)量關系，并給予證明；
(2)如圖2，∠BMH和∠HND的角平分線相交于點E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延長線于點Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度數(shù)．
11．如圖，直線，點A為直線a上的動點，點B為直線a、b之間的定點，點C為直線上的定點．
(1)當點A運動到圖1所示位置時，容易發(fā)現(xiàn)之間的數(shù)量關系為 ；
(2)如圖2，當時，作等邊，平分，交直線a于點M，平分，交直線b于點N，將繞點B轉(zhuǎn)動，且始終在的內(nèi)部時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說明理由；
(3)點F為直線a上一點，使得，的平分線交直線a于點G，當點A在直線a上運動時（A，B，C三點不共線），探究并直接寫出與之間的數(shù)量關系．（本問中的角均為小于180°的角）
12．如圖1，，直線與、分別交于點A、D，點B在直線上，過點B作，垂足為點G．
(1)__________；
(2)若點C在線段上（不與A、D、G重合），連接，和的平分線交于點H，請在圖2中補全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關系__________；
(3)若直線的位置如圖3所示，點C在線段上（不與A、D、G重合），連接，和的平分線交于點H，請直接寫出與的數(shù)量關系__________．
13．（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．
（2）應用：如圖2，ABCD，點在、之間，與交于點，與交于點．若，，則的大小是多少？
（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點、分別在直線、上，點是直線上的一個動點，且不在直線上，連接、．若，則 度（請直接寫出答案）．
14．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系點A（0，a），C（b，0）滿足．D為線段AC的中點．在平面直角坐標系中以任意兩點P(x 1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為，．
（1）則A點的坐標為 ；點C的坐標為 ．D點的坐標為 ．
（2）已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點 Q 到 達 A 點 整 個 運 動 隨 之 結 束 . 設 運 動 時 間 為 t （t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）點F是線段AC上一點，滿足∠FOC＝∠FCO，點G是第二象限中一點，使得∠AOG＝∠AOF．點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的值，若變化請說明理由．
難點特訓（一）和平行線有關的壓軸大題
1．如圖，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求證：ABCD；
(2)射線BF、DF分別在∠ABE、∠CDE內(nèi)部，且∠BFD＝30°．當∠ABE＝3∠ABF，試探究的值；畫出圖形，并說明理由．
(3)H是直線CD上一動點（不與點D重合），BI平分∠HBD，試探究∠EBI與∠BHD的數(shù)量關系，畫出圖形，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°?2∠EBI
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行證明；
（2）作EPAB，F(xiàn)QAB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分點H在點D的左邊和右邊兩種情況，表示出∠ABH和∠EBI，從而得解．
【詳解】（1）證明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，
∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，
∴ABCD；
（2）作EPAB，F(xiàn)QAB，如圖，
又∵ABCD，
∴ABCDEP，ABCDFQ，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，
∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF
∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED，
∴＝
（3）∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD＝2∠IBD，
如圖1，點H在點D的左邊時，∠ABH＝∠ABD?∠HBD，
∠EBI＝∠EBD?∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵ABCD，
∴∠BHD＝∠ABH，
∴∠BHD＝2∠EBI，
如圖2，點H在點D的右邊時，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，
∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵ABCD，
∴∠BHD＝180°?∠ABH，
∴∠BHD＝180°?2∠EBI，
綜上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°?2∠EBI．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，難點在于（3）分情況討論并理清圖中各角度之間的關系．
2．在平面直角坐標系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的邊與x軸分別相交于O、G兩點，與直線DM分別交于E、F點，∠ACB＝90°．
(1)將直角三角形如圖1位置擺放，如果∠AOG＝46°，則∠CEF＝ ；
(2)將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，請直接寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，請判斷∠NEF與∠AOG之間的等量關系，并說明理由．
(3)將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝140°，延長AC交DM于點Q，點P是射線GF上一動點，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關系，請直接寫出結論（題中的所有角都大于0°小于180°）： ．
【答案】(1)136°
(2)①∠NEF＝2∠AOG；②∠AOG＋∠NEF＝90°；理由見解析
(3)∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF
【分析】（1）作軸，可得軸，由平行線性質(zhì)可得∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，進而可求∠CEF的大小；
（2）①過點C作軸，可得軸，則∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，結合已知條件與鄰補角的定義可得∠NEC＝∠CEK，根據(jù)∠ACQ＋∠ECQ＝90°，可得∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°?∠AOG，結合∠CEK＋∠NEC＋∠NEF＝180°，可得出答案；
②由軸，可得∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，結合已知條件與鄰補角的定義可得∠NED＝∠CEK，最后由∠ACQ＋∠ECQ＝90°，可得出答案；
（3）分兩種情況討論：當點P在GF上時，過點P作，可得，由平行線性質(zhì)可得∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，可得∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，進而可得∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當點P在線段GF的延長線上時，過點P作，可得，由平行線性質(zhì)可得∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，又∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，可得∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，進而可得140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【詳解】（1）解：如圖1，作軸，
∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），
∴軸，
∴軸，
∴∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠CEF，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°．
故答案為136°．
（2）解：①過點C作軸，如圖2所示：
∴軸，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NEC＋∠CEF＝180°，∠CEK＋∠CEF＝180°，
∴∠NEC＝∠CEK，
∵∠ACQ＋∠ECQ＝90°，
∴∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°?∠ACQ＝90°?∠AOG，
∵∠CEK＋∠NEC＋∠NEF＝180°，
∴2（90°?∠AOG）＋∠NEF＝180°，
整理得∠NEF＝2∠AOG．
故答案為：∠NEF＝2∠AOG．
②∠NEF＋∠AOG＝90°．
理由如下：
∵軸，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NED＋∠CEF＝180°，∠CEK＋∠CEF＝180°，
∴∠NED＝∠CEK，
∵∠ACQ＋∠ECQ＝90°，
∴∠AOG＋∠NEF＝90°．
（3）解：如圖3，當點P在GF上時，過點P作，
∴，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如圖4，當點P在線段GF的延長線上時，過點P作，
∴，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF；
綜上分析可知，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
故答案為：∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，互余和互補，熟練掌握平行線的性質(zhì)、余角和補角的等量代換，是解題的關鍵．
3．已知直線l1l2，直線l3交l1于點C，交l2于點D，P是直線CD上一點．
(1)如圖1，當點P在線段CD上時，請你探究∠1，∠2，∠3之間的關系，并說明理由；
(2)如圖2，當點P在線段DC的延長線上時，∠1，∠2，∠3之間的關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請找出它們之間的關系，并說明理由；
(3)如圖3，當點P在線段CD的延長線上時，請直接寫出結論．
【答案】(1)∠3=∠1+∠2，理由見解析
(2)∠2=∠1+∠3，理由見解析
(3)∠1=∠2+∠3，理由見解析
【分析】（1）過點P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，結合圖形求解即可；
（2）過點P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，結合圖形求解即可；
（3）方法同（1）（2）類似，進行求解即可
【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l1∥l2
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠APB=∠1+∠2，
即∠3=∠1+∠2，
（2）如圖所示，過點P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l1∥l2
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，
∵∠APB+∠APE=∠BPE，
∴∠BPE=∠1+∠3，
即∠2=∠1+∠3，
（3）過點P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l1∥l2
∴∠1=∠BPE，∠2=∠APE，
∵∠EPB=∠APE+∠BPA，
∴∠BPE=∠2+∠3，
即∠1=∠2+∠3．
【點睛】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟練掌握運用平行線的性質(zhì)是解題關鍵．
4．如圖1，已知a∥b，點A、B在直線a上，點C、D在直線b上，且AD⊥BC于E．
（1）求證：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如圖2，BF平分∠ABC交AD于點F，DG平分∠ADC交BC于點G，求∠AFB+∠CGD的度數(shù)；
（3）如圖3，P為線段AB上一點，I為線段BC上一點，連接PI，N為∠IPB的角平分線上一點，且∠NCD=∠BCN，則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數(shù)量關系是______．
【答案】（1）見解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【分析】(1)如圖1中，過E作EF∥a，利用平行線的性質(zhì)即可解決問題；
(2)如圖2中，作FM∥a，GN∥b，設∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，證明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解決問題；
(3)分兩種情形：①當點N在∠DCB內(nèi)部時，②當點N′在直線CD的下方時，分別畫出圖形求解即可．
【詳解】(1)證明：如圖1中，過E作EF∥a．
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如圖2中，作FM∥a，GN∥b，
設∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如圖，設PN交CD于E．
當點N在∠DCB內(nèi)部時，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，
∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE=∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
當點N′在直線CD的下方時，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
綜上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，對頂角相等等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
5．如圖，點E、F、分別在直線AB，CD上，P為AB，CD之間一點，連接PE，過點P作PG//EF，交CD于點G，∠CGP＝∠BEF．
(1)如圖1，求證：AB//CD；
(2)如圖2，EF平分∠PEB，H為線段GF上一點，連接PH．
①若∠FHP＋∠PEF＝200°，求∠HPG的度數(shù)：
②如圖3，HQ平分∠CHP，交PG于點Q．若∠HPE＝α，直接寫出∠HQP的度數(shù)為（結果用含α的式子表示）．
【答案】(1)見解析；
(2)①∠HPG＝20°；②∠HQP＝
【分析】（1）證明∠CFE＝∠BEF，根據(jù)平行線的判定可得結論；
（2）①設∠PEF＝x，可得∠CGP＝∠CFE＝x，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義求出∠FHP＋∠PEF＝180°?x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，即可得出答案；
②延長PQ交CD于點G，則∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EPQ＋∠PEF＝180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠HQP＝∠EPQ＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，等量代換求出2∠HQP＝∠HPE＋180°即可解決問題．
（1）
證明：∵PGEF，
∴∠CGP＝∠CFE，
∵∠CGP＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠BEF，
∴ABCD；
（2）
解：①∵EF平分∠PEB，
∴∠PEF＝∠BEF，
設∠PEF＝x，則∠BEF＝x，
由（1）知∠CGP＝∠CFE＝∠BEF，
∴∠CGP＝∠CFE＝x，
∴∠HGP＝180°?∠CGP＝180°?x，
∵∠FHP＝∠HGP＋∠HPG＝180°?x＋∠HPG，
∴∠FHP＋∠PEF＝180°?x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，
∵∠FHP＋∠PEF＝200°，
∴∠HPG＝200°?180°＝20°；
②依題意，延長PQ交CD于點G，如圖所示，則∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，
∵PGEF，
∴∠EPQ＋∠PEF＝180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，
由（2）知∠GFE＝∠PEF，
∴∠PGF＝∠EPQ，
∵∠HQP＝∠PGF＋∠CHQ，
∴∠HQP＝∠EPQ＋∠CHQ，
∵HQ平分∠CHP，
∴∠CHQ＝∠PHQ，
∴∠HQP＝∠EPQ＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，
∵∠HPQ＋∠PHQ＝180°?∠HQP，
∴∠HQP＝∠HPE＋180°?∠HQP，
∴2∠HQP＝∠HPE＋180°，
∵∠HPE＝α，
∴2∠HQP＝α＋180°，
∴∠HQP＝．
【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識，靈活運用平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．
6．已知：．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點F在、之間，平分交于點G，若，求的大?。?br>(3)如圖3，點P、Q分別在、上，點M在下方，點N在兩平行線之間．，請?zhí)骄恐g的關系．
【答案】(1)證明見解析；
(2)60°；
(3)5∠MPN+3∠M-∠N=360°；
【分析】（1）過點E作EF∥AB，由AB∥CD可得EF∥CD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，再計算角的和即可證明；
（2）過點F作FM∥AG，由EH∥AG可得EH∥FM，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義由∠E依次求得∠EFM，∠MFA，∠FAG，∠BAG，∠AGC即可解答；
（3）過點N作NE∥AB，過點M作MF∥AB，由AB∥CD可得NE∥CD，MF∥CD，由∠APM=3∠APN可得∠MPN=2∠APN，根據(jù)平行線的性質(zhì)依次求得∠PNE，∠QNE，∠NQD，∠FMQ，再由∠APM+∠PMF=180°化簡求值即可；
（1）
證明：如圖，過點E作EF∥AB，
∵AB∥EF，
∴∠A=∠AEF，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CEF=∠C，
∴∠AEF=∠CEF+∠AEC=∠C+∠AEC，
∴∠A=∠C+∠AEC；
（2）
解：如圖，過點F作FM∥AG，
∵EH∥AG，F(xiàn)M∥AG，
∴EH∥FM，
∴∠EFM=∠E=30°，
∵∠EFA=5∠E=150°，
∴∠MFA=∠EFA-∠EFM=120°，
∵AG∥FM，
∴∠FAG=180°-∠MFA=60°，
∵AG平分∠BAF，
∴∠BAG=∠FAG=60°，
∵AB∥CD，
∴∠AGC=∠BAG=60°，
∵AG∥EH，
∴∠EHG=∠AGC=60°；
（3）
解：如圖，過點N作NE∥AB，過點M作MF∥AB，
∠APM=3∠APN，則∠MPN=2∠APN，
AB∥NE，則∠PNE=∠APN=∠MPN，
∴∠QNE=∠PNQ-∠PNE=∠PNQ-∠MPN，
NE∥AB，AB∥CD，則NE∥CD，
∴∠NQD=180°-∠QNE=180°-∠PNQ+∠MPN，
∠NQD=3∠MQD，則∠MQD=（180°-∠PNQ+∠MPN）=60°-∠PNQ+∠MPN，
MF∥AB，AB∥CD，則MF∥CD，
∴∠FMQ=∠MQD=60°-∠PNQ+∠MPN，
∴∠PMF=∠FMQ+∠PMQ=60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ，
∵AB∥MF，
∴∠APM+∠PMF=180°，
∴∠APN+∠MPN+∠PMF=180°，
∴∠MPN+∠MPN+60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ=180°，
∴∠MPN+∠PMQ-∠PNQ=120°，
∴5∠MPN+3∠PMQ-∠PNQ=360°；
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差計算等知識；正確作出輔助線是解題關鍵．
7．如圖1，直線分別交直線、于點E、F（點F在點E左側），動點M、N不在，，上．若平分，連．
(1)求證：；
(2)如圖2所示，點M、N停在圖2位置，且，求度數(shù)；
(3)如圖3，點M在左側，點N在下方運動，請直接寫出、、三個角之間存在的數(shù)量關系______________________．（M、F、N三點不共線）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)或
【分析】（1）只需要證明，即可證明；
（2）如圖所示，過點M作，過點N作，設，則，，依據(jù)平行線的性質(zhì)進行證明求解即可；
（3）分點M在CD上方和點M在CD下方兩種情況求解即可．
(1)
證明：∵與相交，
∴，
又∵，
∴，
∴；
(2)
解：如圖所示，過點M作，過點N作，設，則，，
∵，
∴，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
(3)
解：如圖2所示， 由（1）可知，∠AEF=2∠AEM，
∴；
如圖3所示，過點M作，過點N作，
同理可證∠EMG=∠AEM，∠NMG=∠MNT，，
∴，
∴
∴，
∴；
綜上所述，或．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，正確作出輔助線，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
8．已知：AB∥CD．
(1)如圖1，求證：∠A＝∠E+∠C；
(2)如圖2，點F在AB、CD之間，∠BAF＝5∠E，AG平分∠BAF交CD于點G，若EH∥AG，∠E＝30°，求∠EHG的大??；
(3)如圖3，點P、Q分別在AB、CD上，點M在CD下方，點N在兩平行線之間．∠APM＝3∠APN，∠NQD＝3∠MQD，請?zhí)骄俊螹、∠N、∠MPN之間的關系．
【答案】(1)見解析
(2)75°
(3)
【分析】（1）作EF∥AB．利用平行線的性質(zhì)即可證明；
（2）由AG平分∠BAF交CD于點G，以及平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；
（3）過點作，過點作，設， ∠MQD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，分別表示出，，，進而根據(jù)加減消元法即可求得．
（1）
證明：如圖，作EF∥AB．
∵AB∥CD，
，∠A=∠AEF，
∴∠C=∠CEF，
，
，
（2）
∠BAF＝5∠E，∠E＝30°，
AG平分∠BAF交CD于點G，
，
，
，
EH∥AG，，
，
，
（3）
如圖，過點作，過點作，
設，
∠APM＝3∠APN，，
，
，
，
，
設∠MQD，
∠NQD＝3∠MQD，
，
，
，
，
，
，
即，
①，
，
，
②，
①×3-②得：，
，
．
【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，平行線的性質(zhì)與判定探究角之間的關系，角平分線的意義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
9．已知，直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是直線AB與CD外一點，連接PE、PF．
(1)如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數(shù)：
(2)如圖2，過點E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長線于點N，若∠M與3∠N互補，試探索直線EP與直線FN的位置關系，并說明理由；
(3)若點P在直線AB的上方且不在直線EF上，作∠DFP的角平分線FN交∠AEP的角平分線EM所在直線于點N，請直接寫出∠EPF與∠ENF的數(shù)量關系．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)或
【分析】（1）延長EP交CD于點G，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，再根據(jù)補角和三角形外角的性質(zhì)計算，即可得到答案；
（2）延長EP交CD于點G，交AB于點Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，設，，根據(jù)平行線和三角形外角性質(zhì)，得，根據(jù)三角形外角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線的性質(zhì)分析，即可完成證明；
（3）根據(jù)題意，分P在直線EF左側和右側兩種情況分析；設，，根據(jù)角平分線、平行線和三角形外角的性質(zhì)，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計算，即可得到答案．
（1）
如圖，延長EP交CD于點G
∵AB∥CD，∠AEP＝45°，
∴
∵∠DFP＝105°
∴
∴；
（2）
如圖，延長EP交CD于點G，交AB于點Q
根據(jù)題意，得，
設，
∴
∵AB∥CD
∴，，即
∴
∵
∴，即
∵
∴
∴
將代入到
得：
∴
∴；
（3）
當點P在直線EF左側時，交AB于點Q，如圖，
根據(jù)題意，得：，
設，
∴
∵AB∥CD
∴
∴
∵，
∴
將代入到，得：
∴；
當點P在直線EF右側時，交AB于點Q，和相交于點K，如圖，
根據(jù)題意，得：，
設，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴
∵
∴
∴
將代入到，得：
∴．
【點睛】本題考查了角平分線、三角形、平行線的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、三角形外角、平行線的性質(zhì)，從而完成求解．
10．已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內(nèi)一點，連HM，HN．
(1)如圖1，延長HN至G，∠BMH和∠GND的角平分線相交于點E．
①若∠BME=25°，∠END=75°，則∠H的度數(shù)為_______；
②探究∠MEN與∠MHN的數(shù)量關系，并給予證明；
(2)如圖2，∠BMH和∠HND的角平分線相交于點E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延長線于點Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度數(shù)．
【答案】(1)①20°；②，理由見解析
(2)15°
【分析】（1）①設MH與CD的交點為O，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得、和的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；②過點E，作EP//AB，可得，類似求得與、的關系，即可求解；
（2）分別過點H、E作HI//AB，EF//AB，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，根據(jù)∠H＝150°，求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，利用三角形外角的性質(zhì)，即可求解．
（1）
①∵平分，平分
∴，
∴，
∵
∴
∴；
②，理由如下：
過點E，作EP//AB，如下圖：
∵平分，平分
∴，，
∴，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，即
可得：
（2）
分別過點H、E作HI//AB，EF//AB，如圖，
∵平分，平分，平分
∴，，，
∴
∵
∴
∴，，，，
∴，
，
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴．
【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質(zhì)，根據(jù)題意構造出輔助線．
11．如圖，直線，點A為直線a上的動點，點B為直線a、b之間的定點，點C為直線上的定點．
(1)當點A運動到圖1所示位置時，容易發(fā)現(xiàn)之間的數(shù)量關系為 ；
(2)如圖2，當時，作等邊，平分，交直線a于點M，平分，交直線b于點N，將繞點B轉(zhuǎn)動，且始終在的內(nèi)部時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說明理由；
(3)點F為直線a上一點，使得，的平分線交直線a于點G，當點A在直線a上運動時（A，B，C三點不共線），探究并直接寫出與之間的數(shù)量關系．（本問中的角均為小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不變化，；
(3)∠ECB＝2∠FBG或，理由見解析．
【分析】（1）過點B作，根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯角相等解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到，結合圖形計算，得到答案；
（3）分點F在點A的右側時和點F在點A的左側時兩種情況求解．
【詳解】（1）解：作BH∥a，如圖1：
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）的值不變化，理由如下：
如圖2：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
由（1）得，
∴；
（3）當點F在點A的右側時，如圖3：
，理由如下：
∵，
由（1）知，
∵的平分線交直線a于點G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
當點F在點A的左側時，如圖4，
，理由如下：
∵的平分線交直線a于點G，
∴．
∵，，
∴．
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上可知，與之間的數(shù)量關系為：或．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識，掌握平行線的性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關鍵．
12．如圖1，，直線與、分別交于點A、D，點B在直線上，過點B作，垂足為點G．
(1)__________；
(2)若點C在線段上（不與A、D、G重合），連接，和的平分線交于點H，請在圖2中補全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關系__________；
(3)若直線的位置如圖3所示，點C在線段上（不與A、D、G重合），連接，和的平分線交于點H，請直接寫出與的數(shù)量關系__________．
【答案】(1)
(2)2∠AHB-∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°
(3)2∠AHB+∠CBG=270°或2∠AHB-∠CBG=270°
【分析】（1）先證明從而可得答案；
（2）分兩種情況討論：當點C在AG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB-∠CBG=90°；當點C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=90°；
（3）分兩種情況討論：當點C在AG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=270°；當C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB-∠CBG=270°．
（1）
解：




故答案為：.
（2）
2∠AHB-∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，
證明： ①如圖，當點C在AG上時，
∵， ∴∠MAC=∠BDC，
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，
∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，
∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，
∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH），
同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，
∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH）=2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB=∠CBG+90°，
∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB-∠CBG=90°；
②如圖，當點C在DG上時，
同理可得，∠ACB=2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°-∠CBG，
∴2∠AHB=90°-∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；
（3）
2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB-∠CBG=270°．
①如圖，當點C在AG上時，由，可得：



∠ACB=360°-∠MAC-∠PBC=360°-2（∠MAH+∠PBH），
又同理可得：∠AHB=∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB=360°-2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB=90°+∠CBG，
∴360°-2∠AHB=90°+∠CBG， 即2∠AHB+∠CBG=270°；
②如圖，當C在DG上時，
同理可得，∠ACB=360°-2（∠MAH+∠PBH）， ∠AHB=∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB=360°-2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°-∠CBG，
∴360°-2∠AHB=90°-∠CBG，
∴2∠AHB-∠CBG=270°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的運用，三角形的外角的性質(zhì)的運用，準確識圖并理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵，難點在于利用三角形外角性質(zhì)進行計算．
13．（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．
（2）應用：如圖2，ABCD，點在、之間，與交于點，與交于點．若，，則的大小是多少？
（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點、分別在直線、上，點是直線上的一個動點，且不在直線上，連接、．若，則 度（請直接寫出答案）．
【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）70或290
【分析】（1）由可得，，，則；
（2）利用（1）中的結論可知，，則可得的度數(shù)為，由對頂角相等可得；
（3）結合（1）中的結論可得，注意需要討論是鈍角或是銳角時兩種情況．
【詳解】解：（1）如圖1，，
，，
，
．
（2）由（1）中探究可知，，
，且，
，
；
（3）如圖，當為鈍角時，
由（1）中結論可知，，
；
當為銳角時，如圖，
由（1）中結論可知，，
即，
綜上，或．
故答案為：70或290．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，難度適中，觀察圖形，推出角之間的和差關系是解題關鍵．
14．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系點A（0，a），C（b，0）滿足．D為線段AC的中點．在平面直角坐標系中以任意兩點P(x 1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為，．
（1）則A點的坐標為 ；點C的坐標為 ．D點的坐標為 ．
（2）已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點 Q 到 達 A 點 整 個 運 動 隨 之 結 束 . 設 運 動 時 間 為 t （t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）點F是線段AC上一點，滿足∠FOC＝∠FCO，點G是第二象限中一點，使得∠AOG＝∠AOF．點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的值，若變化請說明理由．
【答案】（1）(0，4)，(2，0)，(1，2)；（2）1，理由見解析；（3）2，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性，求得a，b的值，再利用中點坐標公式即可得出答案；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根據(jù)S△ODP＝S△ODQ，列出關于t的方程，求得t的值即可；
（3）過H點作AC的平行線，交x軸于P，先判定OG∥AC，再根據(jù)角的和差關系以及平行線的性質(zhì)，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入進行計算即可．
【詳解】解：（1）∵．
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
∴x＝＝1，y＝＝2，
∴D（1，2）．
故答案為（0，4），（2，0），（1，2）．
（2）如圖1中，
由條件可知：P點從C點運動到O點時間為2秒，Q點從O點運動到A點時間為2秒，
∴0＜t≤2時，點Q在線段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S△DOP＝OP?yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ?xD＝×2t×1＝t，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不變，其值為2．理由如下：如圖2中，
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如圖，過H點作AC的平行線，交x軸于P，則∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴＝，
＝，
＝2．
【點睛】本題考查三角形綜合題、非負數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．

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版本： 人教版

年級： 七年級下冊

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